2024年九年級初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第4講 明快簡捷-構(gòu)造方程的妙用

PAGEPAGE42024年九年級初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第四講明快簡捷—構(gòu)造方程的妙用有些數(shù)學(xué)問題雖然表面與一元二次方程無關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運(yùn)用一元二次方程豐富的知識與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定義構(gòu)造當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)，就可把某兩個變元看成是關(guān)于某個字母的一元二次方程的兩根．2．利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造若問題中有形如，的關(guān)系式時，則、可看作方程的兩實(shí)根．3．確定主元構(gòu)造對于含有多個變元的等式，可以將等式整理為關(guān)于某個字母的一元二次方程．成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃?、廣泛的聯(lián)想的基礎(chǔ)之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡捷、出奇制勝的效果．注：許多數(shù)學(xué)問題表面上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件，以已知條件為素材，以所求結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問題在新的形式下獲得簡解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法．【例題求解】【例1】已知、是正整數(shù)，并且，，則．思路點(diǎn)撥，變形題設(shè)條件，可視、為某個一元二次方程兩根，這樣問題可從整體上獲得簡解．【例2】若，且有及，則的值是()A．B．C．D．思路點(diǎn)撥第二個方程可變形為，這樣兩個方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用定義構(gòu)造方程入手．【例3】已知實(shí)數(shù)、滿足，且，求的取值范圍．思路點(diǎn)撥由兩個等式可求出、的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間．【例4】已知實(shí)數(shù)、、滿足，．(1)求、、中最大者的最小值；(2)求的最小值．思路點(diǎn)撥不妨設(shè)a≥b，a≥c，由條件得，．構(gòu)造以b、c為實(shí)根的一元二次方程，通過△≥0探求的取值范圍，并以此為基礎(chǔ)去解(2)．注：構(gòu)造一元二次方程，在問題有解的前提下，運(yùn)用判別式△≥0，建立含參數(shù)的不等式，縮小范圍逼近求解，在求字母的取值范圍，求最值等方面有廣泛的應(yīng)用．【例5】試求出這樣的四位數(shù)，它的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個四位數(shù)．(2003年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)思路點(diǎn)撥設(shè)前后兩個二位數(shù)分別為，，則有，將此方程整理成關(guān)于(或)的一元二次方程，在方程有解的前提下，運(yùn)用判別式確定(或)的取值范圍．學(xué)歷訓(xùn)練1．若方程的兩個實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和是，則的取值范圍是．2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，CD⊥AB，已知BC、AC是一元二次方程的兩個根，則m的值是．3．已知、滿足，，則=．4．已知，，，則的值為()A．2B．-2C．-1D．05．已知梯形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，若S△AOB＝4，S△COD＝9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為()A．21B．25C．26D．366．如圖，菱形A6CD的邊長是5，兩條對角線交于O點(diǎn)，且AO、BO的長分別是關(guān)于的方程的根，則m的值為()A．一3B．5C．5或一3n一5或37．已知，，其中、為實(shí)數(shù)，求的值．8．已知和是正整數(shù)，并且滿足條件，，求的值．9．已知，，其中m、n為實(shí)數(shù)，則＝．10．如果、、為互不相等的實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式與，那么的取值范圍是．11．已知，則=，=．；12．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，AB＝c，若D、E分別是AB和AB延長線上的兩點(diǎn)，BD=BC，CE⊥CD，則以AD和AE的長為根的一元二次方程是．13．已知、、均為實(shí)數(shù)，且，，求的最小值．14．設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足，求的取值范圍．15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，，梯形的高AE=，且．(1)求∠B的度數(shù)；(2)設(shè)點(diǎn)M為梯形對角線AC上一點(diǎn)，DM的延長線與BC相交于點(diǎn)F，當(dāng)，求作以CF、DF的長為根的一元二次方程．16．如圖，已知△ABC和平行于BC的直線DE，且△BDE的面積等于定值，那么當(dāng)與△BDE之間滿足什么關(guān)系時，存在直線DE，有幾條?參考答案第五講一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學(xué)課外活動中，在各類數(shù)學(xué)競賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有：從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解；從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)△=)，通過窮舉，逼近求解；從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時，可考慮以參數(shù)為主元求解．注：一元二次方程的整數(shù)根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識密切相關(guān)．【例題求解】【例1】若關(guān)于的方程的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有個．思路點(diǎn)撥用因式分解法可得到根的簡單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確．注：系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設(shè)條件，看是否要分類討論．【例2】已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是()A．B．C．D．思路點(diǎn)撥由韋達(dá)定理、的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、、的值．【例3】試確定一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根．思路點(diǎn)撥由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論．當(dāng)時，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個等式，消去r，利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根．當(dāng)為整數(shù)時，關(guān)于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒有，請說明理由．思路點(diǎn)撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)．設(shè)△=(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性．注：一元二次方程(a≠0)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而△=為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件．【例5】若關(guān)于的方程至少有一個整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)的值．思路點(diǎn)撥因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定理得出的的兩個關(guān)系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程．學(xué)歷訓(xùn)練1．已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有．2．已知方程有兩個質(zhì)數(shù)解，則m＝．3．給出四個命題：①整系數(shù)方程(a≠0)中，若△為一個完全平方數(shù)，則方程必有有理根；②整系數(shù)方程(a≠0)中，若方程有有理數(shù)根，則△為完全平方數(shù)；③無理數(shù)系數(shù)方程(a≠0)的根只能是無理數(shù)；④若、、均為奇數(shù)，則方程沒有有理數(shù)根，其中真命題是．4．已知關(guān)于的一元二次方程(為整數(shù))的兩個實(shí)數(shù)根是 、，則=．5．設(shè)rn為整數(shù)，且4<m<40，方程有兩個整數(shù)根，求m的值及方程的根．(山西省競賽題)6．已知方程(a≠0)至少有一個整數(shù)根，求的值．7．求使關(guān)于的方程的根都是整數(shù)的值．8．當(dāng)為正整數(shù)時，關(guān)于的方程的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程．9．設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實(shí)數(shù)的值．10．試求所有這樣的正整數(shù)，使得方程至少有一個整數(shù)解．11．已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出的所有可能值．12．已知方程及分別各有兩個整數(shù)根、及、，且>0，>0．(1)求證：<0,<0，<0,<0；(2)求證：；(3)求、所有可能的值．13．如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，且是方程的根(為整數(shù))，這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長；若不存在，請說明理由．參考答案第六講轉(zhuǎn)化—可化為一元二次方程的方程數(shù)學(xué)(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮，通常運(yùn)用符號進(jìn)行形式化抽象，在一個概念和公理體系內(nèi)實(shí)施推理計算，若從“轉(zhuǎn)化”這個側(cè)面又該如何回答?匈牙利女?dāng)?shù)學(xué)家路莎·彼得在《無窮的玩藝》一書中寫道：“作為數(shù)學(xué)家的思維來說是很典型的，他們往往不對問題進(jìn)行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)能夠解決的問題．”轉(zhuǎn)化與化歸是解分式方程和高次方程(次數(shù)高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通過去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或一元一次方程去求解．【例題求解】【例1】若，則的值為．思路點(diǎn)撥視為整體，令，用換元法求出即可．【例2】若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．思路點(diǎn)撥通過平方有理化，將無理方程根的個數(shù)討論轉(zhuǎn)化為一元二次方程實(shí)根個數(shù)的討論，但需注意注的隱含制約．注：轉(zhuǎn)化與化歸是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解數(shù)學(xué)題中，我們常常用到下列不同途徑的轉(zhuǎn)化：實(shí)際問題轉(zhuǎn)化大為數(shù)學(xué)問題，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，常量與變量的轉(zhuǎn)化，一般與特殊的轉(zhuǎn)化等．解下列方程：（1）；(2)；（3）．按照常規(guī)思路求解繁難，應(yīng)恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，對于(1)，利用倒數(shù)關(guān)系換元；對于(2)，從受到啟示；對于(3)，設(shè)，則可導(dǎo)出、的結(jié)果．注：換元是建立在觀察基礎(chǔ)上的，換元不拘泥于一元代換，可根據(jù)問題的特點(diǎn)，進(jìn)行多元代換．【例4】若關(guān)于的方程只有一個解(相等的解也算作一個)，試求的值與方程的解．思路點(diǎn)撥先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，把分式方程解的討論轉(zhuǎn)化為整式方程的解的討論，“只有一個解”內(nèi)涵豐富，在全面分析的基礎(chǔ)上求出的值．注：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程不一定是等價轉(zhuǎn)化，有可能產(chǎn)生增根，分式方程只有一個解，可能足轉(zhuǎn)化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉(zhuǎn)化后的整式方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運(yùn)用判別式、增根等知識全面分析．【例5】已知關(guān)于的方程有兩個根相等，求的值．思路點(diǎn)撥通過換元可得到兩個關(guān)于的含參數(shù)的一元二次方程，利用判別式求出的值．注：運(yùn)用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎(chǔ)，但對轉(zhuǎn)換能力、思維周密提出了較高要求．學(xué)歷訓(xùn)練1．若關(guān)于的方程有增根，則的值為；若關(guān)于的方程曾＝一1的解為正數(shù)，則的取值范圍是．2．解方程得．3．已知方程有一個根是2，則=．4．方程的全體實(shí)數(shù)根的積為()A．60B．一60C．10D．一105．解關(guān)于的方程不會產(chǎn)生增根，則是的值是()A．2B．1C．不為2或一2D．無法確定6．已知實(shí)數(shù)滿足，那么的值為()A．1或一2B．一1或2C．1D．一27．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1，并將它的解填在表中的空格處；(2)若方程()的解是=6，=10，求、的值．該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是，它是第幾個方程?(3)請寫出這列方程中的第個方程和它的解，并驗(yàn)證所寫出的解適合第個方程．序號方程方程的解1==2=4=63=5=8…………8．解下列方程：（1）；（2）；(3)；(4