《數(shù)學(xué)（上 二冊）（第二版）》 課件 第8章 復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)第8章178目錄8.1復(fù)數(shù)的概念8.2復(fù)數(shù)的四則運算8.3復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式1798.1復(fù)數(shù)的概念180復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)集如圖所示，我們可以把逆時針轉(zhuǎn)180°看成是先逆時針轉(zhuǎn)一半（90°），再逆時針轉(zhuǎn)一半（90°）。仿照將乘-1看作逆時針轉(zhuǎn)180°的方式，我們引入符號i，將乘i看作逆時針轉(zhuǎn)90°。這樣，兩次乘i就逆時針轉(zhuǎn)了180°，相當(dāng)于乘-1。即i×i=i2=-1。181因此，i是-1的一個平方根。需要說明的是，i不是實數(shù)，也不表示具體的數(shù)量，稱為虛數(shù)單位。有了虛數(shù)單位i，任何負(fù)數(shù)都能開方。例如，由（±2i）2=（±2）2·i2=-4得到-4的平方根為±2i。182183全體復(fù)數(shù)組成的集合稱為復(fù)數(shù)集，用字母C表示，即C={z|z=a+bi，a，b∈R}。復(fù)數(shù)z表示成a+bi（a，b∈R）的形式稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，并規(guī)定：0+0i=0，0+bi=bi。當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)z=a+bi=a稱為實數(shù)。當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi稱為虛數(shù)，其中，當(dāng)a=0且b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi=bi稱為純虛數(shù)。把數(shù)系擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系后，復(fù)數(shù)的分類如下：如果兩個復(fù)數(shù)的實部相等，且虛部也相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等，即若a，b，c，d∈R，則如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，我們知道它們可以比較大小。如果兩個復(fù)數(shù)不都是實數(shù)，即至少有一個不是實數(shù)，那么它們只有相等與不相等兩種關(guān)系，而不能比較大小。184復(fù)平面及相關(guān)概念復(fù)平面任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）；反之，任何一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）對應(yīng)一個復(fù)數(shù)z=a+bi。例如：有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標(biāo)系中的點Z（a，b）是一一對應(yīng)的，因此，可借用平面直角坐標(biāo)系中的點Z（a，b）來表示復(fù)數(shù)z=a+bi，也可以用復(fù)數(shù)z=a+bi來描述平面直角坐標(biāo)系中的點Z（a，b）。185如圖所示，點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，它表示復(fù)數(shù)z=a+bi。我們把這種建立了直角坐標(biāo)系用來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面。這時，x軸稱為實軸，y軸除去原點的部分稱為虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。按照這種表示方法，任意一個復(fù)數(shù)，都有復(fù)平面上唯一確定的一個點與它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面上任意一個點，也都有唯一確定的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng)。由此可知，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面上所有的點組成的集合是一一對應(yīng)的。186觀察下面兩對復(fù)數(shù)：?z1=3+i與z2=3-i；?z1=-1+2i與z2=-1-2i?？梢园l(fā)現(xiàn)，第一對復(fù)數(shù)z1=3+i與z2=3-i的實部相等，虛部互為相反數(shù)，如圖a所示，它們所對應(yīng)的點A與B關(guān)于實軸對稱；第二對復(fù)數(shù)z1=-1+2i與z2=-1-2i和第一對復(fù)數(shù)具有相同的特征。187例如，復(fù)數(shù)3+i的共軛復(fù)數(shù)是3-i，純虛數(shù)i的共軛復(fù)數(shù)是-i，實數(shù)5的共軛復(fù)數(shù)是5?；楣曹棌?fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)z=a+bi與

=a-bi所對應(yīng)的點Z（a，b）與點Z'（a，-b）關(guān)于實軸對稱，如圖所示。188用向量表示復(fù)數(shù)如圖所示，設(shè)任意一個復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面上所對應(yīng)的點為Z（a，b）。連接OZ，顯然點Z可以唯一確定一個有向線段

，習(xí)慣上，把有向線段

稱為向量

（物理學(xué)中也稱為矢量）；反過來，任意一個向量

也可以唯一確定一個點Z（a，b）。由此可知，點Z與向量

一一對應(yīng)。因此，復(fù)數(shù)z=a+bi與向量

也是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)集C中的元素與復(fù)平面內(nèi)所有以原點O為起點的向量組成的集合中的元素是一一對應(yīng)的。所以，我們可以用向量

表示復(fù)數(shù)z=a+bi。通常，我們規(guī)定：相等的向量表示同一個復(fù)數(shù)。189向量

的大?。ㄓ邢蚓€段

的長度）稱為復(fù)數(shù)z=a+bi的模（或絕對值），記作|z|或|a+bi|，由模的定義可知：特別地，當(dāng)虛部為零，即復(fù)數(shù)z=a+bi=a是實數(shù)時，它的模等于|a|，就是實數(shù)a的絕對值；當(dāng)復(fù)數(shù)z=0時，它的模等于0。190復(fù)數(shù)的輻角與輻角主值設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi對應(yīng)于向量

，以實軸的正半軸為始邊，向量

為終邊的角θ，稱為復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角，它表示出向量

的方向。顯然，非零復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角不是唯一的。若θ是復(fù)數(shù)的一個輻角，則2kπ+θ（k∈Z）也是復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。我們把[0，2π）范圍內(nèi)的輻角θ的值稱為輻角的主值，記作arg

z，即0≤arg

z<2π，如圖所示。191例如，由任意角的三角函數(shù)定義可知，若已知角θ終邊上一點Z的坐標(biāo)為（a，b），則從而可以確定復(fù)數(shù)z=a+bi（a≠0）的輻角θ，角θ終邊所在的象限就是復(fù)數(shù)z=a+bi所對應(yīng)的點Z（a，b）所在的象限。192一對共軛復(fù)數(shù)z=a+bi與

=a-bi在復(fù)平面上對應(yīng)于點A和B，點A和點B關(guān)于實軸對稱，如圖所示。設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的模為r，輻角為θ，則共軛復(fù)數(shù)

=a-bi的模也是r，它的輻角為-θ。193復(fù)數(shù)的三角形式設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的模為r，輻角為θ，由圖可知z=a+bi=rcosθ+irsinθ=r（cosθ+isinθ），其中輻角θ終邊所在的象限就是復(fù)平面上的點Z（a，b）所在的象限。因此，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）。我們把這種表示形式稱為復(fù)數(shù)的三角形式。1948.2復(fù)數(shù)的四則運算195復(fù)數(shù)的加法運算我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則為：很明顯，兩個復(fù)數(shù)的和仍是一個復(fù)數(shù)。容易驗證，復(fù)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對于任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。196設(shè)z1，z2，z依次對應(yīng)向量

。容易證明，以O(shè)，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形。因此，已知

就可以用畫平行四邊形的方法求得

。這種方法稱為平行四邊形法則。也就是說，復(fù)數(shù)的加法可以用平行四邊形法則來進(jìn)行。197復(fù)數(shù)的減法運算復(fù)數(shù)的減法是復(fù)數(shù)的加法的逆運算。即把滿足（c+di）+（x+yi）=（a+bi）的復(fù)數(shù)x+yi稱為復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差，記作（a+bi）-（c+di）。由兩個復(fù)數(shù)相等的定義，得因此所以x+yi=（a-c）+（b-d）i。198由以上推導(dǎo)可知，復(fù)數(shù)的減法法則為：上式就是復(fù)數(shù)的減法法則，由此可見，兩個復(fù)數(shù)的差仍然是一個復(fù)數(shù)。設(shè)z1，z2，z依次對應(yīng)向量

。容易證明，△AOB的一邊BA

OC。因此，已知

就可以用三角形法則求得

。也就是說，復(fù)數(shù)的減法可以用三角形法則來進(jìn)行。199實系數(shù)一元二次方程的根我們知道：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c∈R，a≠0），當(dāng)Δ=b2-4ac≥0時，有兩個不等或者相等的實數(shù)根。當(dāng)Δ=b2-4ac<0時，沒有實數(shù)根?，F(xiàn)在，我們進(jìn)一步討論當(dāng)Δ=b2-4ac<0時，上述方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根。對于一元二次方程ax2+bx+c=0，因為a≠0，所以配方得即200因為Δ=b2-4ac<0，所以即201由上面的討論可知，實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0在復(fù)數(shù)集C中恒有解，而解實系數(shù)一元二次方程的關(guān)鍵是計算判別式Δ=b2-4ac：?當(dāng)Δ>0時，有兩個不等實數(shù)根x1，2=?當(dāng)Δ=0時，有兩個相等實數(shù)根x1=x2=?當(dāng)Δ<0時，有兩個虛數(shù)根x1，2=202復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算復(fù)數(shù)的乘法法則如下：可以看出，兩個復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個多項式相乘，只是運算中要將i2換成-1，并把最后的結(jié)果寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。兩個復(fù)數(shù)的積仍是一個復(fù)數(shù)。容易驗證，復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對加法的分配律，即對于任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3，有z1z2=z2z1，（z1z2）z3=z1（z2z3），z1（z2+z3）=z1z2+z1z3。203復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的除法是復(fù)數(shù)的乘法的逆運算。也就是說，如果（c+di）（x+yi）=a+bi（c+di≠0），則把復(fù)數(shù)x+yi稱為復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作

。因為兩個共軛復(fù)數(shù)的積是一個實數(shù)，因此，通常在計算

時，用分母的共軛復(fù)數(shù)同乘以分子和分母。計算過程如下：由于c+di≠0，所以c2+d2≠0。上式是復(fù)數(shù)的除法法則，由此可見，兩個復(fù)數(shù)的商仍然是一個復(fù)數(shù)。204復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算以上三個公式為復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算法則。其中，公式zn=rn（cos

nθ+isin

nθ）（n∈N）稱為棣莫弗公式。2058.3復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式206復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi模為r，輻角為θ，則復(fù)數(shù)z=a+bi可以表示為此時a=rcosθ，b=rsinθ。我們把z=r

稱為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式。207復(fù)數(shù)的指數(shù)形式在實數(shù)范圍內(nèi)有“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”的運算法則，例如，a3a6=a3+6=a9。對于復(fù)數(shù)而言，如果將它也表示成指數(shù)形式，其乘除運算將會變得很簡單。根據(jù)歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，我們可以把任何一個復(fù)數(shù)z=r（cosθ+isinθ）表示成z=reiθ。這一表示形式稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。其中，r為復(fù)數(shù)的模，底數(shù)e=2。71828…為無理數(shù)，i為虛數(shù)單位，θ為復(fù)數(shù)的輻角，單位為弧度。例如：208關(guān)于復(fù)數(shù)的表示形式，我們可以歸納為如圖所示。209復(fù)數(shù)指數(shù)形式和極坐標(biāo)形式的乘除運算若已知復(fù)數(shù)z1=r1eiθ1，z2=r2eiθ2，z=reiθ，根據(jù)虛數(shù)單位i的性質(zhì)和“同底數(shù)冪相乘除，底數(shù)不變，指數(shù)相加減”的運算法則，我們得到復(fù)數(shù)指數(shù)形式的乘除運算法則為210即：（1）兩個復(fù)數(shù)相乘，積仍是復(fù)數(shù)，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角之和。（2）兩個復(fù)數(shù)相除（除數(shù)不為零），商仍是一個復(fù)數(shù)，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角的差。（3）復(fù)數(shù)的n（n是自然數(shù)）次冪的模等于這個復(fù)數(shù)的模的n次冪，而輻角等于這個復(fù)數(shù)的輻角的n倍。與復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算法則相似，我們可以直接寫出復(fù)數(shù)極坐標(biāo)形式的乘除運算法則。211復(fù)數(shù)乘法運算的幾何意義將上例的計算結(jié)果推廣，如果復(fù)數(shù)z1=r1

，z2=r2

分別對應(yīng)向量和，那么z1z2對應(yīng)的向量

可以通過如下方法得到