《數(shù)學（上 一冊）（第二版）》 課件 第1章 不等式與集合

不等式與集合第1章1目錄1.1不等式的性質與解集1.2一元一次不等式（組）1.3一元二次不等式1.4含有絕對值的不等式1.5簡易邏輯2教學要求：1.理解并掌握不等式的基本性質，掌握基本不等式及應用。2.了解集合的概念與表示方法，掌握常用數(shù)集的記法。理解區(qū)間的含義及表示方法，會進行數(shù)集與區(qū)間的互化。掌握用集合、區(qū)間表示不等式解集的方法，并能把解集在數(shù)軸上表示出來。3.掌握一元一次不等式（組）的解法。了解集合交集的概念及運算，理解集合之間的關系。34.了解一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式的關系，會用數(shù)形結合的思想方法求解一元二次不等式，了解并集的概念及運算。5.體會絕對值的幾何意義，會用變量代換的思想方法解含有絕對值的不等式，了解補集的概念及運算。6.了解命題的概念，會判斷命題的真假。理解充分條件、必要條件、充分必要條件的意義，會利用它們判斷兩個命題之間的關系。41.1不等式的性質與解集5實數(shù)的大小我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點之間可以建立一一對應關系。例如，點A與實數(shù)2對應，點B與實數(shù)-3對應等?？梢钥吹?，當數(shù)軸上一點P從左向右移動時，它對應的實數(shù)就逐漸增大。6數(shù)軸上的任意兩點中，右邊的點對應的實數(shù)比左邊的點對應的實數(shù)大。例如，點A位于點B的右邊，則點A對應的實數(shù)2比點B對應的實數(shù)-3大，即2>-3。在數(shù)軸上，如果點A在點B的右邊（或左邊），點A對應的實數(shù)為a，點B對應的實數(shù)為b，則有a>b（或a<b）。對于任意兩個實數(shù)a和b，它們具有如下基本事實：a-b>0?a>b，a-b=0?a=b，a-b<0?a<b。由此可知，要確定兩個實數(shù)a和b的大小關系，還可以通過比較它們的差與0的大小關系進行判定。7不等式的基本性質從實數(shù)的大小關系出發(fā)，可以得到不等式的基本性質：性質1不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個實數(shù)，不等號的方向不變，即如果a>b，那么a+m>b+m；如果a<b，那么a+m<b+m。性質2不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果a>b且m>0，那么am>bm；如果a<b且m>0，那么am<bm。8性質3不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向要改變，即如果a>b且m<0，那么am<bm；如果a<b且m<0，那么am>bm。性質4不等式具有傳遞性，即如果a>b且b>c，那么a>c。9基本不等式及其應用我們知道，對于任意實數(shù)a，都有a2≥0。那么，對于任意實數(shù)x，y而言，必定有（x-y）2≥0，當且僅當x=y時等號成立。將（x-y）2≥0的左邊展開得x2-2xy+y2≥0，移項得x2+y2≥2xy。這表明對于任意實數(shù)x，y，都有x2+y2≥2xy，

①當且僅當x=y時，等號成立。10特別地，當a>0，b>0時，我們用

分別代替x，y，則不等式①變?yōu)閍+b≥2

，即通常稱不等式②為基本不等式，其中，

稱為a，b的算術平均數(shù)，

稱為a，b的幾何平均數(shù)。因此，不等式②表達的結論為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)不超過算術平均數(shù)。當a，b的和一定時，若不等式②中等號成立，則a，b的幾何平均值

取最大值；當a，b的積一定時，若不等式②中等號成立，則a，b的算術平均值

取最小值。利用這個特性，可以很方便地解決一些求最大（?。┲档膶嶋H問題。11集合的概念不等式的解的全體也被稱為解集。一般地，某些指定的對象組成的全體就是一個集合（簡稱集）。集合通常用大寫英文字母A，B，C，…表示。例如：滿足不等式x<3的全體自然數(shù)0，1，2組成集合A，滿足不等式x+3<5的全體實數(shù)組成集合B。12集合中的每個對象都稱為這個集合的元素。集合的元素通常用小寫英文字母a，b，c，…表示。集合中的元素必須是確定的。如果給定一個集合，則任何一個對象是否為其中的元素應可明確判斷。一個給定集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復出現(xiàn)的。只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的。如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A。13集合的元素可以是字母、數(shù)字，甚至是圖形。如果集合中的元素是數(shù)，那么這樣的集合叫作數(shù)集。常用數(shù)集及其記法見下表。我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作?。例如，方程x2+2=0沒有實數(shù)解，因此，方程x2+2=0的實數(shù)解組成的集合就是?。14常用數(shù)集表集合的表示方法通常有兩種：列舉法和描述法。我們將實例考察第（1）題中的集合A表示為{0，1，2}。像這樣通過在大括號內一一列舉集合中的所有元素表示集合的方法叫作列舉法。用列舉法表示集合，元素之間要用逗號分隔開。我們將實例考察第（2）題中的集合B表示為{x|x<2，x∈R}。用集合中元素的共同特征來表示集合的方法叫作描述法。描述法的一般形式為{x|x具有的共同特征}。使不等式成立的未知數(shù)的全體組成的集合，稱為不等式的解集。15區(qū)間的概念不等式的解集往往是數(shù)集。設a，b是兩個實數(shù)，且a<b，我們規(guī)定：1.數(shù)集{x|a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，用符號[a，b]表示。2.數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間，用符號（a，b）表示。3.數(shù)集{x|a≤x<b}稱為左閉右開區(qū)間，用符號[a，b）表示。4.數(shù)集{x|a<x≤b}稱為左開右閉區(qū)間，用符號（a，b]表示。16上面的這些數(shù)集都稱為區(qū)間，其中[a，b）和（a，b]統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間。這里的實數(shù)a，b分別稱為區(qū)間的左端點和右端點。區(qū)間在數(shù)軸上可以用一條以a，b為端點的線段表示，區(qū)間閉的一端用實心點表示，區(qū)間開的一端用空心點表示。175.實數(shù)集R可用區(qū)間（-∞，+∞）表示，數(shù)集{x|x≥a}，{x|x≤b}，{x|x>a}，{x|x<b}則分別可用區(qū)間[a，+∞），（-∞，b]，（a，+∞），（-∞，b）表示。其中，a，b也稱為區(qū)間的端點，“+∞”讀作“正無窮大”，“-∞”讀作“負無窮大”。181.2一元一次不等式（組）19一元一次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，稱為一元一次不等式。我們在初中已經學過一元一次不等式的解法，即利用不等式的基本性質，將不等式逐步化成x<a（或x>a）的形式。基本步驟是：去分母→去括號→移項→合并同類項→未知數(shù)的系數(shù)化為1。因為實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，所以不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來。20一元一次不等式組一元一次不等式組含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組。不等式組的解集不等式組中各不等式的解集的公共部分。一元一次不等式組解法的基本步驟：（1）求出不等式組中各不等式的解集；（2）分別作出各不等式的解集的數(shù)軸表示，找出公共部分，得到不等式組的解集（若公共部分不存在，則不等式組的解集為空集）。21兩個一元一次不等式所組成的一元一次不等式組的解集情況，可以歸結為以下四種基本類型。22為了直觀地表示一個集合，我們可以在平面上畫一條封閉的曲線，用它的內部來表示一個非空集合，這種圖稱為Venn圖。集合A與B的交集A∩B可用Venn圖表示，圖中的陰影部分即表示A∩B。若兩個集合沒有公共元素[如例1（2）不等式組中兩個不等式的解集]，則這兩個集合的交集為空集，記作A∩B=?。23我們規(guī)定，空集是任何集合的子集。也就是說，對于任意一個集合A，都有??A。對于任意一個集合A，它的所有元素都屬于集合A本身，所以任意一個集合都是它本身的子集，即A?A。集合A與集合B的包含關系A?B（或B?A），可以用圖表示。24設集合A={4，6，8，10}，集合B={2，4，6，8，10}，則集合A?B，且集合B中存在元素2?A。這時，我們稱集合A是集合B的真子集。我們規(guī)定，空集是任何非空集合的真子集，也就是說，對于任意一個非空集合A，都有??A。集合B與它的真子集A的關系，可以用上圖a表示。25對于常用數(shù)集N，Z，Q，R來說，有N?Z?Q?R。使用Venn圖可以清楚地表示這種真包含的關系，如圖所示。設集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x+6=0}，考察方程x2-5x+6=0的實數(shù)解可知，集合A與集合B中的元素是一樣的。根據(jù)子集的定義得A?B且B?A。26由集合相等的定義，可以知道，{x|x2-7x+12=0}={3，4}。又如：{中國古代四大發(fā)明}={指南針，火藥，造紙術，印刷術}，

{平行四邊形}={兩組對邊分別平行的四邊形}

={對角線互相平分的四邊形}。271.3一元二次不等式28一元二次不等式受各種成本和銷售策略的影響，隨著商品銷量提升，企業(yè)的利潤并非總是均勻增加的。請研究以下案例：商場某商品的存貨量為200件。在存貨支持的范圍內，商場一天銷售該商品的數(shù)量x（單位：件）與利潤y（單位：元）之間滿足關系式y(tǒng)=-10x2+400x（x∈N）。如果商場計劃在一天內通過銷售該商品產生3000元以上的利潤，那么一天內至少應銷售多少件?根據(jù)問題得不等式-10x2+400x>3000（x∈N），整理得x2-40x+300<0（x∈N）。這是一個關于x的不等式，求出滿足這個不等式的解是問題的關鍵。29類似實例考察中的不等式還有很多，例如：x2-x+1>0，-2x2+3x+5<0。上述不等式都是只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的不等式，我們把這樣的不等式稱為一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，其中，a，b，c均為常數(shù)，a≠0。需要說明的是，整理后沒有二次項的一元不等式不是一元二次不等式。30如何求一元二次不等式的解集呢?二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像如圖所示，觀察圖像并討論：（1）當y=0時，x取什么值?（2）二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸交點的坐標是什么?（3）當y<0時，x的取值范圍是什么?（4）當y>0時，x的取值范圍是什么?31我們知道，二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像是一條開口向上的拋物線，因此：（1）當y=0時，即得到一元二次方程x2-x-2=0，解得方程的兩個實數(shù)根x1=-1，x2=2。（2）由上圖可知，二次函數(shù)y=x2-x-2的圖像與x軸交點的坐標分別是（-1，0），（2，0）。（3）當y<0時，x的取值范圍是（-1，2），即不等式x2-x-2<0的解集為（-1，2）。（4）當y>0時，x的取值范圍是（-∞，-1）或（2，+∞）。32集合A與B的并集A∪B可用Venn圖表示，圖中的陰影部分即表示A∪B。因此，不等式x2-x-2>0的解集為（-∞，-1）∪（2，+∞）。上述方法可以推廣到任意的一元二次不等式。33我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0），設Δ=b2-4ac，它的根按照Δ>0，Δ=0，Δ<0可分為三種情況。相應地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的位置關系也可分為三種情況。因此，我們可分三種情況來討論對應的一元二次不等式的解集。341.4含有絕對值的不等式35含有絕對值的不等式在生產和生活中，我們經常會接觸到有誤差范圍的技術要求。圖是一工件加工圖紙，要求加工的過程中，三角形的高為30mm，誤差范圍在±0.042mm，若一名學生加工的工件高為dmm，則d必須滿足什么條件，工件才合格?36設學生實際加工的工件高與30mm之間的差為x，則x=d-30。由以上要求可知x最大為0.042，最小為-0.042，因此得-0.042≤x≤0.042。觀察圖所示數(shù)軸，數(shù)軸上符合-0.042≤x≤0.042的點到原點的距離小于等于0.042，也就是說，x≤0.042，即37類似實例考察中得到的不等式還有很多，例如

等。像這樣的不等式稱為含有絕對值的不等式。由實例考察可知

≤0.042可轉化為-0.042≤x≤0.042，也就是說

≤0.042的解集是[-0.042，0.042]，即為上圖所示。類似地，若

>0.042，則在數(shù)軸上表示x的點到原點的距離大于0.042，即x<-0.042或x>0.042。因此，不等式

>0.042的解集是（-∞，-0.042）∪（0.042，+∞）。38根據(jù)以上分析，可以得出下表的結論。應用這個結論及不等式的性質可以解類似≤0.042，>5等較復雜的不等式。39全集與補集我們考察不等式

≤a的解集A，

>a（a>0）的解集B以及實數(shù)集R三個集合之間的關系。由圖可知：不等式

≤a的解集A與

>a（a>0）的解集B都是實數(shù)集R的子集，解集A與解集B的交集為?，而并集等于實數(shù)集R。像這樣，如果作為研究對象的集合都是某個給定集合的子集，那么這個給定的集合就稱為全集，常用符號U來表示。40在畫Venn圖時，我們通常用矩形的內部表示全集U，則在矩形內，集合A的外部表示的就是?UA，如圖中的陰影部分。411.5簡易邏輯42命題判斷真假是生活中常見的問題。請你判斷下面所說的事情是真是假，并總結這四句話的共同點。（1）長城屬于中國；（2）雪是黑的；（3）5是自然數(shù)；（4）11>25。43實例考察中四句話的共同點是：都是陳述句，都可以判斷真假。實例考察的這些語句中，（1）（2）（3）（4）都是命題。其中，（1）（3）是真命題；（2）（4）是假命題。44為了方便，我們常用小寫字母p，q，r，s，…表示命題。當命題p是真命題時，可簡稱p為真；當命題p是假命題時，可簡稱p為假，例如：r：5是自然數(shù)。r為真s：11>25。

s為假上述兩個判斷的意思是：命題r為“5是自然數(shù)”，是真命題；命題s為“11>25”，是假命題。45例題解析

例1下列語句是不是命題?如果是命題，指出它的真假；如果不是命題，說明理由：（1）空集是任何集合的子集。

（2）對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎?（3）

=-2。

（4）x=5。（5）π是有理數(shù)。

（6）上課請不要講話!分析判斷一個語句是不是命題，就是要看它是否符合“陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件。解上面6個語句中，（2）（6）不是陳述句，所以它們都不是命題；（4）是陳述句，但因為無法判斷它的真假，所以它也不是命題；其余3個都是陳述句，而且都可以判斷真假，所以它們都是命題，其中（1）是真命題，（3）（5）是假命題。46上面列舉的命題都是用一句簡單的陳述句表達的，我們把這類命題稱為簡單命題。除此之外，還有一類命題是由一些連接詞把一些簡單命題連接起來構成的，例如：（1）12是4的倍數(shù)，且12是6的倍數(shù)。（2）3+4=7或3+4>7。（3）6不是分數(shù)，也不是整數(shù)。（4）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等。（5）若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)。47我們把這類命題稱為復合命題。其中，（4）（5）具有“如果p，那么q”或“若p，則q”的形式，通常我們把這種形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結論。有關復合命題的真假，我們將通過實例來討論。數(shù)學中有一些命題雖然表面上不是“若p，則q”的形式，例如“垂直于同一條直線的兩條直線平行”，但是把它的表述作適當改變，就可以寫成“若p，則q”的形式：若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行。這樣，它的條件和結論就很清楚了。48四種命題考察下面命題的幾種變化，各種變化形式之間是怎樣的關系?有什么特點?如果天下雨，那么露天的地面濕。

①變化1把