2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 練習(xí)★★　截面、交線問題（3大考點+強化訓(xùn)練）

2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題練習(xí)★★截面、交線問題（3大考點+強化訓(xùn)練）“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識的題型，它滲透了一些動態(tài)的線、面等元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力．求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長、面積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運算求解．知識導(dǎo)圖考點分類講解考點一：截面問題規(guī)律方法作幾何體截面的方法(1)利用平行直線找截面．(2)利用相交直線找截面．考向1多面體中的截面問題【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為2的正方體中，點，分別為棱，上的動點（包含端點），當(dāng)，分別為棱，的中點時，則過，，三點作正方體的截面，所得截面為邊形．

【變式2】（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐的底面為矩形，為的中點，平面截得四棱錐上、下兩部分的體積比為.【變式3】(多選）（2023·河北承德·模擬預(yù)測）如圖，正六棱柱的各棱長均為1，下列選項正確的有（

）A．過A，，三點的平面截該六棱柱的截面面積為B．過A，，三點的平面將該六棱柱分割成體積相等的兩部分C．以A為球心，1為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為D．以A為球心，2為半徑的球面與該六棱柱的各面的交線總長為考向2球的截面問題【例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正方形的邊長為4，若將沿BD翻折到的位置，使得二面角為，N為的四等分點靠近D點，已知點，B，C，D都在球O的表面上，過N作球O的截面，則截球所得截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為．【變式2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知球的直徑，、是該球面上的兩點，且，，，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．考點二交線問題規(guī)律方法找交線的方法(1)線面交點法：各棱線與截平面的交點．(2)面面交點法：各棱面與截平面的交線．考向1多面體中的交線問題【例3】（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知在正方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側(cè)面，底面的交線分別為，，則（

）A．的長度為 B．的長度為C．的長度為 D．的長度為【變式1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD－A1B1C1D1，平面滿足，若直線AC到平面的距離與BC1到平面的距離相等，平面與此正方體的面相交，則交線圍成的圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【變式2】（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）若某“十字貫穿體”由兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構(gòu)成，則下列說法正確的是（

）A．一個正四棱柱的某個側(cè)面與另一個正四棱柱的兩個側(cè)面的交線互相垂直B．該“十字貫穿體”的表面積是C．該“十字貫穿體”的體積是D．一只螞蟻從該“十字貫穿體”的頂點A出發(fā)，沿表面到達(dá)頂點B的最短路線長為【變式3】（多選）（23-24高三上·湖北·期中）如圖，正方體的棱長為4，點E、F、G分別在棱、、上，滿足，，記平面與平面的交線為，則（

）A．存在使得平面截正方體所得截面圖形為四邊形B．當(dāng)時，三棱錐體積為C．當(dāng)時，三棱錐的外接球表面積為D．當(dāng)時，直線與平面所成的角的正弦值為考向2與球有關(guān)的交線問題【例4】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧的中點，在圓柱內(nèi)放置一個球，則當(dāng)球的體積最大時，平面與球的交線長為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，且，以為球心，為半徑作球，則球面與底面的交線長度的和為（

）

A． B． C． D．【變式2】（22-23高三上·河北保定·期末）已知三棱錐的所有棱長均為2，以BD為直徑的球面與的交線為L，則交線L的長度為（

）A． B． C． D．【變式3】（多選）（23-24高三上·遼寧·開學(xué)考試）若平面與一個球只有一個交點，則稱該平面為球的切平面．過球面上一點恒能作出唯一的切平面，且該點處的半徑與切平面垂直．已知在空間直角坐標(biāo)系中，球O的半徑為1．記平面，平面，平面分別為．過球面上一點作切平面，且與的交線為，下列說法正確的是（

）.A．的一個方向向量為.B．的方程為.C．過正半軸上一點作與原點距離為1的直線，設(shè)，若，則h的取值范圍為.D．過球面上任意一點作切平面，記，，，分別為到原點的距離，則強化訓(xùn)練一、單選題1．（22-23高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知正四面體的棱長為，為上一點，且，則截面的面積是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長為4，點在校上，且.現(xiàn)過三點作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若平面截球所得截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為，最大值為，則（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西榆林·一模）已知是球的直徑上一點，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點，且，過點作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·二模）在正方體中，、分別是棱、靠近下底面的三等分點，平面平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．過點B．C．過點的截面是三角形D．過點的截面是四邊形7．（22-23高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知三棱錐的棱，，兩兩互相垂直，，以頂點為球心，1為半徑作一個球，球面與該三棱錐的表面相交得到的交線最長為（

）A． B． C． D．8．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，點為棱上一點，過點作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時，（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為.現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（

）

A．過棱的截面中，截面面積的最小值為B．若過棱的截面與棱（不含端點）交于點，則C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個頂點的距離都相等的截面有7個2．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，已知正三棱臺是由一個平面截棱長為6的正四面體所得，其中，以點A為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為曲線為上一點，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．點A到平面的距離為 B．曲線的長度為C．的最小值為 D．所有線段所形成的曲面的面積為3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，將沿DE折起，連接AB，AC，得到四棱錐，則（

）A．存在使的四棱錐B．四棱錐體積的最大值是C．平面ABE與平面ACD的交線平行于底面D．在平面ABC與平面ADE的交線上存在點F，使得三、填空題1．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）在正四面體中，M為PA邊的中點，過點M作該正四面體外接球的截面，記最大的截面半徑為R，最小的截面半徑為r，則；若記該正四面體和其外接球的體積分別為和，則．2．（23-24高三下·江蘇·開學(xué)考試）在正三棱錐A－BCD中，底面△BCD的邊長為4，E為AD的中點，AB⊥CE，則以AD為直徑的球截該棱錐各面所得交線長為.3．（2024·河南·模擬預(yù)測）在三棱柱中，四面體是棱長為2的正四面體，為棱的中點，平面過點且與垂直，則與三棱柱表面的交線的長度之和為．四、解答題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知正方體，棱長為2.(1)求證：平面；(2)若平面平面，且平面與正方體的棱相交，當(dāng)截面面積最大時，在所給圖形上畫出截面圖形（不必說出畫法和理由），并求出截面面積的最大值；(3)在（2）的情形下，設(shè)平面與正方體的棱、、交于點、、，當(dāng)截面的面積最大時，求二面角的余弦值.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）四棱錐的底面為矩形，，，高，O為底面對角線的交點，過底面對角線BD作截面使它平行于SA，并求出此截面的面積.3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）單