北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修1第2章1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

2023年5月17日10時(shí)49分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)乙運(yùn)載火箭，成功發(fā)射第五十六顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星。該衛(wèi)星屬地球靜止軌道衛(wèi)星，是我國(guó)北斗三號(hào)工程的首顆備份衛(wèi)星。橢圓2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程高中數(shù)學(xué)北師大版選擇性必修一探究一：橢圓的定義圓：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（大于0）的點(diǎn)的軌跡是圓。把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1和F2，套上鉛筆，移動(dòng)筆尖,畫(huà)出的軌跡是什么曲線(xiàn)？橢圓平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|）的點(diǎn)的集合（或軌跡）叫橢圓。

定義這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做焦距。

橢圓是否具有對(duì)稱(chēng)性？橢圓的對(duì)稱(chēng)軸？F2F1設(shè)點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P根據(jù)橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a

(a為＞0的常數(shù)）設(shè)點(diǎn)P1為點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)F1F2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)|P1F1|+|P1F2|=2a，這說(shuō)明P1也在橢圓上，P1直線(xiàn)F1F2是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸。線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)MN也是橢圓的對(duì)稱(chēng)軸。線(xiàn)段F1F2的中點(diǎn)O是橢圓的對(duì)稱(chēng)中心。橢圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線(xiàn)F1F2及線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸；01橢圓也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，線(xiàn)段F1F2的中點(diǎn)是它的對(duì)稱(chēng)中心。02實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用例1：已知△ABC的周長(zhǎng)為10，且|BC|=4，則△ABC的定點(diǎn)A的軌跡是什么？并說(shuō)明理由。解：因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為10，且|BC|=4，01所以|AB|+|AC|=6，且|AB|+|AC|>|BC|02根據(jù)橢圓的定義可知，△ABC的定點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為4的橢圓03

“蛋殼屋”是一群坐落在江西某森林中的橢圓形度假小屋二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)求曲線(xiàn)方程建立直角坐標(biāo)系列出等式橢圓與直線(xiàn)F1F2相交于點(diǎn)A1,A2的，與線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)相交于B1,B2根據(jù)橢圓的定義和橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得

②兩邊平方，整理得

所以：

①化簡(jiǎn)①，移項(xiàng)后，得

②

③

③兩邊再平方，整理得④

⑤

PF2F1xyO

xyx思考：焦點(diǎn)在y軸上，你能否建立其標(biāo)準(zhǔn)方程？

(0,-c)(0,c)OF1F2Pxy橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用F2xyF1P

解：由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

解：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為待定系數(shù)法（方法二）①

從而②所以

因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

所以

由①②解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：首先要判斷焦點(diǎn)位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)橢圓定義或待定系數(shù)法求

課堂小結(jié)說(shuō)一說(shuō)本節(jié)課你學(xué)到了哪些呢？課堂小結(jié)定義

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)a、b、c的關(guān)系

焦點(diǎn)位置的判斷哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上x(chóng)yF1