條件概率及其性質(zhì)

1．條件概率及其性質(zhì)(1)條件概率的定義設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．(2)條件概率的求法求條件概率除了可借助定義中的公式，還可以借助古典概型概率公式，即P(B|A)＝.(3)條件概率的性質(zhì)①條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即0≤P(B|A)≤1.②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A))．2．事件的相互獨(dú)立性(1)設(shè)A、B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)如果事件A與B相互獨(dú)立，那么與，與，與也都相互獨(dú)立．3．二項(xiàng)分布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱_p_為成功概率．若X～B(n，p)，則E(X)＝np.1.區(qū)分條件概率P(B|A)與概率P(B)它們都以樣本空間Ω為總樣本，但它們?nèi)「怕实那疤崾遣幌嗤模怕蔖(B)是指在整個(gè)樣本空間Ω的條件下事件B發(fā)生的可能性大小，而條件概率P(B|A)是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的可能性大?。?．求法：(1)利用定義分別求P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)；(2)先求A含的基本事件數(shù)n(A)，再求在A發(fā)生的條件下B包含的事件數(shù)即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).1.1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，問(1)從1號(hào)箱中取出的是紅球的條件下，從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號(hào)箱取出紅球的概率是多少？【解】記事件A：最后從2號(hào)箱中取出的是紅球；事件B：從1號(hào)箱中取出的是紅球．P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3)，(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).2.(2011年湖南)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分內(nèi))，”則(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_____答案：(1)eq\f(2,π)(2)eq\f(1,4)1.相互獨(dú)立事件是指兩個(gè)試驗(yàn)中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；相互對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件不會(huì)同時(shí)發(fā)生．2．在解題過程中，要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義．已知兩個(gè)事件A、B，它們的概率分別為P(A)、P(B)，則A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A∪B；A、B都發(fā)生的事件為AB；A、B都不發(fā)生的事件為eq\x\to(A)eq\x\to(B)；A、B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B；A、B中至多有一個(gè)發(fā)生的事件為Aeq\x\to(B)∪eq\x\to(A)B∪eq\x\to(A)eq\x\to(B).3．互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別：兩事件互斥是指同一次試驗(yàn)中兩事件不能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指不同試驗(yàn)下，二者互不影響；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥，即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生．3.(2012年山東)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3)，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．【解】(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3)，由于A＝Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(A)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(C)P(Deq\x\to()＋P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))P(D)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性得P(X＝0)＝P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36)，P(X＝1)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝P(BCeq\x\to(D)＋Beq\x\to(C)D)＝P(BCeq\x\to(D))＋P(Beq\x\to(C)D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\x\to(B)CD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝5)＝P(BCD)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).故X的分布列為X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)所以E(X)＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).(1)注意區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件，互斥事件是在同一試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的情況，相互獨(dú)立事件是指幾個(gè)事件的發(fā)生與否互不影響，當(dāng)然可以同時(shí)發(fā)生．(2)求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率．(3)求隨機(jī)變量的期望和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列，若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則可直接使用公式求解．4.(2011年山東高考)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A，乙對(duì)B，丙對(duì)C各一盤．已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用ξ表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：(1)設(shè)甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F.則eq\x\to(D)，eq\x\to(E)，eq\x\to(F)分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因?yàn)镻(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對(duì)立事件的概率公式知P(eq\x\to(D))＝0.4，P(eq\x\to(E))＝0.5，P(eq\x\to(F))＝0.5.紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有：DEeq\x\to(F)，Deq\x\to(E)F，eq\x\to(D)EF，DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為P＝P(DEeq\x\to(F))＋P(Deq\x\to(E)F)＋P(eq\x\to(D)EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由題意知ξ可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知eq\x\to(D)eq\x\to(E)F、eq\x\to(D)Eeq\x\to(F)、Deq\x\to(E)eq\x\to(F)是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(D)eq\x\to(E)eq\x\to(F))＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(eq\x\to(D)eq\x\to(E)F)＋P(eq\x\to(D)Eeq\x\to(F))＋P(Deq\x\to(E)eq\x\to(F))＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由對(duì)立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列為：ξ0123P0.10.350.40.15因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.1.判斷某事件發(fā)生是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)在同樣的條件下重復(fù)，相互獨(dú)立進(jìn)行；(2)試驗(yàn)結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2．在利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，恰好發(fā)生k次的概率P(x＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，….要注意n，k，p的取值．3．遇到“至少”“至多”問題時(shí)，要考慮從對(duì)立事件入手計(jì)算．4．二項(xiàng)分布模型(1)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：①是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．②隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)．(2)涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問題時(shí)，由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽查時(shí)，抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響很小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的．(3)若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則E(X)＝np.5.(2012年天津)現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)【解】依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設(shè)“這4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4－i.(1)這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(8,27).(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4.由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,9).所以，這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為eq\f(1,9).(3)ξ的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列是ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).6.張先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家到公司上班的路上有L1，L2兩條路線(如圖所示)，L1路線上有A1，A2，A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為eq\f(1,2)；L2路線上有B1，B2兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為eq\f(3,4)，eq\f(3,5).(1)若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；(2)若走L2路線，求遇到紅燈的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(3)按照“遇到紅燈的平均次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．解：(1)設(shè)“走L1路線最多遇到1次紅燈”為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,2).所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為eq\f(1,2).(2)依題意，X的可能取值為0,1,2.，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＋eq