充分條件與必要條件 高一數(shù)學(xué)

1.4.1

充分條件與必要條件自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、命題的概念1.下列語句的表述形式有什么特點?①若直線a∥b,則直線a和直線b無公共點;②同位角相等;③兩個面積相等的三角形全等;④同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線平行.提示:上述語句的表達形式有兩個特點:①都是陳述句;②都能夠判斷真假.2.你能判斷上述4個語句的真假嗎?提示:①④為真命題;②③為假命題.3.命題有哪些表達形式?疑問句、祈使句、感嘆句能否作為命題?提示:命題的表達形式有語言、符號或式子;疑問句、祈使句、感嘆句不能作為命題,它們不符合命題必須是陳述句的特點.4.你能把“同位角相等”寫成“若p,則q”的形式嗎?提示:若兩個角為同位角,則這兩個角相等.5.(1)一般地,我們把用語言、符號或式子表達的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.(2)判斷為真的語句是真命題;判斷為假的語句是假命題.(3)“若p,則q”形式的命題中,p稱為命題的條件,q稱為命題的結(jié)論.6.下列命題中是假命題的是(

)A.5是15的約數(shù) B.對任意實數(shù)x,有x2<0C.對頂角相等 D.0不是奇數(shù)解析:對任意實數(shù)x,有x2≥0,所以B為假命題.A,C,D均為真命題.答案:B

二、充分條件與必要條件1.給出下列命題:①若整數(shù)a是6的倍數(shù),則整數(shù)a是2和3的倍數(shù).②若ab=0,則a=0.(1)你能判斷這兩個命題的真假嗎?(2)命題①中的條件和結(jié)論有什么關(guān)系?命題②中的呢?提示:(1)①是真命題;②是假命題.(2)命題①中只要滿足條件“整數(shù)a是6的倍數(shù)”,必有結(jié)論“整數(shù)a是2和3的倍數(shù)”;命題②中滿足條件“ab=0”,不一定有結(jié)論“a=0”,還可能“b=0”.2.(1)(2)一般地,數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件,每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件.3.(1)p:a>0,b>0,q:ab>0,則p是q的

條件;

解析:(1)當(dāng)a>0,b>0時,顯然ab>0成立,即p?q,故p是q的充分條件.(2)因為p?q,所以q是p的必要條件.答案:(1)充分

(2)必要【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)將命題改寫成“若p,則q”的形式,改法唯一.(×)(2)舉反例是判斷一個命題是假命題的重要方法.(√)(3)在“若p,則q”的命題中,p是q的充分條件.(×)(4)若p是q的充分條件,則p是唯一的.(×)(5)x=2是x2-4x+4=0的必要條件.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

命題真假的判斷【例1】

把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,指出條件和結(jié)論,并判斷命題的真假.(1)兩個周長相等的三角形面積相等;(2)已知x,y為正整數(shù),當(dāng)y=x+1時,y=3,x=2;(3)當(dāng)m>1時,x2-2x+m=0無實根.解:(1)若兩個三角形的周長相等,則這兩個三角形的面積相等,條件是“兩個三角形的周長相等”,結(jié)論是“這兩個三角形的面積相等”,是假命題.(2)已知x,y為正整數(shù),若y=x+1,則y=3,x=2,條件是“已知x,y為正整數(shù),且y=x+1”,結(jié)論是“y=3,x=2”,是假命題.(3)若m>1,則x2-2x+m=0無實根,條件是“m>1”,結(jié)論是“x2-2x+m=0無實根”,是真命題.反思感悟1.將命題改寫為“若p,則q”形式的方法及原則2.判斷命題真假的策略(1)要判斷一個命題是真命題,一般要有嚴(yán)格的證明或有事實依據(jù),比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證.(2)要判斷一個命題是假命題,只要舉一個反例即可.【變式訓(xùn)練1】

指出下列命題的條件與結(jié)論,寫成“若p,則q”的形式,并判斷真假.(1)平行四邊形的兩條對角線互相垂直.(2)直角三角形的兩個銳角互余.(3)當(dāng)abc=0時,a=0,且b=0,且c=0.解:(1)條件是“四邊形是平行四邊形”,結(jié)論是“四邊形的兩條對角線互相垂直”.寫成“若p,則q”的形式為:若四邊形是平行四邊形,則它的兩條對角線互相垂直,是假命題.(2)條件是“一個三角形是直角三角形”,結(jié)論是“兩個銳角互余”.寫成“若p,則q”的形式為:若一個三角形是直角三角形,則它的兩個銳角互余,是真命題.(3)條件是“abc=0”,結(jié)論是“a=0,且b=0,且c=0”,寫成“若p,則q”的形式為:若abc=0,則a=0,且b=0,且c=0,是假命題.探究二

充分條件與必要條件的判斷【例2】

下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的q是p的必要條件?(1)若四邊形為矩形,則這個四邊形的兩條對角線相等;(2)若四邊形的對角互補,則這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形;(3)若a2+b2=0,則a+b=0;(4)若x2-4x+3=0,則x=1.解:(1)這是矩形的一條性質(zhì)定理,p?q,即q是p的必要條件.(2)這是圓內(nèi)接四邊形的一條判定定理,p?q,即q是p的必要條件.(3)由a2+b2=0,得a=b=0,從而a+b=0,即p?q,即q是p的必要條件.(4)由于32-4×3+3=0,但3≠1,p

q,即q不是p的必要條件.反思感悟充分條件與必要條件的判斷方法一般地,要判斷“若p,則q”形式的命題中p是否為q的充分條件(或q是否為p的必要條件),只需判斷是否有“p?q”,即“若p,則q”是否為真命題.(1)如果“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.(2)如果“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.(2)命題判斷法:①如果命題“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.②如果命題“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.【變式訓(xùn)練2】

下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充分條件?(1)若a,b都是偶數(shù),則a+b是偶數(shù);(2)若x∈A∩B,則x∈A∪B;(3)若x2>y2,則x>y.解:(1)由偶數(shù)的性質(zhì),知p?q,即p是q的充分條件.(2)由集合的運算性質(zhì),知p?q,即p是q的充分條件.(3)因為(-1)2>02,但-1<0,p

q,即p不是q的充分條件.探究三

充分條件與必要條件的應(yīng)用【例3】

是否存在實數(shù)p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的充分條件?若存在,求出p的取值范圍;若不存在,請說明理由.解:由4x+p<0得

,如圖,在數(shù)軸上表示出不等式x>2或x<-1,由數(shù)軸可得,故當(dāng)p≥4時,4x+p<0是x>2或x<-1的充分條件.1.將本例條件“4x+p<0”換為“4x+p>0”,其他條件不變,結(jié)果如何?解:由4x+p>0得

,如圖,在數(shù)軸上表示出不等式x>2或x<-1,由數(shù)軸可得故當(dāng)p≤-8時,4x+p>0是x>2或x<-1的充分條件.2.本例若換為:是否存在實數(shù)p,使“4x+p<0”是“x>2或x<-1”的必要條件?若存在,求出p的取值范圍;若不存在,請說明理由.如何求解?解:由4x+p<0得

,如圖,在數(shù)軸上表示出不等式x>2或x<-1,由數(shù)軸可得所以不存在實數(shù)p使4x+p<0是x>2或x<-1的必要條件.反思感悟應(yīng)用充分條件(或必要條件)求參數(shù)取值范圍的步驟首先根據(jù)條件的充分性或必要性將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組),并求解.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.易

錯

辨

析因混淆“充分條件”與“必要條件”致錯【典例】

使不等式-5x+3≥0成立的一個充分條件是(

)A.x<0 B.x≥0 C.x≤1 D.x>1答案:C以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法把充分條件與必要條件混淆了,注意本題的結(jié)論是“-5x+3≥0”.答案:A防范措施1.把握充分條件的概念,若p?q,則p是q的充分條件.2.分清題目中的條件p和結(jié)論q,本題的條件是選項,結(jié)論是-5x+