2024年渭南市高三數(shù)學(xué)（文科）4月二模質(zhì)檢試卷附答案解析

年渭南市高三數(shù)學(xué)（文科）4月二模質(zhì)檢試卷2024.04注意事項(xiàng)：1．本試題滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答卷前務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡和答題紙上.3．將選擇題答案填涂在答題卡上，非選擇題按照題號(hào)完成在答題紙上的指定區(qū)域內(nèi).第I卷選擇題（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的實(shí)部為 B．復(fù)數(shù)的虛部為C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D．復(fù)數(shù)的模為2．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x|y＝lgx}，B＝{x|﹣7＜2+3x＜5}，則?U（A∪B）＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|x≤0或x≥1} C．{x|x≤﹣3} D．{x|x＞﹣3}3．北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要數(shù)學(xué)成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如果棋、層壇之類，這種長(zhǎng)方臺(tái)形狀的物體垛積.設(shè)隙積共層，上底由個(gè)物體組成，以下各層的長(zhǎng)、寬一次各增加一個(gè)物體，最下層（即下底）由個(gè)物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為.已知由若干個(gè)相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所示，則該垛積中所有小球的個(gè)數(shù)為（

）A．83 B．84 C．85 D．864．已知平面向量，，其中，若，則（

）．A． B．或C． D．或5．設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．，平行于同一條直線D．，垂直于同一平面6．在正四面體的棱中任取兩條棱，則這兩條棱所在的直線互相垂直的概率是（

）A．B．C． D．7．已知函數(shù)，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D． E．均不是9．函數(shù)的圖像是（

）A． B．C． D．10．已知定義在上的函數(shù)滿足,,當(dāng)時(shí),,則（

）A． B． C． D．11．已知雙曲線：，拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，拋物線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，且在第一象限，過(guò)作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．212．已知正數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值是.14．．15．2024年1月九省聯(lián)考的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)新結(jié)構(gòu)，其中多選題計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)如下：①本題共3小題，每小題6分，滿分18分；②每道小題的四個(gè)選項(xiàng)中有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng)，全部選對(duì)得6分，有選錯(cuò)的得0分；③部分選對(duì)得部分分（若某小題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某小題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分）．已知在某次新結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)試題的考試中，小明同學(xué)三個(gè)多選題中第一小題確定得滿分，第二小題隨機(jī)地選了兩個(gè)選項(xiàng)，第三小題隨機(jī)地選了一個(gè)選項(xiàng)，則小明同學(xué)多選題所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的中位數(shù)為．16．用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，已知數(shù)列滿足：，，.若，，則；若，則.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求面積.18．手機(jī)完全充滿電量，在開(kāi)機(jī)不使用的狀態(tài)下，電池靠自身消耗一直到出現(xiàn)低電量警告之間所能維持的時(shí)間稱為手機(jī)的待機(jī)時(shí)間．為了解兩個(gè)不同型號(hào)手機(jī)的待機(jī)時(shí)間，現(xiàn)從某賣(mài)場(chǎng)庫(kù)存手機(jī)中隨機(jī)抽取兩個(gè)型號(hào)的手機(jī)各5臺(tái)，在相同條件下進(jìn)行測(cè)試，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：手機(jī)編號(hào)12345型待機(jī)時(shí)間（h）120125122124124型待機(jī)時(shí)間（h）118123127120已知兩個(gè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間的平均值相等．(1)求的值；(2)求型號(hào)被測(cè)試手機(jī)待機(jī)時(shí)間方差和標(biāo)準(zhǔn)差的大??；(3)從被測(cè)試的手機(jī)中隨機(jī)抽取型號(hào)手機(jī)各1臺(tái)，求至少有1臺(tái)的待機(jī)時(shí)間超過(guò)122小時(shí)的概率．（注：n個(gè)數(shù)據(jù)…的方差…，其中為數(shù)據(jù)…的平均數(shù)）19．如圖所示，在直三棱柱中，平面平面，且.(1)求證：平面；(2)若三棱錐外接球的體積為，求四棱錐的體積．20．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.21．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，Q為E短軸的一個(gè)端點(diǎn)，若是等邊三角形，點(diǎn)在橢圓E上，過(guò)點(diǎn)作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓E于A，B，C，D，且M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；(3)求面積的最大值．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），點(diǎn)的極坐標(biāo)為且點(diǎn)在曲線上.(1)求曲線的普通方程以及曲線的極坐標(biāo)方程；(2)已知直線與曲線分別交于，兩點(diǎn)，其中，異于原點(diǎn)，求的面積.[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，若，，均為正數(shù)，且，求的最大值．1．D【分析】直接利用復(fù)數(shù)的基本概念得選項(xiàng)．【詳解】解：，的實(shí)部為，虛部為12，的共軛復(fù)數(shù)為，模為．說(shuō)法正確的是復(fù)數(shù)的模為13．故選：D．2．C【分析】可求出集合A，B，然后進(jìn)行并集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可．【詳解】解：A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣3＜x＜1}；∴A∪B＝{x|x＞﹣3}；∴?U（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故選C．【點(diǎn)睛】考查描述法的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及并集、補(bǔ)集的運(yùn)算．3．C【分析】根據(jù)三視圖，求出公式中對(duì)應(yīng)的，代入公式進(jìn)行求解.【詳解】從題設(shè)及三視圖中所提供的圖形信息和數(shù)據(jù)信息可知，代入公式，故選：C．4．B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得出，結(jié)合角的范圍求解即可.【詳解】,，，或，或，故選:B.5．B【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯(cuò)誤．6．A【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，正四面體共有6條棱，其中任取兩條，共有種取法，其中在正四面體中，對(duì)棱互相垂直，只有與，與，與，三組互相垂直，其余任意兩條棱夾角都為，所以這兩條棱所在直線互相垂直的概率.故選：A.7．B【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，結(jié)合題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)在，上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需，解得或，所以t的取值范圍為.故選：B．8．C【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，.故選：C.9．C【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可排除BD，再由當(dāng)時(shí)，，可排除A.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，故BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，C正確；故選：C10．D【分析】先根據(jù)找到周期為2,則,因?yàn)?不在內(nèi),所以根據(jù)奇偶性,有,再根據(jù)周期性有,此時(shí),代入中,根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則,及對(duì)數(shù)恒等式,對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知,所以為奇函數(shù),因?yàn)?將上式中代替,有,將上式中代替,有,所以周期,則,因?yàn)?即,所以,因?yàn)闀r(shí),,所以,所以.故選:D11．B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出即可求解作答.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，令交于點(diǎn)，即有，

由，直線的傾斜角為，得，則，，又，則為正三角形，，因此點(diǎn)，雙曲線：過(guò)點(diǎn)的漸近線為，于是，解得，所以雙曲線的離心率.故選：B12．A【分析】不等式可化為，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.【詳解】由，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，則，此時(shí)，則.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：不等式中含有不相關(guān)的雙變量，據(jù)此分別構(gòu)造不同的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值是關(guān)鍵之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關(guān)鍵點(diǎn)之二，據(jù)此建立方程求解即可.13．2【分析】作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，數(shù)形結(jié)合即可得出最值．【詳解】作出可行域，如下圖：將直線進(jìn)行平移，觀察直線在軸上的截距變化，可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取到最小值，聯(lián)立，解得，可得點(diǎn)，即.故答案為：214．##【分析】綜合運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.15．11【分析】列舉出所有的得分情況，再結(jié)合中位數(shù)的概念求答案即可.【詳解】由題意得小明同學(xué)第一題得6分；第二題選了2個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、4分和6分；第二題選了1個(gè)選項(xiàng)，可能得分情況有3種，分別是得0分、2分和3分；由于相同總分只記錄一次，因此小明的總分情況有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分共8種情況，所以中位數(shù)為，故答案為：11.16．，【分析】當(dāng)，時(shí)，利用構(gòu)造法可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進(jìn)而得出；當(dāng)時(shí)，由題目中的遞推關(guān)系式可得，，，即可求解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，，即，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，即.當(dāng)時(shí)，，即，且，故，故，故，∴，，所以，所以.因?yàn)椋杂?，可得：，?因?yàn)?，所以，，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.利用構(gòu)造法即可求解第一空；借助遞推關(guān)系式得出，，是解答第二空的關(guān)鍵.17．(1)(2)【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，進(jìn)而求得三角形的面積.【詳解】（1），.（2）由，得，,，，.18．(1)(2)；.(3)【分析】（1）先根據(jù)平均數(shù)公式求平均數(shù)，再根據(jù)等量關(guān)系求；（2）根據(jù)方差公式以及標(biāo)準(zhǔn)差公式求結(jié)果；（3）先確定總事件數(shù)，再求對(duì)立事件：兩臺(tái)待機(jī)時(shí)間不超過(guò)122小時(shí)的事件數(shù)，進(jìn)而確定至少有1臺(tái)的待機(jī)時(shí)間超過(guò)122小時(shí)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率【詳解】（1），，由，解得．（2）設(shè)型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的方差為，則…，所以型號(hào)被測(cè)試手機(jī)的待機(jī)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為：；（3）設(shè)A型號(hào)手機(jī)為A1，A2，A3，A4，A5；B型號(hào)手機(jī)為B1，B2，B3，B4，B5，從被測(cè)試的手機(jī)中隨機(jī)抽取A，B型號(hào)手機(jī)各1臺(tái)，不同的抽取方法有25種.事件C：“至少有1臺(tái)的待機(jī)時(shí)間超過(guò)122小時(shí)”事件：“抽取的兩臺(tái)手機(jī)待機(jī)時(shí)間都不超過(guò)122小時(shí)”的選法有：（A1，B1），（A1，B4），（A3，B1），（A3，B4），共4種.因此，所以．【點(diǎn)睛】古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）連接，根據(jù)棱柱的性質(zhì)可得四邊形為正方形，于是，又由面面垂直的性質(zhì)，可得平面，，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理可得平面；（2）先證明為三棱錐外接球的直徑，可得，根據(jù)勾股定理可得，再證明平面后，可得．【詳解】（1）連接，∵為直三棱柱，且，∴四邊形為正方形，∴，又平面平面，且平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又平面，平面，∴，又，且，平面，∴平面.（2）由題可知：，解得外接球半徑，由（1）可知，∵，∴為三棱錐外接球的直徑，∴，又，∴，又，∴，∵，∴平面，∴．20．(1)答案不唯一，見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分和兩類討論，即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）原不等式等價(jià)于，分析函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，只需證明即可，結(jié)合零點(diǎn)可知，利用均值不等式可知最小值大于0，即可證明.【詳解】（1）由題意知的定義域?yàn)?由已知得當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時(shí),令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：原不等式等價(jià)于，則，易知在上單調(diào)遞增，且，所以在上存在唯一零點(diǎn)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要證即要證，由，得,，代入,得，因?yàn)?，所?21．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)及焦點(diǎn)三角形為正三角形求解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程求中點(diǎn)M坐標(biāo)，同理求點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程即可得證；（3）求出三角形面積，利用換元法求函數(shù)的最小值即可得解.【