反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e

§2

無窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分的性質(zhì)

本節(jié)討論無窮積分的性質(zhì),并用這些性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質(zhì)證極限的柯西準(zhǔn)則,此等價(jià)于(無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則)無窮積分定理11.1第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1為任意常數(shù),則即根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)2第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天h(x)在任意[a,u]上可積,且證因?yàn)槭諗?由柯西準(zhǔn)則的必要性,例1,f(x),g(x),若第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天再由柯西準(zhǔn)則的充分性,第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法)設(shè)定義在

上的非負(fù)函數(shù)f

在任何收斂的充要條件是:證設(shè)第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天非負(fù)函數(shù)

f,g在任何有限區(qū)間[a,u]上可積,且定理11.3(比較判別法)

設(shè)定義在上的兩個(gè)增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則,

從而F(u)是單調(diào)遞增的由單調(diào)遞存在滿足第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天證

由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法,第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題,因此也成立.第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例2判別的收斂性.解顯然設(shè)f(x),g(x)是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).證例3第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天推論1設(shè)非負(fù)函數(shù)f和g在任何[a,u]上可積,且證由于第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天證

即第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天推論2設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天限區(qū)間[a,u]上可積.推論3設(shè)f是定義在上的非負(fù)函數(shù),在任何有說明:

推論3是推論2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫出它的證明.第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例4

討論的收斂性(k>0).解(i)第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天若無窮積分以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.三、一般函數(shù)無窮積分的判別法何有限區(qū)間[a,u]上可積,定理11.4

(絕對(duì)收斂的無窮積分必收斂)若

f在任第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天因此再由柯西準(zhǔn)則的充分性,又對(duì)任意證由柯西準(zhǔn)則的必要性,對(duì)因第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天收斂的無窮積分不一定是絕對(duì)收斂的.例5的收斂性.判別解由于第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天瑕積分的性質(zhì)與收斂判別,與無窮積§3

瑕積分的性質(zhì)與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論,并舉分的性質(zhì)與收斂判別相類似.因此本節(jié)

例加以應(yīng)用,而不再進(jìn)行重復(fù)論證.第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天定理11.7

（瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則）證柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)1性質(zhì)2

第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天性質(zhì)3定理11.8

(非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法)第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天定理11.9

(比較法則)第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天推論1第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天推論2第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天推論3可以判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分的收斂性.第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例1由于第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例2解第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天例3解第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天aa

00

<

a

<

1a

1I(a)發(fā)散收斂定積分J(a)收斂收斂發(fā)散

(a)發(fā)散收斂發(fā)散第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天*一般函數(shù)的無窮積分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天使得第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天因此,由柯西準(zhǔn)則，證[證法1]定理11.6(阿貝爾判別法)由

g的單調(diào)性,用積分第二中值定理，對(duì)于任意的使得第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天由柯西準(zhǔn)則,[證法2]第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天由狄利克雷判別法推知另一方面，狄利克雷判別法條件,是收斂的；第39頁,共43頁，2024年2月25日，星期天類似可證:第40頁,共43頁，2024年2月