電磁場基本方程

關(guān)于電磁場基本方程本章內(nèi)容安排2.1靜態(tài)電磁場基本定律和基本場矢量2.2法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律2.3麥克斯韋方程組2.4電磁場的邊界條件2.5坡印廷定理和坡印廷矢量2.6唯一性定理第二章電磁場基本方程第2頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.1靜態(tài)電磁場基本定律和基本場矢量2.1.1庫侖定律和電場強(qiáng)度兩點(diǎn)電荷間的作用力

其中，K是比例常數(shù)，r是兩點(diǎn)電荷間的距離，r為從q1指向q2的單位矢量。若q1和q2同號(hào)，該力是斥力，異號(hào)時(shí)為吸力。第二章電磁場基本方程第3頁,共43頁，2024年2月25日，星期天比例常數(shù)K與力，電荷及距離所用單位有關(guān)。在SI制中，庫侖定律表達(dá)為式中，q1和q2的單位是庫侖(C)，r的單位是米(m)，ε0是真空的介電常數(shù):第二章電磁場基本方程第4頁,共43頁，2024年2月25日，星期天設(shè)某點(diǎn)試驗(yàn)電荷q所受到的電場力為F，則該點(diǎn)的電場強(qiáng)度為由庫侖定律知，在離點(diǎn)電荷q距離為r處的電場強(qiáng)度為

第二章電磁場基本方程第5頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.1.2高斯定理，電通量密度除電場強(qiáng)度E外，描述電場的另一個(gè)基本量是電通量密度D，又稱為電位移矢量。在簡單媒質(zhì)中，電通量密度由下式定義:ε是媒質(zhì)的介電常數(shù)，在真空中ε=ε0，則對真空中的點(diǎn)電荷q有，電通量為第二章電磁場基本方程第6頁,共43頁，2024年2月25日，星期天通量僅取決于點(diǎn)電荷量q，而與所取球面的半徑無關(guān)。根據(jù)立體角概念可知，當(dāng)所取封閉面非球面時(shí),穿過它的電通量將與穿過一個(gè)球面的相同，仍為q如果在封閉面內(nèi)的電荷不止一個(gè)，則利用疊加原理，穿出封閉面的電通量總和等于此面所包圍的總電量1高斯定理積分形式

第二章電磁場基本方程第7頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2高斯定理微分形式若封閉面所包圍的體積內(nèi)的電荷是以體密度ρv分布的，則所包圍的總電量為

上式對不同的V都應(yīng)成立，則兩邊被積函數(shù)必定相等，于是，

第二章電磁場基本方程第8頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.1.3比奧-薩伐定律，磁通量密度兩個(gè)載流回路間的作用力

r是電流元I′dl′至Idl的距離，μ0是真空的磁導(dǎo)率:第二章電磁場基本方程第9頁,共43頁，2024年2月25日，星期天矢量B可看作是電流回路l′作用于單位電流元(Idl=1

A·m)的磁場力，表征電流回路l′在其周圍建立的磁場特性，稱為磁通量密度或磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁通量密度為B的磁場對電流元Idl的作用力為運(yùn)動(dòng)速度為v的電荷Q表示，第二章電磁場基本方程第10頁,共43頁，2024年2月25日，星期天其中A為細(xì)導(dǎo)線截面積，得對于點(diǎn)電荷q，上式變成

通常將上式作為B的定義公式。點(diǎn)電荷q在靜電場中所受的電場力為qE，因此，當(dāng)點(diǎn)電荷q以速度v在靜止電荷和電流附近時(shí)，它所受的總力為

第二章電磁場基本方程第11頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

2.1.4安培環(huán)路定律，磁場強(qiáng)度對于無限長的載流直導(dǎo)線，若以ρ為半徑繞其一周積分B，可得：在簡單媒質(zhì)中，H由下式定義：

第二章電磁場基本方程第12頁,共43頁，2024年2月25日，星期天H為磁場強(qiáng)度，μ是媒質(zhì)磁導(dǎo)率。在真空中μ＝μ0，則稱之為安培環(huán)路定律。表明：磁場強(qiáng)度H沿閉合路徑的線積分等于該路徑所包圍的電流I計(jì)算一些具有對稱特征的磁場分布因?yàn)镾面是任意取的，所以必有第二章電磁場基本方程第13頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.1.5兩個(gè)補(bǔ)充的基本方程1基本方程一靜電場中E沿任何閉合路徑的線積分恒為零:利用斯托克斯定理得說明：靜電場是無旋場即保守場靜電場的保守性質(zhì)符合能量守恒定律，與重力場性質(zhì)相似物體在重力場中有一定的位能第二章電磁場基本方程第14頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2基本方程二靜磁場的特性則正好相反，說明：自然界中并不存在任何單獨(dú)的磁荷，磁力線總是閉合的閉合的磁力線穿進(jìn)封閉面多少條，也必然要穿出同樣多的條數(shù)結(jié)果使穿過封閉面的磁通量恒等于零第二章電磁場基本方程第15頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.2法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律2.2.1法拉第電磁感應(yīng)定律1定律內(nèi)容導(dǎo)線回路所交鏈的磁通量隨時(shí)間改變時(shí)，回路中將感應(yīng)一電動(dòng)勢，而且感應(yīng)電動(dòng)勢正比于磁通的時(shí)間變化率。楞次定律指出了感應(yīng)電動(dòng)勢的極性，即它在回路中引起的感應(yīng)電流的方向是使它所產(chǎn)生的磁場阻礙磁通的變化。2定律數(shù)學(xué)表達(dá)式第二章電磁場基本方程第16頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3定律積分形式說明：右邊第一項(xiàng)是磁場隨時(shí)間變化在回路中“感生”的電動(dòng)勢第二項(xiàng)是導(dǎo)體回路以速度v對磁場作相對運(yùn)動(dòng)所引起的“動(dòng)生”電動(dòng)勢。第二章電磁場基本方程第17頁,共43頁，2024年2月25日，星期天4定律微分形式意義：隨時(shí)間變化的磁場將激發(fā)電場，稱該電場為感應(yīng)電場，不同于由電荷產(chǎn)生的庫侖電場庫侖電場是無旋場即保守場而感應(yīng)電場是旋渦場，其旋渦源就是磁通的變化

第二章電磁場基本方程第18頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.2.2位移電流和全電流定律1微分形式基本方程2電荷守恒定律積分形式第二章電磁場基本方程第19頁,共43頁，2024年2月25日，星期天微分形式3

微分形式的電流連續(xù)性方程第二章電磁場基本方程第20頁,共43頁，2024年2月25日，星期天4位移電流密度即Jd應(yīng)用斯托克斯定理，便得到其積分形式：說明：磁場強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面上的全電流。第二章電磁場基本方程第21頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.2.3全電流連續(xù)性原理對任意封閉面S有

即穿過任一封閉面的各類電流之和恒為零。2.3麥克斯韋方程組2.3.1麥克斯韋方程組的微分形式與積分形式

第二章電磁場基本方程第22頁,共43頁，2024年2月25日，星期天麥克斯韋方程組及電流連續(xù)性方程

微分形式積分形式法拉第定律全電流定律高斯定理磁通連續(xù)性定理電流連續(xù)方程第二章電磁場基本方程第23頁,共43頁，2024年2月25日，星期天四個(gè)方程的物理意義時(shí)變磁場將激發(fā)電場電流和時(shí)變電場都會(huì)激發(fā)磁場穿過任一封閉面的電通量等于此面所包圍的自由電荷電量

穿過任一封閉面的磁通量恒等于零此外，麥?zhǔn)戏匠探M中的四個(gè)方程并不都是獨(dú)立第二章電磁場基本方程第24頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.3.2本構(gòu)關(guān)系和波動(dòng)方程1本構(gòu)關(guān)系對于簡單媒質(zhì)，其本構(gòu)關(guān)系為對于真空(或空氣)

第二章電磁場基本方程第25頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2媒質(zhì)分類的媒質(zhì)稱為理想介質(zhì)

的媒質(zhì)稱為理想導(dǎo)體

的媒質(zhì)統(tǒng)稱為導(dǎo)電媒質(zhì)

若媒質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān)，稱為均勻媒質(zhì)；若媒質(zhì)參數(shù)與場強(qiáng)大小無關(guān)，稱為線性媒質(zhì)；若媒質(zhì)參數(shù)與場強(qiáng)方向無關(guān)，稱為各向同性媒質(zhì)；

若媒質(zhì)參數(shù)與場強(qiáng)頻率無關(guān)，稱為非色散媒質(zhì)；反之稱為色散媒質(zhì)。第二章電磁場基本方程第26頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3表中各式變形利用本構(gòu)關(guān)系，可得即第二章電磁場基本方程第27頁,共43頁，2024年2月25日，星期天4波動(dòng)方程簡單媒質(zhì)中的有源區(qū)域（)時(shí)，稱為E和H的非齊次矢量波動(dòng)方程。其中場強(qiáng)與場源的關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜，因此通常都不直接求解這兩個(gè)方程，

而是引入下述位函數(shù)間接地求解E和H。第二章電磁場基本方程第28頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.3.3電磁場的位函數(shù)由表中的麥?zhǔn)戏匠探M式知▽·B=0。又▽·(▽×A)=0，因而可引入下述矢量位函數(shù)A(簡稱矢位或磁矢位)：即而由表中的麥?zhǔn)戏匠探M式(a)知，

第二章電磁場基本方程第29頁,共43頁，2024年2月25日，星期天由于▽×▽φ=0，故引入標(biāo)量位函數(shù)φ(簡稱標(biāo)位或電標(biāo)位):因▽×▽×A=▽(▽·A)-▽2A，上式可改寫為

第二章電磁場基本方程第30頁,共43頁，2024年2月25日，星期天

電磁場邊界條件

2.4電磁場的邊界條件2.4.1一般情況第二章電磁場基本方程第31頁,共43頁，2024年2月25日，星期天1

E和H的切向分量邊界條件對此回路應(yīng)用麥?zhǔn)闲确匠淌?，可得得到E和H的切向分量邊界條件為第二章電磁場基本方程第32頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2

D和B的法向分量邊界條件計(jì)算穿出體積元ΔS×Δh表面的D，B通量時(shí)，考慮ΔS很小，則穿出側(cè)壁的通量可忽略，從而得

于是有第二章電磁場基本方程第33頁,共43頁，2024年2月25日，星期天電磁場的邊界條件第二章電磁場基本方程第34頁,共43頁，2024年2月25日，星期天3關(guān)于邊界條件的說明任何分界面上E的切向分量連續(xù)在分界面上若存在面電流(僅在理想導(dǎo)體表面上存在)，H的切向分量不連續(xù)，其差等于面電流密度；否則，H的切向分量連續(xù)在分界面上有面電荷(在理想導(dǎo)體表面上)時(shí)，D的法向分量不連續(xù)，其差等于面電荷密度；否則，D的法向分量連續(xù)任何分界面上B的法向分量連續(xù)第二章電磁場基本方程第35頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.4.2兩種特殊情況理想介質(zhì)是指

即無歐姆損耗的簡單媒質(zhì)。在兩種理想介質(zhì)的分界面上不存在面電流和自由電荷，即

第二章電磁場基本方程兩種理想介質(zhì)間的邊界條件

第36頁,共43頁，2024年2月25日，星期天理想介質(zhì)和理想導(dǎo)體間的邊界條件

第二章電磁場基本方程第37頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.5坡印廷定理和坡印廷矢量2.5.1坡印廷定理的推導(dǎo)和意義

上式兩端對封閉面S所包圍的體積V進(jìn)行積分，并利用散度定理，則有第二章電磁場基本方程第38頁,共43頁，2024年2月25日，星期天第二章電磁場基本方程其中，為電場能量密度

為磁場能量密度

第39頁,共43頁，2024年2月25日，星期天2.5.2坡印廷矢量代表流出S面的功率流密度，單位是W/m2，其方向就是功率流的方向，它與矢量E和H相垂直，三者成右手螺旋關(guān)系。S稱為坡印廷矢量。

第二章電磁場基本方程第40頁,共43頁，2024年2月25日，星期天坡印廷矢量

同軸線的功率傳輸

第二