函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)

關(guān)于函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)1.函數(shù)y=f(x)單調(diào)性的判定K切=f'(x)>0y單調(diào)遞增凡呈凸型的弧段其切線總位于曲線的上方.凡呈凹型的弧段其切線總位于曲線的下方.K切=f'(x)<0y單調(diào)遞減x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo

2.幾何特征Ｉy=f(x)連續(xù)曲線的凹弧段與凸弧段有分界點(diǎn).第2頁,共8頁，2024年2月25日，星期天一.定義:若曲線y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)位于其切線的上方.則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凹的,此區(qū)間稱為凹區(qū)間.若曲線位于其切線的下方,則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凸的,此區(qū)間稱為凸區(qū)間.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3曲線的凹凸與拐點(diǎn)ab1.幾何特征Ⅱ

凹型曲線:切線的斜率隨著X的增大而增大.凸型曲線:切線的斜率隨著X的增大而減小.??????x1x2x3x1x2x3第3頁,共8頁，2024年2月25日，星期天連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).曲線y=f(x)的凹凸性可以用f′的單調(diào)性來判定.

即y=f(x)的凹凸性與f″的符號有關(guān).(x)

(x)設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f″.(x)(1)如果在(a,b)內(nèi)f″>0,那末曲線在(a,b)內(nèi)

是凹的.(x)(2)如果在(a,b)內(nèi)f″<0,那么曲線在(a,b)內(nèi)

是凸的.

(x)

2.結(jié)論:二.定理:

三.定義:第4頁,共8頁，2024年2月25日，星期天(A)例1.判定y=ax2+bx+c的凹凸性.(a≠0)解:定義域為(?∞,+∞)y'=2ax+b當(dāng)a>0時，y">0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內(nèi)是凹的.當(dāng)a<0時，y"<0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內(nèi)是凸的.注：凹凸性的判定定理的記憶與二次函數(shù)的開口方向相結(jié)合。y"=2a第5頁,共8頁，2024年2月25日，星期天例2.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)(B)1.y=x4?2x3+1解：（1）定義域為（?∞,+∞）（2）y'=4x3?6x2y"=12x2?12x=12x(x?1)（4）列表xy″y（?∞，0）+∪00（0，1）?∩10拐點(diǎn)（0，1）拐點(diǎn)（1，0）（1，+∞）+∪∴已知曲線的凹區(qū)間為（?∞，0）∪（1，+∞），凸區(qū)間為（0，1）拐點(diǎn)為（0，1）與（1，0）.（3）令y"=0,得x=0,x=1

12第6頁,共8頁，2024年2月25日，星期天解：（1）定義域為（?∞，+∞）（2）y'=8(2x-1)3（3）顯然x∈

(?∞,+∞),y"≥0∴凹區(qū)間（?∞，+∞），無拐點(diǎn)(B)2.y=(2x-1)+14y"=48(2x-1)21.下列結(jié)論是否正確（1）.由f"(x0)=0所確定的點(diǎn)(x0,f(x0))一定是拐點(diǎn).2.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)(B)（2）y=ln(1+x2)（2）.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)二次可導(dǎo),且f'(x)<0,f"(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)單調(diào)遞減且凹向上.練習(xí)(B)(A)（1