常微分方程的應(yīng)用

關(guān)于常微分方程的應(yīng)用1、找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:(1)根據(jù)物理規(guī)律列方程；解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)利用微元法列方程；比例關(guān)系牛頓第二定律確定定解條件(個(gè)性)初始條件邊界條件可能還要銜接條件4、分析解所包含的實(shí)際意義2、利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.3、求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.第2頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁,共86頁，2024年2月25日，星期天代入上式解得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則100年后鐳的質(zhì)量為：第4頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解：第5頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁,共86頁，2024年2月25日，星期天可得

OMA=OAM=

例3：探照燈反射鏡面設(shè)計(jì)解:

設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成.過曲線上任意點(diǎn)M(x,y)

作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而AO=OM要求點(diǎn)光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在制造探照燈反射鏡面時(shí)，第7頁,共86頁，2024年2月25日，星期天利用曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)

y>0,積分得故有得

(拋物線)于是方程化為(齊次方程)

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束于是得微分方程:第8頁,共86頁，2024年2月25日，星期天頂?shù)降椎木嚯x為

h,說明:則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為若已知反射鏡面的底面直徑為d

,代入通解表達(dá)式得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（1）分析、簡化利用微元法求解第10頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(2)列方程

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束鹽的改變量=流入的鹽量–流出的鹽量第12頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解：例5：

某車間體積為12000立方米,開始時(shí)空氣中含有的,為了降低車間內(nèi)空氣中的含量,用一臺(tái)風(fēng)量為每分鐘2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含的的新鮮空氣,同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出,問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到多少?設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后時(shí)刻的含量為在內(nèi),的通入量的排出量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁,共86頁，2024年2月25日，星期天的通入量的排出量的改變量6分鐘后,車間內(nèi)的百分比降低到機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁,共86頁，2024年2月25日，星期天

例6：有一盛滿水的漏斗，高為10厘米。頂角為600,漏斗下有一橫截面積為0.5平方厘米的小孔。問：水全部流完需要多長時(shí)間？解由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流出的速度為設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h降至,則漏斗內(nèi)水的體積的改變量為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁,共86頁，2024年2月25日，星期天又在時(shí)間間隔從小孔流出的水的體積為解得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解：設(shè)魚雷的運(yùn)動(dòng)軌跡為并設(shè)經(jīng)過時(shí)間t魚雷位于點(diǎn)P(x,y)，乙艦位于點(diǎn)Q(1,v0t)第17頁,共86頁，2024年2月25日，星期天則即由題意由(1),(2)消去v0t得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上式兩邊求導(dǎo)并整理得并有初始條件第18頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(3)式是不顯含y的，令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)式化為初始條件為解得(4)式左端分子有理化得第19頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(4)式+(5)式得初始條件為解得即乙艦航行到點(diǎn)時(shí)，被魚雷擊中。

機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解：垂直方向上的力重力：阻力：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁,共86頁，2024年2月25日，星期天水平方向上的力阻力：利用牛頓第二定律得兩個(gè)初值問題解得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例9：人造衛(wèi)星發(fā)射問題

解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，為使其擺脫地球引力，初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度，試計(jì)算此速度。設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為m,地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星的質(zhì)心到地心的距離為h,由牛頓第二定律得:②(G

為引力系數(shù))則有初值問題:又設(shè)衛(wèi)星的初速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束③第23頁,共86頁，2024年2月25日，星期天代入原方程②,得兩邊積分得利用初始條件③,得因此注意到機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁,共86頁，2024年2月25日，星期天為使上式成立，因?yàn)楫?dāng)h=R(在地面上)時(shí),引力=重力,即④代入④即得這說明第二宇宙速度為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁,共86頁，2024年2月25日，星期天利用牛頓第二定律求解方程的一些問題另一端離釘子12m,如不計(jì)釘子對(duì)鏈條所產(chǎn)生的摩擦力,求鏈條滑下來所需的時(shí)間.解：建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)在時(shí)刻

t

,鏈條較長一段下垂

xm,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)此時(shí)鏈條受力由牛頓第二定律,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例10：一鏈條掛在一釘子上，啟動(dòng)時(shí)一端離釘子8m，第26頁,共86頁，2024年2月25日，星期天由初始條件得故定解問題的解為解得當(dāng)x=20m

時(shí),(s)微分方程通解:思考:

若摩擦力為鏈條1m

長的重量,定解問題的數(shù)學(xué)模型是什么?機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁,共86頁，2024年2月25日，星期天摩擦力為鏈條1m

長的重量時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為此時(shí)鏈條滑下來所需時(shí)間為：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁,共86頁，2024年2月25日，星期天從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器，按探測(cè)要求需確定儀器的下沉深度

y

與下沉速度v

之間的函數(shù)關(guān)系設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉，在

下沉過程中還受到阻力和浮力作用，設(shè)儀器質(zhì)量為

m，體積為B

,海水比重為

,儀器所受阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v

所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).(98考研)建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量m體積B由牛頓第二定律重力浮力阻力機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例11：解:設(shè)時(shí)刻t

，儀器下沉了y(t)第29頁,共86頁，2024年2月25日，星期天初始條件為用分離變量法解上述初值問題得質(zhì)量m體積B得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:第30頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解：由牛頓第二定律，得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)經(jīng)過

t

小時(shí),飛機(jī)的滑行距離為x(t)公里第32頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例13：質(zhì)量為

m

的質(zhì)點(diǎn)受力F

的作用沿ox

軸作直線運(yùn)動(dòng),在開始時(shí)刻隨著時(shí)間的增大,此力F

均勻地減直到t=T

時(shí)F(T)=0.如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn),解:

據(jù)題意有t=0

時(shí)設(shè)力F僅是時(shí)間t

的函數(shù):F=F(t).小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.初始速度為0,且對(duì)方程兩邊積分,得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁,共86頁，2024年2月25日，星期天利用初始條件于是兩邊再積分得再利用故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第34頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例14：設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A,

河寬OA

=h,

一鴨子從點(diǎn)

A

游向點(diǎn)為平行直線,且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O,如圖所示建立坐標(biāo)系，設(shè)時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x,y)，設(shè)鴨子(在靜水中)的游速大小為b求鴨子游動(dòng)的軌跡方程.O

,水流速度大小為a,兩岸機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解：鴨子游速為：則由題意第35頁,共86頁，2024年2月25日，星期天定解條件由此得微分方程即(齊次方程)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁,共86頁，2024年2月25日，星期天代入前方程得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分離變量得兩邊積分得兩式相加得第37頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束鴨子游過的軌跡方程為第38頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例15：繩索僅受重力作用而下垂,解:

取坐標(biāo)系如圖.考察最低點(diǎn)A到(

:密度,s:弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件,有故有設(shè)有一均勻,柔軟的繩索,兩端固定,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線?任意點(diǎn)M(x,y)

弧段的受力情況:

A點(diǎn)受水平張力HM

點(diǎn)受切向張力T兩式相除得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第39頁,共86頁，2024年2月25日，星期天則得定解問題:原方程化為兩端積分得則有兩端積分得故所求繩索的形狀為懸鏈線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第40頁,共86頁，2024年2月25日，星期天則得定解問題:原方程化為兩端積分得則有兩端積分得故所求繩索的形狀為懸鏈線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第41頁,共86頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí),物體處于平衡狀態(tài),例16：質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時(shí)刻

t

物體位移為x(t).(1)自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移滿足的微分方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第42頁,共86頁，2024年2月25日，星期天據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動(dòng)方程:阻力(2)強(qiáng)迫振動(dòng)情況.若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受到位移則得有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方向上的鉛直外力（干擾力）第43頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例17：求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:

問題歸結(jié)為求解無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程當(dāng)p

≠k

時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:上例中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入（*）可得:（*）機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第44頁,共86頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k

時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)

p

=k

時(shí),非齊次特解形式:代入（*）可得:方程（*）的解為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束因此原方程（*）之解為第45頁,共86頁，2024年2月25日，星期天若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

與k

盡量靠近,隨著

t

的增大,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

遠(yuǎn)離固有頻率k

;或使p=k.自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第46頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例18：解:由例16知,位移滿足質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0

時(shí)物體的位置為取其平衡位置為原點(diǎn)建因此定解問題為自由振動(dòng)方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第47頁,共86頁，2024年2月25日，星期天方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動(dòng)情況

(n=0)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第48頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解的特征:簡諧振動(dòng)A:振幅,

:初相,周期:固有頻率機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(僅由系統(tǒng)特性確定)第49頁,共86頁，2024年2月25日，星期天方程:特征方程:特征根:小阻尼:

n<k這時(shí)需分如下三種情況進(jìn)行討論:2)有阻尼自由振動(dòng)情況大阻尼:

n>k臨界阻尼:

n=k解的特征解的特征解的特征機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第50頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(n<k)小阻尼自由振動(dòng)解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運(yùn)動(dòng)周期:振幅:衰減很快,隨時(shí)間t

的增大物體趨于平衡位置.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束返回第51頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(n>k)大阻尼解的特征:1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對(duì)任何初始條件即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束返回第52頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(n=k)臨界阻尼解的特征:任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t

軸交于一點(diǎn);即隨時(shí)間t

的增大物體總趨于平衡位置.2)

無振蕩現(xiàn)象;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束返回第53頁,共86頁，2024年2月25日，星期天在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例19：有一電路如圖所示,電阻

R

和電～解:

列方程.已知經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri

經(jīng)過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L

都是常量,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第54頁,共86頁，2024年2月25日，星期天～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第55頁,共86頁，2024年2月25日，星期天暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流～因此所求電流函數(shù)為解的意義:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第56頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例20：人口預(yù)測(cè)問題：1)Malthus人口模型(1798年)基本假設(shè)：人口作為時(shí)間t的函數(shù)x(t)，其變化率與當(dāng)時(shí)的人口數(shù)成正比，比例系數(shù)r稱為人口增長率，其數(shù)學(xué)模型為：1、Malthus人口模型；2、阻滯增長模型（Logistic模型）。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第57頁,共86頁，2024年2月25日，星期天實(shí)際應(yīng)用時(shí)，把時(shí)間離散化，以年為單位，這模型對(duì)有的國家或地區(qū)吻合較好，有的卻不行，其原因是自然資源，環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長起著重大的阻滯作用，為此，對(duì)上述模型做合理的修正。人口以指數(shù)形式增長。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第58頁,共86頁，2024年2月25日，星期天2)阻滯增長模型(Logistic模型)假設(shè)：人口增長率是人口的函數(shù)

r(x)。設(shè)它為線性函數(shù)：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第59頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解此初值問題得:Logistic函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第60頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束分析：第61頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第62頁,共86頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束習(xí)題5-8(P432)

1；4；6；13；16；19；25；28第63頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解例1通解機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題：第64頁,共86頁，2024年2月25日，星期天機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第65頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例2：有高為1米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面積為1平方厘米(如圖)。開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水，求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)間t的變化規(guī)律。解：由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流出的流量為流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第66頁,共86頁，2024年2月25日，星期天設(shè)在微小的時(shí)間間隔水面的高度由h

降至,比較(1)和(2)得:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第67頁,共86頁，2024年2月25日，星期天即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量所求規(guī)律為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第68頁,共86頁，2024年2月25日，星期天例3.

已知某車間的容積為的新鮮空氣問每分鐘應(yīng)輸入多少才能在30分鐘后使車間空的含量不超過0.06%?設(shè)每分鐘應(yīng)輸入

t時(shí)刻車間空氣中含則在內(nèi)車間內(nèi)兩端除以并令與原有空氣很快混合均勻后,以相同的流量排出)得微分方程(假定輸入的新鮮空氣輸入,的改變量為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:第69頁,共86頁，2024年2月25日，星期天t=30時(shí)解定解問題因此每分鐘應(yīng)至少輸入250

新鮮空氣.初始條件得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束

k=?第70頁,共86頁，2024年2月25日，星期天速度大小為2v,方向指向A

,設(shè)t時(shí)刻

B位于(x,y),

如

圖

所示,則有去分母后兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得又由于設(shè)物體

A

從點(diǎn)(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v例4：的速度沿y軸正向運(yùn)動(dòng),物體B

從(–1,0)

出發(fā),試建立物體B

的運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)滿足的微分方程及初始條件.①機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束解:第71頁,共86頁，2024年2月25日，星期天代入①式得所求微分方程:其初始條件為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第72頁,共86頁，2024年2月25日，星期天解：(1)模型假設(shè)設(shè)敵機(jī)以勻速v1作直線飛行，導(dǎo)彈的飛行方向始終指向敵機(jī)，其速度為v2，(2)模型構(gòu)成如圖建立坐標(biāo)系：初始時(shí)刻敵機(jī)在原點(diǎn)，導(dǎo)彈在A(a,0)，時(shí)刻t，導(dǎo)彈在P(x,y)，敵機(jī)在Q(0,v1t)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第73頁,共86頁，2024年2月25日，星期天設(shè)導(dǎo)彈的飛行路線為則即兩端對(duì)x求導(dǎo)得又導(dǎo)彈的速度為v2，機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束由題意第74頁,共86頁，2024年2月25日，星期天代入(1)得得初值問題機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)式兩端對(duì)x求導(dǎo)得第75頁,共86頁，2024年2月25日，星期天(3)模型求解模型是不顯含y的，解得x=0時(shí)導(dǎo)彈擊中目標(biāo)，此時(shí)則導(dǎo)彈擊中目標(biāo)所用時(shí)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第76頁,共86頁，2024年2月25日，星期天M

:地球質(zhì)量m

:物體質(zhì)量例6：靜止開始落向地面,求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間(不計(jì)空氣阻力).解:

如圖所示選取坐標(biāo)系.則有定解問題:代入方程得積分得一個(gè)離地面很高的物體,受地球引力的作用由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第77頁,共86頁，2024年2月25日，星期天兩端積分得因此有注意“－”號(hào)機(jī)動(dòng)