90題突破高中數(shù)學(xué)圓錐曲線

90題突破高中數(shù)學(xué)圓錐曲線

1.如圖，已知直線L：x=叩+l過橢圓C：「+5=l(a〉b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓

a-b

C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B在直線G:x="上的射影依次為點(diǎn)D、E?

(1)若拋物線/=4島的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，求橢圓C的方程;

(2)(理)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定

點(diǎn)N,請求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說明理由。

/+1------

(文)若N(-y-,0)為x軸上一點(diǎn)，求證：4V=XNE

2.如圖所示，已知圓C:(x+1)2+/=&定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上,

XF

點(diǎn)N在CM上，AM=2AP,NP-AM=Q,點(diǎn)N的軌跡為曲線E。

(1)求曲線E的方程；

(2)若過定點(diǎn)F(0,2)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)G、H(點(diǎn)G在點(diǎn)F、H之間)，且滿

足河=力而，求/I的取值范圍。

X2V2

3.設(shè)橢圓C：=+彳=1(q>6>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作垂直于AF的直

線交橢圓C于另外一點(diǎn)P,交x軸正半軸于點(diǎn)Q,且

⑴求橢圓C的離心率；

⑵若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線

1-x+JJy—5=0相切，求橢圓C的方程.

r22歷

4.設(shè)橢圓.va=1(。>b>0)的離心率為e=^

(1)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為R、Fz、A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A到此兩焦點(diǎn)的距離之和

為4,求橢圓的方程.

(2)求b為何值時(shí)，過圓x?+y2=t2上一點(diǎn)M(2,R)處的切線交橢圓于6、Qz兩點(diǎn)，而

且0Qi_L0Qz.

5.已知曲線c上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)R(-代，0)和Fz(石，0)的距離之和為4.

(1)求曲線c的方程；

(2)設(shè)過(0,-2)的直線/與曲線c交于C、D兩點(diǎn)，且而?麗=0(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直

線/的方程.

2

6.已知橢圓X2+y=1(0<6<1)的左焦點(diǎn)為F,左、右頂點(diǎn)分別為A、C,上頂點(diǎn)為B.過F、

B、C作。P,其中圓心P的坐標(biāo)為(m,n).

(I)當(dāng)m+n>0時(shí)，求橢圓離心率的范圍;

(II)直線AB與。P能否相切？證明你的結(jié)論.

7.有如下結(jié)論：“圓/+/=尸2上一點(diǎn)。(%,為)處的切線方程為與卜+九夕=/”,類比

也有結(jié)論："橢圓士+《=1(。>6>0)上一點(diǎn)P(//0)處的切線方程為

ab

W+*=l"，過橢圓c：二+_/=1的右準(zhǔn)線/上任意一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，

a2b24

切點(diǎn)為A、B.

(1)求證：直線AB恒過一定點(diǎn)；(2)當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求aABM的面積

r2V2

8.已知點(diǎn)P(4,4),圓C：+_/=5(機(jī)<3)與橢圓E：f々=1(a>6>0)有一個(gè)公

a"b

共點(diǎn)A(3,1),Fi、&分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線PA與圓端切.

(I)求m的值與橢圓E的方程；

(II)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求萬?福的取值范圍.

9.橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)為4(0,2),右焦點(diǎn)/與點(diǎn)8(夜,夜)的距離

為2。

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在斜率左#0的直線/：y=kx-2,使直線/與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)N,N

滿足=若存在，求直線/的傾斜角a；若不存在，說明理由。

10.橢圓方程為三+%=1(a>6>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為N(0,2),離心率e=半。

(1)求橢圓的方程；

(2)直線/：丁=任-2(人70)與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)加，"滿足

MP=PN,AP-MN=0,求左。

2

11.已知橢圓W=1(0<6<1)的左焦點(diǎn)為F,左右頂點(diǎn)分別為A,C上頂點(diǎn)為B,過F,B,C

三點(diǎn)作P,其中圓心P的坐標(biāo)為(肛;7).

(1)若橢圓的離心率e=@,求P的方程；

2

(2)若P的圓心在直線x+y=0上，求橢圓的方程.

12.已知直線/:y=x+l與曲線C:2T+彳=1(。>0,6>0)交于不同的兩點(diǎn)48,。為

坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)若|。4|=|。8|,求證：曲線C是一個(gè)圓；

(H)若當(dāng)a>6且ae［當(dāng)，萼］時(shí)，求曲線。的離心率e的取值范圍.

x2v2

13.設(shè)橢圓C:++匕=1(?！?)的左、右焦點(diǎn)分別為大、F2,A是橢圓C上的一點(diǎn)，且

a2

，.1

”2書6=0,坐標(biāo)原點(diǎn)0到直線AFX的距離為一|。片|.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過Q的直線/交x軸于點(diǎn)P(-l,0),較y軸于點(diǎn)M,若

MQ^2QP,求直線/的方程.

14.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，過其上一點(diǎn)尸(X。,汽)(/#0)的

切線方程為歹一為=2℃0(》一/)(。為常數(shù)).

(I)求拋物線方程；

(II)斜率為匕的直線PA與拋物線的另一交點(diǎn)為A,斜率為0的直線PB超物繳蜉

一交點(diǎn)為B(A、B兩點(diǎn)不同)，且滿足抬+=0(/1H0,4N-1),若詼=AMA,

求證線段PM的中點(diǎn)在y軸上；

(III)在(II)的條件下，當(dāng)之=1￡<0時(shí)，若P的坐標(biāo)為(1,-1),求NPAB為鈍

角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.

15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上，且滿足|AB|=2,點(diǎn)P在線段AB上，且

9=/而”是不為零的常數(shù)).設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為Co

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程C；

(2)若t=2,點(diǎn)M、N是C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M、N不在坐標(biāo)軸上)，點(diǎn)Q

3

坐標(biāo)為(5,3),求4(11\/^的面積S的最大值。

16.設(shè)4(國,必),5(%2，歹2)是橢圓「+三=l(a>b>0)上的兩點(diǎn)，

ab

已知沅=(2,為)，歷=(',］！)，若用.方=0且橢圓的離心率e=@，短軸長為2,O

baba2

為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求橢圓的方程；

(II)若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F(0,c),(c為半焦距)，求直線AB的斜率k的值；

(ID)試問：AAOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由

17.如圖，F(xiàn)是橢圓KFl/a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，A,B是橢圓的

兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為點(diǎn)KEx軸上，BCLBF,B,C,F

2

三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線A：X+島+3=0相切.

(I)求橢圓的方程：

(II)過點(diǎn)A的直線b與圓M交于PQ兩點(diǎn)，且赤?荻=-2,

求直線%的方程.第22題圖

18.如圖，橢圓長軸端點(diǎn)為46,。為橢圓中心，尸為橢圓的右

焦點(diǎn)，且萬?麗=1|福卜1.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M,直線/交橢圓于尸，。兩點(diǎn)，問：是否存在直線/,使點(diǎn)尸

恰為APQM的垂心？若存在，求出直線/的方程;若不存在，請說明理由.

19.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為、5

/:y=x+〃?交橢圓于4,8兩不同的點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；

(2)求加的取值范圍；

(3)若直線/不過點(diǎn)M,求證：直線朋4與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.

20.設(shè)/(1,0),點(diǎn)/在x軸上，點(diǎn)P在歹軸上，旦MN=2MP,PMLPF

(1)當(dāng)點(diǎn)P在歹軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；

(2)設(shè)次匹，必),8(乙,%)，。。3，為)是曲線。上的點(diǎn)，且I萬MBF|,|而|成等差數(shù)

列，當(dāng)/。的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時(shí)，求8點(diǎn)坐標(biāo).

21.已知點(diǎn)8(-1,0),C(1,0),P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|卮|?|瑟|=麗.赤

(1)求點(diǎn)尸的軌跡C對應(yīng)的方程；

(2)已知點(diǎn)4見2)在曲線。上，過點(diǎn)N作曲線C的兩條弦/。和NE,且

判斷：直線。E是否過定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.

22.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過/(-2,0)、8(2,0)、CH,|

三點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程：

(2)若點(diǎn)。為橢圓E上不同于/、8的任意一點(diǎn)，F(xiàn)(-l,0),77(l,0),當(dāng)DFH內(nèi)

切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；

(3)若直線/:卜=左"一1)(左。0)與橢圓￡交于加、N兩點(diǎn)，證明直線4W與直線

BN的交點(diǎn)在直線x=4上.

23.過直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線/=2Px(p>0)的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為7的直線

與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)。y?乙一

(1)用P表示A,B之間的距離；

(2)證明：N/06的大小是與P無關(guān)的定值，-0

并求出這個(gè)值。

24.設(shè)片，鳥分別是橢圓C：「+4=1(。>6>0)的左右焦點(diǎn)

ah

⑴設(shè)橢圓C上的點(diǎn)電與到片,F2兩點(diǎn)距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)

(2)設(shè)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段K4的中點(diǎn)B的軌跡方程

(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM,

PN的斜率都存在，并記為kpM,KPN試探究kPM-KPN的值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，

并證明你的結(jié)論。

25.已知橢圓。|：^+}=1伍>6>0)的離心率為且，直線/：y=x+2與以原點(diǎn)為圓

心、以橢圓G的短半軸長為半徑的圓相切.

(I)求橢圓G的方程；

(ID設(shè)橢圓q的左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)鳥，直線(過點(diǎn)片且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直

線，2垂直4于點(diǎn)P,線段尸耳垂直平分線交(于點(diǎn)加，求點(diǎn)〃的軌跡G的方程;

(川)設(shè)G與x軸交于點(diǎn)。，不同的兩點(diǎn)凡s在G上，且滿足四?麗=0,求|不|的

取值范圍.

22

26.如圖所示，已知橢圓C：?+彳=1(。>6>0),耳、B為

其左、右焦點(diǎn)，N為右頂點(diǎn)，/為左準(zhǔn)線，過片的直線

x=/w_y-c與橢圓相交于尸、

。兩點(diǎn)，且有：AP-AQ^-(a+cy(c為橢圓的半焦距)

(1)求橢圓。的離心率e的最小值；

12

(2)若ew(5,5),求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

(3)若/pn/=A/,/0n/=N,

求證：M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；

27.已知橢圓/+《=1僅€(0,1))的左焦點(diǎn)為左右頂點(diǎn)分別為4C,上頂點(diǎn)為8,

b

過￡8,C三點(diǎn)作圓尸，其中圓心尸的坐標(biāo)為(加,〃)

(1)當(dāng)初+”>0時(shí)，橢圓的離心率的取值范圍

(2)直線能否和圓尸相切？證明你的結(jié)論

28.已知點(diǎn)A(—1,0),B(1,-1)和拋物線.C：/=4x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A的動(dòng)

直線/交拋物線C于M、P,直線MB交拋物線C于另一點(diǎn)Q,如圖.

(I)證明：兩?而為定值；

5----—-

(II)若△POM的面積為一，求向量OA7與。。的夾角；

2

(III)證明直線PQ恒過一個(gè)定點(diǎn).

22

29.已知橢圓C：?+5=1上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)用(機(jī),0),其中

Q<m<2的距離的最小值為1.

(1)請確定M點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)試問是否存在經(jīng)過M點(diǎn)的直線/，使/與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條件

|力+礪卜|前|(O為原點(diǎn))，若存在,求出/的方程，若不存在請說是理由。

30.已知橢圓*2+3爐=5,直線/號=左(8+1)與橢圓相交于48兩點(diǎn).

(I)若線段N8中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-,，求直線N8的方程；

2

(II)在X軸上是否存在點(diǎn)/(機(jī),0),使加?礪的值與左無關(guān)？若存在，求出〃7的

值；若不存在，請說明理由.

31.直線AB過拋物線=2py(p>0)的焦點(diǎn)F,并與其相交于A、B兩點(diǎn)。Q是線段AB

的中點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn).0是坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)求而?標(biāo)的取值范圍；

(II)過A、B兩點(diǎn)分別作此撒物線的切線,兩切線相交于N點(diǎn).求證：MNOF^O,NQ

//OF;

（ID）若P是不為1的正整數(shù)，當(dāng)MA-MB=4P2,AABN的面積的取值范圍為

［575,2075］時(shí)，求該拋物線的方程.

32.如圖，設(shè)拋物線％：儼=4爾（w>0）的準(zhǔn)線與x軸交于耳，焦點(diǎn)為工；以百、工為

焦點(diǎn)，離心率e=；的橢圓生與拋物線J在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P.

（I）當(dāng)m=l時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；

（II）在（I）的條件下，直線/經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)鳥，與拋物線q交于4、A2,

如果以線段44為直徑作圓，試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

<m）是否存在實(shí)數(shù)機(jī)，使得些工的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)

數(shù)相；若不存在，請說明理由.

33.已知點(diǎn)4（-1,0）,6（1,0）和動(dòng)點(diǎn)P滿足：4P6=26,且存在正常數(shù)加，使得

\P^-\PB\COS-e=ma

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。

（2）設(shè)直線/：y=x+l與曲線C相交于兩點(diǎn)E,F,且與y軸的交點(diǎn)為D?若

方=（2+6）而，求的值。

22

34.已知橢圓*+==1（。〉6>0）的右準(zhǔn)線/1:x=2與X軸相交于點(diǎn)0,右焦點(diǎn)廠到上

頂點(diǎn)的距離為四，點(diǎn)。（肛0）是線段。尸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（I）求橢圓的方程;

（n）是否存在過點(diǎn)/且與x軸不垂直的直線/與橢圓交于Z、8兩點(diǎn)，使得（CA+CB）1BA,

并說明理由.

22

35.已知橢圓C：5+5=1>6>0).

ab

（1）若橢圓的長軸長為4,離心率為立，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2

（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點(diǎn)“（0,2）的直線/與橢圓C交于不同

的兩點(diǎn)/、B,且N/OB為銳角（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線/的斜率k的取值范圍；

r22

（3）如圖，過原點(diǎn)。任意作兩條互相垂直的直線與橢圓］+=v=1（。>6>0）相交于

P,S,H,。四點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)。到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時(shí)滿足的條件.

36.已知7=（1,0）,"=（0,啦），若過定點(diǎn)2（0,正）、以7-丸）（/IwR）為法向量的直線4與

過點(diǎn)8（0,-亞）以"+/1；為法向量的直線相交于動(dòng)點(diǎn)P.

(1)求直線4和，2的方程；

(2)求直線/,和12的斜率之積左上的值，并證明必存在兩個(gè)定點(diǎn)E,F,使得|Aq+1A同恒為

定值；

⑶在(2)的條件下，若V,N是/:x=20上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且麗?麗=0,試問當(dāng)|肱V|

取最小值時(shí)，向量面+麗與麗是否平行，并說明理由。

37.已知點(diǎn)8(0,/),點(diǎn)C(0,54)(其中0〈/＜4),直線P8、PC都是圓

知:(x-l)2+V=1的切線.

(I)若AP8C面積等于6,求過點(diǎn)尸的拋物線『=2*(夕＞0)的方程；

(II)若點(diǎn)尸在丁軸右邊，求AP8c面積的最小值.

38.我們知道，判斷直線與圓的位置關(guān)系可以用圓心到直線的距離進(jìn)行判別，那么直線與橢

圓的位置關(guān)系有類似的判別方法嗎？請同學(xué)們進(jìn)行研究并完成下面問題。

(1)設(shè)Fi、Fz是橢圓A/:二+2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)Fi、F2到直線L：6x-y+4i=0

259”

的距離分別為山、d2,試求心?d2的值，并判斷直線L與橢圓M的位置關(guān)系。

(2)設(shè)Fi、Fz是橢圓河：—+彳=1(?！?〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)Fi、F2到直線

L:mx+ny+p-0(m＞。不同時(shí)為0)的距離分別為山、d2＞且直線L與橢圓M相切，試

求5?dz的值。

(3)試寫出一個(gè)能判斷直線與橢圓的位置關(guān)系的充要條件，并證明。

(4)將(3)中得出的結(jié)論類比到其它曲線，請同學(xué)們給出自己研究的有關(guān)結(jié)論(不必證

明)。

39.已知點(diǎn)尸為拋物線C:j?=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是準(zhǔn)線/上的動(dòng)點(diǎn)，直

線尸產(chǎn)交拋物線C于48兩點(diǎn)，若點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為他(由R0),點(diǎn)。為

準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn).XZ

(I)求直線尸口的方程；(II)求ATM8的面積S范圍；一—

(in)設(shè)萬=2萬，萬=〃而，求證〃為定值.r\\

40.已知橢圓￡：「+，=1(?！?〉0)的離心率為暗,直線門

/:夕=x+2與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓￡的短半軸長為半徑的圓相切.

(I)求橢圓G的方程；

(II)設(shè)橢圓G的左焦點(diǎn)為耳，右焦點(diǎn)鳥，直線4過點(diǎn)”且垂直于橢圓的長軸，動(dòng)直

線4垂直4于點(diǎn)尸，線段陰垂直平分線交4于點(diǎn)/，求點(diǎn)用的軌跡G的方程;

(川)設(shè)G與x軸交于點(diǎn)。，不同的兩點(diǎn)凡s在G上，且滿足函示=o,求您|的

取值范圍.

4L已知以向量八弓)為方向向量的直線/過點(diǎn)(。9,拋物線C：/=2川8。)的

頂點(diǎn)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)4、8是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過Z作平行于x軸的直線加，直線08與直線機(jī)

交于點(diǎn)N,若為?瓦+?2=。(。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8異于點(diǎn)O),試求點(diǎn)N的軌跡

方程。

42.如圖，設(shè)拋物線q：y2=4mx(切＞0)的準(zhǔn)線與x軸交于不焦點(diǎn)為月；以片、工為

焦點(diǎn)，離心率e=；的橢圓q與拋物線q在x軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P.

(I)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求橢圓的方程及其右準(zhǔn)線的方程；

(II)在(I)的條件下，直線/經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)乙，

與拋物線q交于4、A2,如果以線段44為直徑作圓，

試判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說明理由；

(IH)是否存在實(shí)數(shù)山，使得好月月的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)，〃;

若不存在，請說明理由.

22

43.設(shè)橢圓C:j+勺=1(。〉6〉0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C:r=4后的焦點(diǎn)重合，

ab~

耳，尸2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=；?且過橢圓右焦點(diǎn)月的直線/與橢圓C交

于"、N兩點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程；__

(II)是否存在直線/,使得而?麗=-2.若存在，求出直線/的方程；若不存在，說明理

由.

(IH)若四是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)。的弦，MNHAB,求證：四上為定值.

\MN\

44.設(shè)廠是拋物線產(chǎn)=4"優(yōu)(加＞0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)M(—1,0)且以3=(/1,1)為方向向量的直

線順次交拋物線于48兩點(diǎn)。

(I)當(dāng)2=2時(shí)，若成與麗的夾角為弓，求拋物線的方程；

(H)若點(diǎn)48滿足的=；(兩+而)，證明加尤為定值，并求此時(shí)△4尸6的面積

45.已知點(diǎn)尺(-3,0),點(diǎn)尸在j，軸上，點(diǎn)。在x軸的正半軸上，點(diǎn)A/在直線尸。上，且滿

足2PM++MQ=O,/?PPM=O.

(I)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)陽的軌跡。的方程;

(II)設(shè)Z(x”乂)、8(乙,%)為軌跡。上兩點(diǎn)，且芭>1,乂>0,N(l,0),求實(shí)數(shù)2,

—-—"—-16

使=且AB=—.

3

X2v2

46.已知橢圓+J=l(a〉6〉0)的右焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,P為C1上任一點(diǎn)，MN

ab~

2

是圓C2,x+(歹-3>=1的一條直徑，若與AF平行且在y軸上的截距為3-V2的直線/恰

好與圓G相切。

(1)已知橢圓￡的離心率；

(2)若麗?麗的最大值為49,求橢圓C1的方程.

22

47.已知直線/與曲線C：乙+工=1交于48兩點(diǎn)，Z8的中點(diǎn)為M,若直線18和

mn

Yl

OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率都存在，則心屋自屈=一己.

m

這個(gè)性質(zhì)稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.

(I)證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；

(II)利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：

2v2

①過點(diǎn)作直線/與橢圓4x+乙=1交于48兩點(diǎn)，求48的中點(diǎn)M的軌跡少

的方程；

②過點(diǎn)P(1,1)作直線/'與有心圓錐曲線。'：62+>?=]/工0)交于￡、F兩點(diǎn)，是

否存在這樣的直線/'使點(diǎn)P為線段E尸的中點(diǎn)？若存在，求直線/'的方程；若不存

在，說明理由.

48.橢圓的中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在)，軸上，離心率e=弓，過mi)的直線/與橢圓交于A、

B兩點(diǎn),且羽=2戶豆，求A408面積的最大值及取得最大值時(shí)橢圓的方程.

49.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=半，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距

離為1-e,直線1與y軸交于點(diǎn)P(0,m),與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且AP=APB.

(1)求橢圓方程；(2)若布+4而=40P,求膽的取值范圍.

50.已知點(diǎn)A是拋物線yZ=2px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)K,已知I

AK|=V2|AFI,三角形AFK的面積等于8.

(1)求P的值；

(2)過該拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線12,與拋物線相交得兩條弦，兩條弦

的中點(diǎn)分別為G,H.求IGHI的最小值.

51.已知點(diǎn)R(-3,0),點(diǎn)尸在y軸上，點(diǎn)0在x軸的正半軸上，點(diǎn)〃在直線上，且滿

足2而++遠(yuǎn)=0,而?麗=0.

(I)當(dāng)點(diǎn)尸在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)"的軌跡。的方程；

(II)設(shè)/(匹,必)、8(乙,%)為軌跡。上兩點(diǎn)，且芭＞1，乃＞0，改(1,0)，求實(shí)數(shù)4，

使AB=AAN,且A8=—.

3

52.如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長

軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),平行于0M

的直線L在y軸上的截距為m(mWO),L交橢圓于A、

B兩個(gè)不同點(diǎn)。

(1)求橢圓的方程；

(2)求m的取值范圍；

(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三

角形。

53.已知橢圓「+「=1(。＞力＞0)上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)

a~b

F的最小距離是正-1,F到上頂點(diǎn)的距離為及，點(diǎn)。(加,0)是線段。尸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(I)求橢圓的方程；

(II)是否存在過點(diǎn)尸且與x軸不垂直的直線/與橢圓交于/、B兩點(diǎn),

使得(B+在)_1或，并說明理由.

x22

54.已知橢圓一+v乙=1的上、下焦點(diǎn)分別為〃、N,點(diǎn)尸為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足

1216

\MN\-\MP\+MN-NP=O

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡。的方程；

(2)過點(diǎn)/(3,-2)作曲線G的兩條切線，切點(diǎn)分別為“、I，求直線”/的方程：

(3)在直線/:x-歹=0上否存在點(diǎn)。，過該點(diǎn)作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為

B、C,使得|7+*|=|麗-若存在，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由。

55.已知拋物線X2=8y的焦點(diǎn)為F,4B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且萬=＞0),過

48兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M_

(1)證明線段被x軸平分(2)計(jì)算麗?港的值

(3)求證

22

56.已知4,4,8是橢圓￡+￡=1(。>6>0)的頂點(diǎn)(如圖)，直線/與橢圓交于異于頂點(diǎn)

的P,。兩點(diǎn)，且〃/4乩若橢圓的離心率

是e-，且140=后.

(1)求此橢圓的方程;

(2)設(shè)直線4尸和直線8。的傾斜角分別為的￡.試判斷&+，是否為定磺，若是,

求出此定值；若不是，說明理由.

57.已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過/(-2,0)、8(2,0)、C

點(diǎn).

過橢圓的右焦點(diǎn)F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線/與橢圓E交于〃、N兩點(diǎn),AM與BN

所在的直線交于點(diǎn)Q.

(1)求橢圓E的方程:

(2)是否存在這樣直線機(jī)，使得點(diǎn)Q恒在直線機(jī)上移動(dòng)？

若存在,求出直線m方程,若不存在,請說明理由.

2

58.已知方向向量為/=(1,百)的直線/過點(diǎn)(0,—2百)和橢圓C:2+烏=1(?！等恕?)

ab

的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為逅

3

(I)求橢圓C的方程;

(H)若已知點(diǎn)。(3,0),點(diǎn)",N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，且兩=2而，求實(shí)數(shù)2

的取值范圍.

22

59.已知Fi,Fz是橢圓C:0+方=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P(-0,1)在橢圓上,線

段PF2與y軸的交點(diǎn)M滿足PA/+F\M=0。

(1)求橢圓C的方程。

(2)橢圓C上任一動(dòng)點(diǎn)M(x。,%)關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)為此(x“%)，求3x「4%的取值

范圍。

v-2

60.已知48,C均在橢圓〃：二+/=ig〉i)上，直線ZB、zc分別過橢圓的左右焦

.....2

點(diǎn)修、F2,當(dāng)ZC?耳馬=0時(shí)，有9/4/用=/月.

(1)求橢圓河的方程；

(II)設(shè)尸是橢圓M上的任一點(diǎn)，所為圓乂：/+。一2)2=1的任一條直徑，求而?即

的最大值.

4

61.已知離心率為《的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實(shí)軸，短

軸為虛軸，且焦距為2后。

(I)求橢圓及雙曲線的方程；

(II)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為4B,在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點(diǎn)尸，連結(jié)交橢

圓于點(diǎn)/，連結(jié)P4并延長交橢圓于點(diǎn)N,若兩=聲。求四邊形/N8V的面積。

62.已知橢圓C：X2+—=\,過點(diǎn)M(0,3)的直線/與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

4

(I)若/與X軸相交于點(diǎn)N,且A是/WN的中點(diǎn)，求直線/的方程；

(II)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且9+方=/1萬(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).求當(dāng)|Z8|<g時(shí)，實(shí)

數(shù)義的取值范圍.

63.已知橢圓C：/+匕=1,過點(diǎn)/W(O,1)的直線/與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B.

4

(I)若/與X軸相交于點(diǎn)P,且P為A/W的中點(diǎn)，求直線/的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)N(0,；),求|直+福|的最大值.

64.已知K,乙分別為橢圓[+?=1的左、右焦點(diǎn)，直線/1過點(diǎn)與且垂直于橢圓的長軸,

動(dòng)直線/2垂直于直線/廠垂足為D,線段。己的垂直平分線交4于點(diǎn)

(I)求動(dòng)點(diǎn)/W的軌跡C的方程；

(II)過點(diǎn)/作直線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P和Q,設(shè)品=2品，若2G[2,3],求加

?品的取值范圍。

3

65.已知橢圓。中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線”=與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)

2

是點(diǎn)M在x軸上的射影恰好是橢圓。的右焦點(diǎn)與，另一個(gè)焦點(diǎn)是打，且

(1)求橢圓。的方程；

(2)直線/過點(diǎn)(-1,0),且與橢圓。交于P,。兩點(diǎn)，求小尸。的內(nèi)切圓面積的最大值

66.橢圓=\(a>b>0)的長軸為短軸的百倍，直線y=x與橢圓交于A、B兩點(diǎn),

ab~

—*—*3

C為橢圓的右項(xiàng)點(diǎn)，OAOC=~.

2

(I)求橢圓的方程；

(II)若橢圓上兩點(diǎn)E、F使瓦+赤=/15^/16(0,2),求公0后產(chǎn)面積的最大值

r2v2

67.已知橢圓E：■+4=l(a>b>0),以Fi(-c,0)為圓心，以a-c為半徑作圓R,過點(diǎn)82(0,6)

a2b2

作圓Fi的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為/W、N.

⑴若過兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過點(diǎn)81。4時(shí)，求此橢圓的離心率；

(2)若直線MN的斜率為-1,且原點(diǎn)到直線MN的距離為4(右-1)，求此時(shí)的橢圓方程；

(3)是否存在橢圓E,使得直線/WN的斜率k在區(qū)間(-孚，-乎)內(nèi)取值？若存在，求出

橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請說明理由.

68.已知A,B是拋物線/=2py(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

非零向量滿足|風(fēng)+礪卜|況-礪|.

(I)求證：直線48經(jīng)過一定點(diǎn)；

(II)當(dāng)N8的中點(diǎn)到直線y-2x=0的距離的最小值為半時(shí)，求夕的值

69.如圖，已知直線/：丁=米—2與拋物線C：f=—2勿(p〉0)交于A,B兩點(diǎn)，。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，OA4-OB—(_-4,—12)oy

(I)求直線/和拋物線C的方程；

(II)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AABP面積最大值.------?

70.已知橢圓r的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋///\\

物線片;X?的焦點(diǎn)，離心率等于孝.直線/與橢圓「交于”,N兩點(diǎn)./\

(I)求橢圓r的方程；

(II)橢圓「的右焦點(diǎn)尸是否可以為的垂心？若可以，求出直線/的方程；若不可

以,請說明理由.

71.記平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到兩條相交于原點(diǎn)。的直線4,4的距離分別為4,4,研究滿足下列條

件下動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C.

(1)已知直線4,/2的方程為：y=土牛-

(a)若d：+d；=6,指出方程C所表示曲線的形狀；

(b)若4+4=4,求方程C所表示的曲線所圍成區(qū)域的面積；

(c)若=12,研究方程C所表示曲線的性質(zhì)，寫出3個(gè)結(jié)論.

(2)若片+片=21,試用表示常數(shù)d及直線4,/2的方程，使得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C

恰為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程「+勺=1(。＞6＞0).

a2h2

的離心率為爭

72.已知橢圓c：江+之=1（〃>6>0）并且直線歹=x+b是拋物線

y2=4x的一條切線。(I)求橢圓的方程；(H)過點(diǎn)S(0,-；)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、

B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T?若存在,

求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

、、X2V2

73.已知點(diǎn)P（4,4）,圓C：（x—my+j?=5（加＜3）與橢圓E：—+彳=1（?！?）＞0）的

a~b~

一個(gè)公共點(diǎn)為A(3,1),Fi，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線P4與圓C相切。

(1)求m的值與橢圓E的方程；

(2)設(shè)D為直線PFi與圓C的切點(diǎn)，在橢圓E上是否存在點(diǎn)Q,使APDCl是以PD為底的等腰

三角形？若存在，請指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由。

2V21

74.已知橢圓Gx：/+?=1(?！礲＞0)的長軸長為4,離心率為-,

焦點(diǎn).一動(dòng)圓過點(diǎn)外，且與直線x=-l相切.

(1)(i)求橢圓G的方程；(ii)求動(dòng)圓圓心軌跡c的方程；

(II)在曲線。上有四個(gè)不同的點(diǎn)",N,P,0,滿足麗與冠共線，PF2與。外共

線，且巨月?麗=0,求四邊形尸面積的最小值.

X2y21

75.如圖，已知橢圓/+會(huì)=1(。＞6〉0)長軸長為4,高心率為5.過點(diǎn)(0,-2)的直線/交

橢圓于48兩點(diǎn)、交X軸于P點(diǎn)，點(diǎn)/關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為C,

直線8C交x軸于。點(diǎn)。

(I)求橢圓方程；

(II)探究：|。尸|?|00|是否為常數(shù)？

22

76.設(shè)橢圓C:=1(。＞6〉0)的上頂點(diǎn)為工,橢圓。上兩

/

（第21■）

_3

點(diǎn)尸，。在x軸上的射影分別為左焦點(diǎn)月和右焦點(diǎn)直線尸。的斜率為:，過點(diǎn)N且與

/月垂直的直線與x軸交于點(diǎn)8,ZU大8的外接圓為圓

(1)求橢圓的離心率；

⑵直線3》+4歹+；〃=0與圓M相交于兩點(diǎn)，且施?赤=一求橢圓方程;

(3)設(shè)點(diǎn)N(0,3)在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于6出，求橢圓C

的短軸長的取值范圍.

x2v2

77.已知直線/：夕=依+2(左為常數(shù))過橢圓=+彳=1

ab

(a>b〉O)的上頂點(diǎn)8和左焦點(diǎn)直線/被圓

》2+72=4截得的弦長為".

(1)若d=2由,求左的值；

(2)若d*后,求橢圓離心率e的取值范圍.

y>0

78.已知可行域(x—島+220的外接圓C與x軸交于點(diǎn)A|、A?,橢圓J以線段

V3x+y-2V3<0

A/2為長軸，離心率e==

2

(I)求圓C及橢圓C1的方程；

(II)設(shè)橢圓Ci的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為圓C上異于Ai、A2的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線PF

的垂線交直線x=2近于點(diǎn)Q,判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明.

2222r

79.若橢圓片：二+「=1和橢圓七2：「+4=1滿足5=」=加(加>0),則稱

a[b]a2b2a2b2

這兩個(gè)橢圓相似，〃?稱為其相似比。

(1)求經(jīng)過點(diǎn)(2,、左)，且與橢圓]+；=1相似的橢圓方程。

(2)設(shè)過原點(diǎn)的一條射線/分別與(1)中的兩個(gè)橢圓交于A、B,///七

兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在線段OB上)，求|。4|+血的最大值和最小值.)x

80.橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=Y2,

2

橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為l-e,直線/與y軸交于P點(diǎn)(0,m),與橢圓C交于相異

兩點(diǎn)A、B,S.AP^APB.

(1)求橢圓方程；

(2)若a+/l麗=4而,求加的取值范圍.

81.設(shè)x,yeH,i,/為直角坐標(biāo)系中的單位向量，a^xi+(y+2)j,h^xi+(y-2)j,

內(nèi)+向=8。

(1)求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)(0,3)作直線/與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若麗=況+無，是否存在直線/使

得。NP6為矩形?若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

82.如圖，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率e=1H,4、8分別是橢圓的長軸、

2

短軸的端點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為巴

5NM

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)已知￡(3,0),設(shè)點(diǎn)V、N是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

滿足EMJ.E