對(duì)換定義及與排列的奇偶性的關(guān)系

關(guān)于對(duì)換定義及與排列的奇偶性的關(guān)系一、對(duì)換的定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．例如第2頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、對(duì)換與排列的奇偶性的關(guān)系定理1

一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．證明設(shè)排列為對(duì)換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.第3頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天當(dāng)時(shí)，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后的逆序數(shù)增加1,經(jīng)對(duì)換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng)時(shí)，現(xiàn)來(lái)對(duì)換與第4頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.第5頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).定理2

階行列式也可定義為其中為行標(biāo)排列的逆序數(shù).證明

由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.證明按行列式定義有第6頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天記對(duì)于D中任意一項(xiàng)總有且僅有中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等;反之,對(duì)于中任意一項(xiàng)也總有且僅有D中的某一項(xiàng)與之對(duì)應(yīng)并相等,于是D與中的項(xiàng)可以一一對(duì)應(yīng)并相等,從而第7頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理3

階行列式也可定義為其中是兩個(gè)級(jí)排列，為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.例1

試判斷和是否都是六階行列式中的項(xiàng).解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項(xiàng).第8頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天下標(biāo)的逆序數(shù)為所以不是六階行列式中的項(xiàng).第9頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

在六階行列式中，下列兩項(xiàng)各應(yīng)帶什么符號(hào).解431265的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號(hào).第10頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號(hào).第11頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3

用行列式的定義計(jì)算第12頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天解第13頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天

1.一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．2.行列式的三種表示方法三、小結(jié)第14頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中是兩個(gè)級(jí)排列，為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.第15頁(yè),共17頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考題證明在全部階排列中,奇偶排列各占一半.