二重積分概念

關(guān)于二重積分概念例第2頁,共35頁，2024年2月25日，星期天掌握1.每一種積分的實(shí)際意義4.每一種積分的計(jì)算方法（常規(guī)，技巧）3.每一種積分的性質(zhì)2.每一種積分的特定和式極限寫法第3頁,共35頁，2024年2月25日，星期天一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分第4頁,共35頁，2024年2月25日，星期天第六章重積分二重積分三重積分第5頁,共35頁，2024年2月25日，星期天三、二重積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性二重積分的概念與性質(zhì)

第八章第6頁,共35頁，2024年2月25日，星期天解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,代替,作和,取極限”以直代曲第7頁,共35頁，2024年2月25日，星期天1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)2)“代替”在每個(gè)3)“作和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體第8頁,共35頁，2024年2月25日，星期天4)“取極限”令第9頁,共35頁，2024年2月25日，星期天2.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為

,則若非常數(shù),仍可用其面密解決.1)“分割”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.“分割,代替,作和,取極限”第10頁,共35頁，2024年2月25日，星期天2)“代替”中任取一點(diǎn)3)“作和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量第11頁,共35頁，2024年2月25日，星期天兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:“分割,代替,作和,取極限”第12頁,共35頁，2024年2月25日，星期天二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),第13頁,共35頁，2024年2月25日，星期天積分和思考1：與哪些因素有關(guān)#2013050201第14頁,共35頁，2024年2月25日，星期天二重積分與哪些因素有關(guān)#2013050202思考2：第15頁,共35頁，2024年2月25日，星期天注:（1）（2）第16頁,共35頁，2024年2月25日，星期天如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作（3）第17頁,共35頁，2024年2月25日，星期天二重積分存在定理:若函數(shù)(證明略)定理1.在D上可積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則第18頁,共35頁，2024年2月25日，星期天思考1寫出二重積分的值，其中#2013050206第19頁,共35頁，2024年2月25日，星期天解該立體是一個(gè)半徑為1的半球體，

由二重積分的幾何意義知，要求的二重積分是一個(gè)以曲面為頂、以為底的曲頂柱體的體積例1寫出二重積分的值，其中

半球體的體積為第20頁,共35頁，2024年2月25日，星期天三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))

為D的面積,則線性性第21頁,共35頁，2024年2月25日，星期天特別,由于則4.若在D上5.設(shè)D的面積為

,則有保序性絕對可積性估值定理第22頁,共35頁，2024年2月25日，星期天6.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上

為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此f(x,y)在D上平均值第23頁,共35頁，2024年2月25日，星期天7（對稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對稱性第24頁,共35頁，2024年2月25日，星期天7（對稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對稱性第25頁,共35頁，2024年2月25日，星期天7（對稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對稱性第26頁,共35頁，2024年2月25日，星期天7（對稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對稱性第27頁,共35頁，2024年2月25日，星期天7（對稱性）-----不僅要考慮被積函數(shù)的奇偶性，而且要考慮積分區(qū)域的對稱性第28頁,共35頁，2024年2月25日，星期天解第29頁,共35頁，2024年2月25日，星期天其中比較下列積分的大小:#2013050203第30頁,共35頁，2024年2月25日，星期天比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上第31頁,共35頁，2024年2月25日，星期天#2013050204第32頁,共35頁，