人教版八年級數(shù)學(xué)上冊法公式教案

14.2乘法公式

第1課時平方差公式

教學(xué)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程，會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進(jìn)行簡單的運算.

2.理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式.

教學(xué)重點

平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

教學(xué)難點

理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式.

一教學(xué)設(shè)計一師一優(yōu)課一課一名師（設(shè)計者：）

圜圖國圜回回

一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標(biāo)

從前，有一個狡猾的莊園主,把一塊邊長為x米的正方形土地租給張老漢種植，第二年，

他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加5米，另一邊減少5米，繼續(xù)租給你，租金不變,

你也沒有吃虧，你看如何？”張老漢一聽覺得好像沒有吃虧，就答應(yīng)了，回到家中，把這事

和鄰居們一講，都說：“張老漢，你吃虧了！”張老漢非常吃驚.同學(xué)們，你知道張老漢為

什么吃虧嗎？

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你將能解釋這其中的原因！

二、自主學(xué)習(xí)，指向目標(biāo)

自學(xué)教材第107頁至108頁，思考下列問題：

1.根據(jù)條件列式：

（Da、b兩數(shù)的平方差可以表示為；

（2）a、b兩數(shù)差的平方可以表示為；

2平方差公式的推導(dǎo)依據(jù)是

3.平方差公式（乘法）的特征是：左邊是，右邊是

三、合作探究，達(dá)成目標(biāo)

探究點一探索平方差公式

活動一：1.填寫教材Pw三個計算結(jié)果,

展示點評：

(1)二項式乘以二項式，合并前結(jié)果應(yīng)該是幾項式？(四項)合并后都是幾項式？(二項)

(2)觀察上列算式的左邊的兩個二項式，有什么異同？運算出結(jié)果后的二項式與等式左

邊的二項式有什么關(guān)系？

(等號的左邊是兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，等號的右邊是這兩數(shù)的平方差.)

2.歸納：兩個數(shù)的與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩數(shù)的.

用公式表示上述規(guī)律為：(a+b)(a-b)=這就是平方差公式.

3.觀察教材圖14.2-1,請你用兩種方法計算圖形中陰影部分的面積，得到什么結(jié)果？

(a+b)(a—b)=a2—b2

4.觀察教材P襁例1中的兩個算式，能否用平方差公式進(jìn)行計算？若能用，公式中a,

b分別代表什么？

例1運用平方差公式計算

(1)(3x+2)(3x-2)；

⑵(-x+2y)(―x—2y).

思考：確定能否應(yīng)用平方差公式進(jìn)行運算的關(guān)鍵是什么？

展示點評：觀察算式：①是不是兩個二項式相乘；②是不是兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的差；③

若作為因式的二項式的首項是負(fù)號的，可以連同符號一起看作為一項，也可以把一個因式里

的兩項顛倒位置觀察思考.關(guān)鍵就是確定是不是兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的差.

解答過程見課本P108例1

小組討論：能運用平方差公式計算的式子有何特征？

【反思小結(jié)】能運用平方差公式進(jìn)行計算的式子特征：①二項式與二項式的積；②把兩

個二項式進(jìn)行對比：有一項相同，另一項互為相反數(shù).

針對訓(xùn)練：

1.計算(2a+5)(2a—5)等于(A)

A.4a-25B.4a2-5C.2a-25D.2a2-5

2.計算(l—m)(—m—1),結(jié)果正確的是(B)

A.m-_2m-1B.m"-1C.1-m'D.m"—2m+l

探究點二平方差公式的綜合應(yīng)用

活動二：計算：

(1)102X98；

(2)(y+2)(y—2)—(y—1)(y+5).

展示點評：(1)例1是數(shù)的計算，觀察其特征，把兩個因數(shù)如何變形能夠運用平方差公

式進(jìn)行計算？

(2)例2中有整式的簡單的混合運算，在進(jìn)行運算時要注意什么？

展示點評:第1題可以變?yōu)?00與2的和乘以100與2的差;第(2)題中多項式的乘法，

能運用平方差公式的一定要運用平方差公式進(jìn)行運算.

解答過程見課本Pios例2

小組討論：平方差公式與整式乘法有什么關(guān)系？在運用時應(yīng)注意什么問題？

【反思小結(jié)】(1)可運用平方差公式運算的式子，也屬于我們前面所學(xué)的多項式乘以多

項式的運算，所以說平方差公式適用于特殊形式的該類運算.

(2)有些不能直接用平方差公式的題目可向公式形式轉(zhuǎn)化，寫成兩數(shù)和與兩數(shù)差乘積的

形式，再運用公式.

(3)在運用平方差公式運算時，一要注意確定好公式中的“a”項，“b”項；二要注意對兩

個數(shù)整體平方，而不是部分平方.

針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分

四、總結(jié)梳理，內(nèi)化目標(biāo)

1.平方差公式的特征，公式中的字母a和b既可以表示數(shù)，也可表示字母，還可以表

示多項式；

2.能應(yīng)用平方差公式進(jìn)行乘法運算，并能進(jìn)行簡單變形應(yīng)用.

3.平方差公式與多項式乘法之間的關(guān)系.

五、達(dá)標(biāo)檢;則，反思目標(biāo)

1.下列多項式乘法，能用平方差公式進(jìn)行計算的是(C)

A.(x+y)(―)

2.下列各式運算結(jié)果是x?—25y2的是(B)

A.(x+5y)(―x+5y)B.(—x—5y)(—x+5y)

C.(x—y)(x+25y)D.(x—5y)(5y—x)

3.兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是(B)

A.6的倍數(shù)B.8的倍數(shù)C.12的倍數(shù)D.16的倍數(shù)

4.計算：(2+3x)(-2+3x)=_9x-4

5.已知(x—ay)(x+ay)=x2—16y)那么〉=±4.

6.計算：

(1)a(a—5)—(a+6)(a—6)

解：晨式—Q―5a—(/—3&)

=36-5a

(2)(x+y)(x—y)(x2+y2)

解；=(/-/)(/+/)

=x-y

(3)9982-4

解.,以a=1998+公1998-公

=1000X996

=996000

?布置作業(yè)，鞏固目標(biāo)教學(xué)難點

1.上交作業(yè)：課本PU2第1題.

2.課后作業(yè)：見《學(xué)生用書》.

第2課時完全平方公式

教學(xué)目標(biāo)

1.理解完全平方公式，掌握兩個公式的結(jié)構(gòu)特征.

2.熟練應(yīng)用公式進(jìn)行計算.

教學(xué)重點

完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點以及幾何解釋，并能靈活應(yīng)用.

教學(xué)難點

理解完全平方方式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活應(yīng)用.

-教學(xué)設(shè)計一師一優(yōu)課一課一名師(設(shè)計者:)

圖圖回圈圖畫

一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標(biāo)

1.多項式乘以多項式的法則是什么？

(多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得

的積相加.)

2.觀察下列計算過程及結(jié)果：

(1)(p+q)(p+q)==；

(2)(x-y)(x—y)==.

展示點評：怎樣快速的計算形如(2x+y)2的運算，這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.

二、自主學(xué)習(xí)，指向目標(biāo)

自學(xué)教材第109頁至110頁，思考下列問題：

1.完全平方公式的推導(dǎo)的依據(jù)多項式乘以多項式的乘法法則

2.完全平方公式的特征是：左邊是兩數(shù)和(或差)的平方，右邊是這兩數(shù)的平方和，加

上(或減去)這兩數(shù)積的2倍；與平方差公式的區(qū)別是平方差公式是兩數(shù)的和乘以兩數(shù)的差,

等于這兩數(shù)的平方差，其結(jié)果是一個二項式.

3.從幾何的角度去理解完全平方公式，觀察下圖，可以得到：

(1)(a+b)2=；(2)(a—b)2=

三、合作探究，達(dá)成目標(biāo)

探究點一完全平方公式

活動一：1.根據(jù)條件列式：

(Da,b兩數(shù)和的平方可以表示為；

(2)a,b兩數(shù)平方的和可以表示為.

2.填寫教材PK?四個計算結(jié)果.

展示點評：

(D一個多項式的平方運算可以看做哪種形式的運算(兩個相同的多項式的乘法運算)

(2)課本中的二項式乘以二項式，合并前結(jié)果應(yīng)該是幾項式？(四項)合并后都是幾項式?

(三項)

(3)上列算式運算的依據(jù)是什么？(依據(jù)是多項式乘以多項式的乘法法則)

(4)觀察上列算式,運算出結(jié)果后的三項式與等式左邊的二項式有什么關(guān)系？(等號的左

邊是兩數(shù)的和或差的平方；等號的右邊是這兩數(shù)的平方和，加上或減去這兩數(shù)積的2倍.)

3.歸納：由上述規(guī)律可得到公式：

(a+b)2=；(a_b)2=.

完全平方公式：兩數(shù)和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的加上(或減去)這兩個數(shù)積的

______倍.

可記作：首平方，尾平方，二倍乘積放中央.

4.觀察教材圖14.2—2及14.2—3你通過圖形中的面積，得到什么結(jié)果？

(a+W^a^ab+lr+ab=a^Sab+b2；(a—b)2—a2—ab—ab+b2：=:a2—2ab+b3；

5.觀察教材Pu。例3中的兩個算式，能否用完全平方公式進(jìn)行計算？若能用，公式中a,

b分別代表什么？

例1運用完全平方公式計算：

⑴Hm+nT⑵(丫―g⑶(—2a—3b尸

展示點評：從平方的意義看，(y一習(xí)一與的結(jié)果一樣嗎？(-2a—3b了與(一3b一

2a尸的結(jié)果相同嗎？而(4m+n)z與(4m—n)'的結(jié)果呢？

展示點評：互為相反數(shù)的平方結(jié)果相等，因此(y一與七一y)?的結(jié)果一樣；而4m+n

與你一n不一定相等或是相反數(shù)，因此其平方的結(jié)果不一定相等.

小組討論：應(yīng)用完全平方公式計算應(yīng)注意什么？

解答過程見課本Pu。例3

反思小結(jié)：1.應(yīng)用公式時，可以先確定兩數(shù)的平方和，再加上(或減去)兩數(shù)積的2倍；

切記不要漏掉兩數(shù)積的2倍；2.互為相反數(shù)的兩個多項式的平方相等.

針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分

探究點二完全平方公式的綜合應(yīng)用

活動二：運用完全平方公式計算：

(D1022(2)992

小組討論：一個較大或較小數(shù)的平方運算，如何巧妙地進(jìn)行變形，應(yīng)用完全平方公式，

快速的進(jìn)行計算呢？

展示點評：把102或99寫成兩數(shù)和或差的形式，再進(jìn)行計算.

反思小結(jié)：對于較大數(shù)的平方可以轉(zhuǎn)化成兩整數(shù)和(或差)的平方，再運用完全平方公式

進(jìn)行計算比較簡便.

針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分

四、總結(jié)梳理，內(nèi)化目標(biāo)

1.完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何意義；

2.完全平方公式里的字母可以表示一個數(shù)，表示一個單項式，也可以表示一個多項式;

3.應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計算，有關(guān)數(shù)字計算題應(yīng)用完全平方公式可以使計算簡便.

4.數(shù)學(xué)思想：類比、數(shù)形結(jié)合.

五、達(dá)標(biāo)檢;則,反思目標(biāo)

1.(x+3y)2=x2+6xy+9y.

2.a“一kab+9b”是完全平方式，則k=土6.

3.計算(-a—b)?結(jié)果是(B)

A.aJ—2ab+bJB.aJ+2ab+b2C.a'+b'D.a2—b'

4.運用乘法公式計算

(l)|jx-lj；(2)1052；

解；(1)晨式=夕一x+I

(Z源式=(100+5)2

=10(f+2X100X5+25

=10000+1025

=11025

(3)(a—b—3)(a—b+3).

解；源蚊=[(a—6)—3][(a-3)+3]

=(a-小—9

=a-2ab+if-9

5.已知x+y=9,xy=20,求(x—y)'的值.

解:(x-y)2=(x+y)2-4xy=81-80=1

?布置作業(yè)，鞏固目標(biāo)教學(xué)難點

1.上交作業(yè)：課本第112頁2、3(2)(3)、7.

2.課后作業(yè)：見《學(xué)生用書》.

第3課時乘法公式的拓展

教學(xué)目標(biāo)

1.了解添括號法則.

2.能應(yīng)用添括號法則，結(jié)合乘法公式，對項數(shù)是三項或三項以上的多項式乘法進(jìn)行運

教學(xué)重點

應(yīng)用添括號法則及乘法公式進(jìn)行運算.

教學(xué)難點

正確的添加括號后，應(yīng)用公式進(jìn)行計算.

一教學(xué)設(shè)計一師一優(yōu)課一課一名師(設(shè)計者：)

圖圖回匿回團

一、創(chuàng)設(shè)情景，明確目標(biāo)

1.去括號法則是什么？

(如果括號前面是正號，去掉括號后，括號里的各項不變號；如果括號前面是負(fù)號，去

掉括號后，括號里的各項都要變號.)

2.我們學(xué)過的乘法公式有哪些，你能完整的敘述出來嗎？

(平方差公式，完全平方公式)

3.對于形如(x+2y—3)(x-2y+3)的乘法可以怎樣運算呢？你能運用比較簡便的方法

運算嗎？這就是我們這節(jié)課主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

二'自主學(xué)習(xí)，指向目標(biāo)

1.添括號的法則：添括號時.，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；

如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.它和去括號的聯(lián)系是互逆變形.

2.試一試，在括號內(nèi)添加適當(dāng)?shù)捻棧?/p>

(1)(x+2y—3)(x—2y+3)=[x+(2y—3)][x-(2y—3)]

(2)x—2y—4x=x—2(y+2x)

三、合作探究，達(dá)成目標(biāo)

探究點一添括號法則

活動一：去括號：a+(b+c)=；a—(b—c)=

反過來，你能給下列多項式添括號嗎：

a+b+c=a+(b+c)a—b—c=a—(b+c)

展示點評：

添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括

號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.

小組討論：添括號法則與去括號法則有什么關(guān)系？

反思小結(jié)：添括號法則與去括號法則是互逆變形的過程，其符號變化與去括號法則變化

一樣.

針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分

探究點二乘法公式的推廣

活動二：平方差公式：(a+b)(a—b)=

完全平方公式：(a±b)2=

公式中的a和b是一個字母，可以是一個多項式嗎？如果a或b是一個多項式，如何

運算？

(a和b可以代替一個多項式，計算時可以看作一個整體先按照乘法公式進(jìn)行計算，然

后再根據(jù)相應(yīng)的法則，再進(jìn)行運算.)

例1運用乘法公式計算：

(1)(x+2y—3)(x—2y+3)(2)(a+b+c)2

思考：第(1)題首先要應(yīng)用添括號法則進(jìn)行變形，需要應(yīng)用幾次公式，應(yīng)用的公式相同

嗎？第(2)題與第(1)題的形式、運算過程和方法有何區(qū)別？

展示點評:第1小題中先應(yīng)用添括號法則把兩個因式內(nèi)互為相反數(shù)的兩項結(jié)合變成兩數(shù)

的和乘以兩數(shù)差的形式，先進(jìn)行運算，再運用完全平方公式乘開，能合并同類項的一定要合

并同類項；第2小題中應(yīng)用加法交換與結(jié)合律，任意結(jié)合其中兩項，應(yīng)用兩次完全平方公式

即可.

解答過程見課本Pm例5

小組討論：第(1)(2)題在添括號時，有什么相同點和不同點？

【反思小結(jié)】兩個多項式相乘，若兩個多項式中既有相同的項，又有互為相反數(shù)的項，

且沒有其它的項，則要運用添括號法則把相同的項或互為相反數(shù)的項，分別括起來，把添到

括號內(nèi)的多項式當(dāng)做一個整體，再進(jìn)行計算.

針對訓(xùn)練：見《學(xué)生用書》相應(yīng)部分

四、總結(jié)梳理，內(nèi)化目標(biāo)

1.添括號法則；

2.乘法公式里的字母可以表示一個數(shù)，表示一個單項式，也可以表示一個多項式；因

此對于項數(shù)是三項或三項以上的多項式乘法，根據(jù)乘法的形式，添加適當(dāng)?shù)睦ㄌ?，再運用乘

法公式運算.

五、達(dá)標(biāo)檢測，反思目標(biāo)

1.判斷下列變形是否正確.

CC

(l)2a—b—-=2a—(b—~)

(2)m—3n+2a—b=m+(3n+2a—b)

(3)2x—3y+2=—(2x+3y—2)

(4)a—2b—4c+