2020-2021學(xué)年烏蘭察布集寧區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年烏蘭察布集寧區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知M={x\x=2m—l,mEZ},N={x\x2—x—12<0,xER],則集合MAN等于()

A.{-3,-1,13}B.{1,3}C.{0,1,2,3}D.{-1,1,3)

2.設(shè)直線a%+by+c=0的傾斜角為a,且sina+cosa=0,則a—b=()

A.1B.—1C.0D.—2

3.設(shè)函數(shù)彳*°，若/[f(a)]>/[/(a)+1],則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(―I，—2]B.[-|,-2]C.[-2,0)D.[-2,0]

4.己知函數(shù)/(%)=|/+。|,aER在[-1,1]上的最大值為M(a),若函數(shù)g(%)=M(%)-|/+共有

4個零點，則實數(shù)t的取值范圍為.()

A.B.(-8,-1)

C.(―8,—1)U(1])D.(―8,—1)U(1,2)

5.已知直線，1：a2x+y+2=0與直線％：bx—(a2+l)y—1=0互相垂直，則|ab|的最小值為()

A.5B.4C.2D.1

6.定義：若平面點集4中的任一個點(%o，y0),總存在正實數(shù)丁，使得集合8=

{(.y)l—%o)2+(y-yo)?<7}uA，則稱“為一個開集，給出下列集合：

①{Q,y)|/+y2=1}

@{(x,y)||x+y+2|>1]

③-131+\y\<1}

④{(x,y)|0<x2+(y-l)2<1}

其中是開集的是()

A.③④B.②④C.①②D.②③

7.圓錐底面半徑為3,母線長為5,則這個圓錐的體積為()

A.36兀B.18兀C.45兀D.12兀

“、logx0<x<1

8,若函數(shù)f(x)=]fl二_―、在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍

、(4a)x3X+1%>1

是()

A.(1,4)B.[|.4)C.(1,|1D.

9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個幾何體是()

A.長方體

B.圓柱

C.四棱錐

D.四棱臺

10.設(shè)圓就:-尊V+金*期皂=研窗演吸上有且僅有兩個點到直線俯視圖

趣七一筆朋=額的距離等于1,則圓半徑r的取值范圍是()

A.察:中/普B.t<y?.：:i§C.r>4D.

11.在底面直徑和高均為a的圓錐內(nèi)作一內(nèi)接圓柱，則該內(nèi)接圓柱的最大體積為()

C兀

A?平BnaD.—

?16?2781

12.已知關(guān)于％的方程+或)+1=4?n(%+》有三個不同的根，分別為久1，%2，%3，則久1+%2+

%3=()

A.3B.5C.3mD.5m

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知直線L3%+my—1=0與直線1：—2y+2=0互相垂直，則實數(shù)6=.

14.已知"X)=『：］作"Q口，其中a<0,e為自然對數(shù)的底數(shù),若g(x)=/［〃>)］在R上有3個不同

_L,XCL

的零點，貝ija取值范圍是.

15.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2V6,AC=AB=4,且AC1AB,則該三棱錐外接球

的表面積為.

16.已知函數(shù)/r(%)=2因-sin(§+%)，對于任意的X］，x2E［-n,Ti\,有如下條件：

①戲〉蟾；②Xi>%2；③％|>%2；④>|%2入

其中能使/'Qi)>/(%2)恒成立的條件序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知集合A={x\y=ln(2—%)},B={x|2x>AC\B=M,N={x\2a—1<%<a+5].

⑴求M；

(2)在①MnN=M,②MCN=0兩個條件中任選一個，補充在問題中，求a的取值范圍

18.(1)化簡求值：(要求答案最簡).匈5?仞2+(32)2—1g：—511。如2+(/0。35+log^(logz21+

109253)

(2)求下列不等式的解：10g(2x-l)X<2：

3

⑶若函數(shù)/'(X)=log2(ax-12)與函數(shù)g(x)=log2(x-8)的圖象有交點，求實數(shù)a的取值范圍.

19.如圖，矩形4BCD的兩條對角線相交于點M(2,0),邊所在直線的方程為

%—3y—6=0,點在4D邊所在直線上.

(1)求4D邊所在直線的方程；

(2)求矩形48CD外接圓的方程；

⑶過點N(-2,0)的直線［與矩形力BCD的外接圓相交于P,Q兩點，求

I^PI-lWl-

20.已知函數(shù)，真噓=d普翻”既障：1#W，【獺€薄j

(1)若.fl墟是偶函數(shù)，求嬲的值。

(2)設(shè)式堂=睪，東e軸,求盛燒的最小值。

21.已知圓C經(jīng)過。(0,0)和叭—號點，且圓心在y軸上.

(I)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(n)已知P(x,y)是直線kx+y+4=0(k>0)上一動點，PA,P8是圓C的兩條切線，A,B是切點,

若四邊形P4CB的最小面積是2,求k的值.

22.已知函數(shù)/'(x)=loga(l-2x)-loga(l+2x)(a>0,a1).

(I)求/(%)的定義域；

(n)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；

(皿)若關(guān)于％e[0,],恒有"X)>loga(2工+1;3-2百成立，求小的取值范圍-

參考答案及解析

L答案：D

解析：解：由N中不等式變形得：(％-4)(久+3)<0,

解得：一3<%<4,即N=(—3,4),

M=(x\x=2m—l,mEZ},

；.MCN={-1,1,3).

故選：D.

集合M表示奇數(shù)集，求出N中不等式的解集確定出N,找出M與N的交集即可.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.答案：C

解析：解：由s譏a+cosa=0,得tcma=-1,

???直線a%+by+c=0的斜率k=-^=-1,

即a=b,

a—h=0.

故選：C.

由已知三角等式求出tcma,即直線的斜率，再由左=-藍得到a=b,貝！可求.

本題考查直線的傾斜角，考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

3.答案：A

解析:解：函數(shù)/(0)在(-8,0]、(0,+8)均單調(diào)遞增，

且/⑶~2+2^1-

當(dāng)/(a)20,即a2—2時,則/[/(a)]</[/(a)+1],不合題意；

同理：當(dāng)/即a<—|時，也不合題意.

當(dāng)/'(久1)>f(久2)時，一l<f(a)<0，0<f(a)+1<1,

則2<4,1<+1]<2,成立.

故選：A.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，通過討論a的范圍判斷函數(shù)值的大小，從而確定a的具體范圍即可.

本題考查了函數(shù)求值問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論思想，是一道中檔題.

4.答案:C

解析：解：當(dāng)a=0時，/(%)=+a|=|/|為偶函數(shù),此時最

大值為M(a)=M(-l)=M(l),

當(dāng)a>0時，函數(shù)在［—1,1］上的最大值為M(a)=/(I)=|l+a|=

a+1,

當(dāng)a<0時，函數(shù)在［—1,1］上的最大值為M(a)=/(-I)=|-1+

a\=1—a,

Rn.,,、rtz+1,ci>0

一(.1-a,a<0

“、(x+l,x>0

???M(x)=L

11—x,x<0

由g(x)=M(x)—|x2+t|=0得M(x)=\x2+t|,

設(shè)函數(shù)M(x),m(x)=\x2+t|,

作出兩個函數(shù)的圖象如圖：

①若t<0,要使g(x)=M(x)-|x2+t|有4個零點，

則兩個圖象的交點個數(shù)有4個，此時滿足m(0)>M(0),

即|t|>1,解得t<-1.

②若t>0,則m(x)=|x2+t\=x2+t,

當(dāng)拋物線過點(0,1)時，t=l.

當(dāng)拋物線與直線相切時，當(dāng)x>0時，

,fy=%+1,,,?

由F此時產(chǎn)—X+(t—1)=0，

由判別式4=l-4(t-l)=5-4t=0,

解得t="

要使g(x)=M(x)-|x2+訂有4個零點，

則兩個圖象的交點個數(shù)有4個，此時滿足

1<t<-.

4

綜上t<-1或1<t<l-

故選：C.

根據(jù)條件求出函數(shù)M(a)的表達式,然后由g(%)=0得M(%)=\x2+力|,利用函數(shù)g(%)=M(x)-\x2+

t|有4個零點，建立條件關(guān)系即可求出t的取值范圍.

本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)條件求出M（a）的表達式

是本題的難點.注意對t要進行分類討論.綜合性較強，難點交大.

5.答案：C

解析：解：由題有，直線%與G的斜率存在，且兩直線垂直，

???a2b-（a2+1）=0,

>a2+l、

b———>0n,

az

當(dāng)a>0時，\ab\=ab=a+^>2,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取等號；

當(dāng)a<0時，\ab\=—ab=—a-->2,當(dāng)且僅當(dāng)a=—1時取等號，

綜上，|ab|的最小值為2.

故選C.

由題意可知直線的斜率存在，利用直線的垂直關(guān)系，求出a,b關(guān)系，然后求出|ab|的最小值.

此題考查了直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，以及基本不等式的運用，熟練掌握直線垂直時滿

足的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

6.答案：A

解析：

本題主要考查學(xué)生的閱讀能力和對新定義的理解，如果一個集合是開集，則該集合表示的區(qū)域應(yīng)該

是不含邊界的平面區(qū)域.本題的難點在于對新定義的理解.

根據(jù)開集的定義逐個驗證選項，即可得到答案.①表示以原點為圓心，1為半徑的圓，則在該圓上

任意取點（%o，yo），即可判斷；②表示兩條平行直線之外的區(qū)域（含兩直線），在直線上任取一點（而，火），

即可判斷；③表示中心為原點的正方形的內(nèi)部（不含邊界），在該正方形中任取一點（而，丫0），即可判

斷；④表示以（0,1）為圓心，1為半徑，除去圓心和圓周的圓的內(nèi)部.在該平面點集4中的任一點（%0，%），

即可判斷.

解：①｛（x,y）|久2+必=1｝表示以原點為圓心，1為半徑的圓，

則在該圓上任意取點（%o，y。），以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足

｛（x，y）l一％o）2+（y—Vo）2<r｝cA,

故①不是開集；

@｛（x,y）||x+y+2|>1｝表示兩條平行直線久+y+1=0,x+y+3=0之外的區(qū)域（含兩直線），

在直線上任取一點（久o，yo），以任意正實數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足

｛（x,y）17（%-%o）2+（y-yo）2<r｝QA,

故②不是開集；

③{?y)||x|+|y|<l}表示中心為原點,頂點為(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)的正方形的內(nèi)部(不

含邊界)，

在該正方形中任取一點。0,%)，則該點到正方形邊界上的點的最短距離為乙

取r=d,則滿足{(x,y)|—x0)2+(y-y。)？<r}=4.

故③是開集；

④{(x,y)|0</+(y-1)2<1}表示以(0,1)為圓心，1為半徑，除去圓心和圓周的圓面.

在該平面點集4中的任一點(久°,%)，設(shè)該點到圓周上的點的最短距離為d,到圓心的最短距離為p,

取廠=min{d,p}

滿足{Q,y)|J(x—Xo)2+0—yo)2<r}QA,

故④是開集.

故選:A.

7.答案：D

解析：解：如圖所示，。為底面的圓心，則P。J■底面.

在RtAPOB中，由勾股定理得P。=V52—理=4.

1O

V圓錐=-x7TX3X4=127T.

故選：D.

先畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出底面上的高，據(jù)圓錐的體積公式計算出即可.

要計算圓錐的體積，計算底面上的高是解決問題的關(guān)鍵.

8.答案：C

解析：略

9.答案：A

解析：試題分析：由幾何體的三視圖都是矩形，知該幾何體是長方體.解：???該幾何體的三視圖都是

矩形，該幾何體是長方體，如圖所示.故選4

考點：三視圖還原幾何體

點評：本題考查由幾何體的三視圖還原幾何體，是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想

的合理運用

10.答案：B

解析：解析:

試題分析：如圖所示圓心到直線的距離感=慘刎一敘G'零一%所以r>4并且r<6.即選股

度

考點：1.圓上的點到直線的距離轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.2.點到直線的距離公式.

11.答案：C

解析：解：設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r,高為八

,,ra-h

則在AAOS中，T-=—,解得h=a—2r

???內(nèi)接圓柱的體積為P=Jir2h=aTir2-27rr3(0<r<|a)

V'=2anr—671T2—2nr{a—3r)

-1-i-i

0<r<時，V'>0；-a<r<3a時，<0.

由此可得U在(0[a)上是增函數(shù)，?a弓a)上是減函數(shù)

??.當(dāng)r=1a時，圓柱的最大體積為=吟

故選C

設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為小高為八，在A20S中利用線段成比例，算出/i=a-2r,從而得到內(nèi)接圓

柱的體積為U=aa"2—2"3,再用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，可得在(0《a)上單調(diào)增，?a,|a)上單

調(diào)減，得出當(dāng)r=1a時，該內(nèi)接圓柱的最大體積為嚓.

本題給出底面直徑與高相等的圓錐，求它的內(nèi)接圓柱的最大體積，著重考查了旋轉(zhuǎn)體的體積公式和

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：B

解析：解：令t=%+3te(―8,—2]u[2,+8),

如圖示:

令/(%)=m(x2+或)+1—4m(%+》=雙％+J?—2m—4mt+1,

即7nt2—4mt—2m+1=0,要使/(%)有不同的零點，則m/—47nt-2m+1=0有2個不同的根,

則與=2,t2>2或/<—2,或口=—2,t2>2或r<—2,

故當(dāng)久>0時，tmin=2,當(dāng)tv0時，tmax=-2,

故關(guān)于t的方程的其中1個根必須為2或-2,

此時直線t=2或直線￡=-2時剛好與函數(shù)t=%+%目切，

X

當(dāng)?n=。時,不合題意，故-2)2-6t+1=0得(力-2/=6-，

若6-工<0,則該方程無解，不合題意，

m

=

由(t—2/=6—A，得：0=2—16-gt22+16一/

當(dāng)=2,此時《2=2,不合題意，

-1

當(dāng)匕=-2,此時《2=6,解得：m=

-1-1

由1=%+-，當(dāng)％+-=t1，解得：%】=一1,

XXxx

當(dāng)％+[=力2，整理得久2-6%+1=0,故%2+%3=6,

故與+外+%3=5,

故選：B.

令t=x+根據(jù)方程欣2一4mt-2m+1=0的根的情況，結(jié)合t=%+工的根進行討論.

XX

本題考查了方程根的情況，考查分類討論思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.

13.答案：0

解析：解：直線乙：3%+my-1=0與直線"：mx-2y+2=0互相垂直，

???3m—2m=0,

解得實數(shù)m=0.

故答案為：0.

利用直線與直線互相垂直的性質(zhì)直接求解.

本題考查實數(shù)值的求法，考查直線與直線互相垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

14.答案：［―夜,0)

解析：

本題考查了函數(shù)的零點、分段函數(shù)、分類討論思想.屬難題.

先按照％<a和x>a兩種情況求出/Q),再對％2—4和/-1分別各按照兩種情況討論求出/(/(乃),

最后令/(/(久))=0,求出函數(shù)9(%)的零點，恰好有三個.因此只要求出的三個零點滿足各自的范圍

即可.

解：(1)當(dāng)xWa時，/(%)=x2-4,

①當(dāng)/-4<a時，由/(/(%))="-4)=(%2—4)2-4=0得％=-V2;

2

②當(dāng)/一4>a時，由/■(/■(%))=/(%-4)=e--4_1=。得刀=_2

(2)當(dāng)x>a時，/(x)=ex-1,

①當(dāng)1―l<a時，由)(/(%))=-1)

=(ex-I)2-4=0,得e*=-1無解，

②當(dāng)e'-l>a時，由f(f(x))=f(峭—1)

=e姨T—1=0,解得％=0,

因為9(%)=/(/(%))在R上有三個不同的零點，

-V2<a

所以,一2Wa，

0>a

解得：—/<a<0,

故答案為：［-夜,0).

15.答案：367r

解析:

本題考查三棱錐的外接球的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,

考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，是中檔題.取BC中點D,連結(jié)AD,PD,推導(dǎo)

出PD=4,PD1平面4BC,該三棱錐外接球的球心。在P0上，設(shè)球半徑為R,貝ijOP=。4=R,由

此求出R=3,從而能求出該三棱錐外接球的表面積.

解：取BC中點D,連結(jié)4D,PD,

,?,在三棱錐P-ABCdp,PA=PB=PC=2V6,AC=AB=4,

5.AC1AB,

PD1BC,AD1BC,AD=BD=CD=2&,

PD=y/PB2-BD2=V24-8=4，

???PD2+AD2=AP2,PDX.AD,

又PD1BC,BCCtAD=D,

：.PD_L平面ABC,

則該三棱錐外接球的球心。在PD上，設(shè)球半徑為R,

則。P=OA=R,

R=y/AD2+OD2=J8+(4—R)2,

解得R=3,

該三棱錐外接球的表面積為S=4兀/?2=367T.

故答案為36兀.

16.答案：①④

解析：解:/(%)=2因—sin(Y+久)=2團—cosx,

/(—X)=2n-cos(—%)=2⑶-cosx=/(%),

函數(shù)/(%)=2因一cosx為偶函數(shù)，

.../(-%)=/(|x|)；

又x￡［0,兀］時，2團=2"遞增，—cosx遞增，

f(x)=2因-cos%在［0,兀］上單調(diào)遞增，且在［-兀,0］上單調(diào)遞減.

①中,>%2,BPkii>|%2|>

結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)得/>/(|%2|)>

???/(^1)>f(x2)；

④中,>|x2|,即%|>%|，

于是也有f01)>f(%2)；

②③中，取人=o,%2=一1，可知/(/)<y(x2)；

故答案為：①④.

化簡/(%)后可判斷/(%)的奇偶性、單調(diào)性，借助偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷①④的正確性；舉反例可說明

②③的錯誤.

本題考查函數(shù)〃吟的奇偶性與單調(diào)性，得到;"(“)為偶函數(shù)，在[0,捫上單調(diào)遞增是關(guān)鍵，考查分析轉(zhuǎn)

化能力，屬于中檔題.

17.答案：解：(1)???a={x|x<2},B={x\x>-1],

M=xnS={x|-1<%<2]；

(2)選擇條件①：

由MnN="可知McN,

???fkL'T,解得-3<a<0,

??.a的取值范圍為[—3,0)；

選擇條件②：

1)若N=。貝1J2a-1>a+5,解得a>6；

a<6Q

{a+5<-L或2a-lN2,解得a<一6或者a<6,

綜上所述，a的取值范圍為(-8,—6)U[|,+8).

解析：(1)可求出集合4B,進行交集的運算即可求出M={x[—l<x<2}；

(2)選擇條件①：根據(jù)MCN="可得出MUN,從而得出{:;\!1―％選擇條件②：N=0時，

2a-l>a+5；N4。時，然后解出a的范圍即可.

本題考查了描述法的定義，交集及其運算，對數(shù)函數(shù)的定義域，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，子集的定義，

分類討論的思想，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

io43

18.答案：解：⑴原式=lg2ags+匈2)+仞5—5+5^+(log35+ilog35)(3/o55+jlog53)=

lg2+^5-^+|log5x|log3=1-；+Y=5；

41Z3Z544

(2).?”og(2x-i)x<2=/og(2x-i)(2x-l)2

???分兩種情況:

①當(dāng)0<2x-1<1時，即之<尤<1,此時由函數(shù)的性質(zhì)可知，

%>0

?(2%-1)2>0,解得:<%<1且X#|.

x>(2%—I)2

???比的取值范圍為c，i).

%>0

②當(dāng)2%-1>1時，即x>l,此時由函數(shù)的性質(zhì)可知?(2%-1產(chǎn)>0,解得％>1或0<x<；

%<(2%—I)2

所以%>1,

綜上：工的取值范圍為(|,1)u(1,+8),

33

(3)因為函數(shù)f(%)=log2(ax-12)與函數(shù)g(%)=log2(x一8)的圖象有交點，所以ax-12=%-8

有解，

因為%3—8>0>所以％>2,12>0,所以a>一,a=%2H—,

CLX—XX

X2所以X>2,令0(%)=%2+±“(%)=2%一2=更三>0,

所以g(x)在(2,+oo)上單調(diào)遞增，所以a>4.

解析：(1)主要是由對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡求值；

(2)解對數(shù)不等式，關(guān)鍵是底數(shù)要進行分類討論；

3

⑶由函數(shù)f(x)=log2(ax-12)與函數(shù)g(x)=log2(x-8)的圖象有交點，轉(zhuǎn)化為真數(shù)相等有解.

因為矩形4BCD兩條對角線的交點為M(2,0).

所以“為矩形4BCD外接圓的圓心.

又=J(2—0)2+(0+2尸=2V2.

從而矩形48CD外接圓的方程為。-2)2+y2=8.

（/〃）過點N作圓的切線，切點為S,

貝H衲.|而|=而『=|麗|2一聞|2=8.

解析：（/）由4。與垂直，求出直線20的斜率，由此能求出4D邊所在直線的方程.

。/）由仁二二:‘解得點"（°，一2），因為矩形A8C0兩條對角線的交點為M（2,0）.所以M為矩形

力BCD外接圓的圓心.由此能求出矩形4BCC外接圓的方程.

（〃/）過點N作圓的切線，切點為S,由此利用切割線定理能求出結(jié)果.

本題考查直線方程的求法，考查圓的方程的求法，考查向量數(shù)量積的求法，解題時要認真審題，注

意直線性質(zhì)的靈活運用.

20.答案：（1）碉，=，.iL；（2）爵色=7.虱"%嘮=箏嬴+■?：-1.—-CK。

二01輸

解析：試題分析：（1）因為,蕤勒是偶函數(shù)，所以爪—1=0,即m=l。

當(dāng)Am<16時，翻燒I=K--H---H-瞬41在、，八屆|上是單調(diào)遞減的，在卜隔月［上是單調(diào)遞增的，

31?連:4

所以敏微:遇=,道標(biāo)3=樂嬴特蹴:1;

當(dāng)mW0時，勰制=需#-#瞬勺在義用I上是單調(diào)遞增的，所以域磁翻=域當(dāng)=物T-

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綜上知：您就h西=4

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