2022年山西省中考數學模擬考試題(含答案)

山西省中考數學模擬考試題

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）某地一天的最高氣溫是12°C,最低氣溫是-2°C,則該地這天的溫差是（）

A.-10°CB.IO°CC.14°CD.-14"C

2.（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

?D.得

選C

3.（3分）下列運算中正確的是（）

A.>/2xV3=V6B.及+6=行C.R+&=2D.-I2=-2

4.（3分）已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體可能是（）

△△

主視圖左視圖

O

俯視圖

A.B,4^c.gD.@

5.（3分）一副直角三角板如圖放置，點C在陽的延長線上，AB//CF,ZF=ZACB=90°,則NDBC

的度數為（）

FDC

3x>2x'-]~4的解集在數軸上表示正確的是（

6.（3分）不等式組)

.1<

-2-1012'

c.-2-102D.-2-102

7.（3分）如圖，在四邊形A8CD中，對角線AC、相交于點O,下列條件不能判定四邊形ABC。為

平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AD//BC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.AB=CD,AD=BC

8.（3分）我國古代數學名著《孫子算經》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸：屈

繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條繩子還剩余4.5尺：將繩子對折再量

木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？如果設有木條長x尺，那么可列方程為（）

X

A.x-4.5=——1B.jr+4.5=-C.x+4.5=2(x+l)D.x+4.5=2(x—1)

22

9.（3分）如圖，已知E為矩形紙片AfiCD的邊ZX7上一點，將矩形紙片沿8E折疊，使點。恰好

落在邊AD上的點尸處，若AB=6,AD=10,則DE的長為（）

DE

10.（3分）如圖，在正方形中，點￡是邊上的一點，連接。E,AE,BD,且AE,BD交于

點尸，AB=6,BE=3,則陰影部分的面積是（）

A.12B.13C.14D.15

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）不等式上（x-2）＜3的解集是

12.（3分）一個正多邊形，它的一個內角等于一個外角的2倍，那么這個正多邊形的邊數是—.

13.（3分）如圖是一組有規(guī)律排列的圖案，它們是由邊長為1的正方形組成，第（1）個圖案有邊長為1

的小正方形3個，第（2）個圖案有邊長為1的小正方形6個，第（3）個圖案有邊長為1的小正方形9

14.（3分）有三把鑰匙（編號分別是1,2,3）與三把鎖（編號分別是A,B,C）,每把鑰匙只能打開

其中一把鎖，每把鎖只有一把鑰匙能打開.如果從三把鑰匙中隨機抽取兩把，那么能一次性（即不能試）

打開A鎖與8鎖的概率是.

15.（3分）如圖，點A的坐標為（2,0）,點6的坐標為（0,2收,0A與y軸相切，點C是QA上的動點，

射線3c與x軸交于點。，則皮＞長的最大值等于.

三.解答題（共8小題，滿分75分）

16.（1）計算：（一3—2）x（—（―；廠2+23

42

（2）下面是小祺同學化簡分式-----------的過程，請仔細閱讀并完成相應的任務.

Cl~\。+1

2(。-1)

解：原式=(a_l)(a+l)_(q_l)(a+l)第一步

=4（。+1）-2（。-1）……第二步

=4a+4-勿+2...第三步

=2a+6……第四步

任務一：①以上求解過程中，第一步的依據是；

②小祺同學的求解過程從第步開始出現錯誤，錯誤的原因是

任務二：請你寫出正確的化簡過程.

17.如圖，四邊形A8C0為矩形，AC為對角線，過點。作OE_LAC于點E.

(1)尺規(guī)作圖：過點3作DE的平行線，交AC于點F,要求：標明相應字母，保留作圖痕跡不寫作法。

(2)在(1)的條件下，求證：DE=BF.

18.春節(jié)前夕，習近平總書記赴山西慰問基層干部群眾，1月26日下午，習近平總書記在霍州市師莊鄉(xiāng)馮

南垣村同村民一起揉花饃，花饃將銷往全國各地，臨近年關，某商店決定購進一批花饃，已知甲種花饃

每件的進價比乙種花饃每件的進價少6元，花180元購買甲種花饃的件數與花240元購買乙種花饃的件數

相等.(1)求甲、乙兩種花饃每件的進價；(2)由于暢銷，第一批購進的花饃已經售馨，現該商店決定

用40()()元再購進一批甲、乙兩種花饃共20()件，結果恰逢批發(fā)商進行調價，甲種花饃在第一批進價的基

礎上9折銷售，而乙種花饃比第一批進價提高了5%,則最多可購買乙種花饃多少件？

19.第24屆冬季奧林匹克運動會（簡稱“冬奧會”）于2022年2月4日在北京開幕，本屆冬奧會設7個

大項、15個分項、109個小項，在全國掀起了冰雪運動的熱潮，某校組織了關于冬奧知識競答活動，隨

機抽取了七年級若干名同學的成績，并整理成如下不完整的頻數分布表、頻數分布直方圖和扇形統計圖:

若干名同學的成績頻數分布表

分組頻數

60<x<704

70<x<8012

80<x<9()16

90<x<l(X)

請根據圖表信息，解答下列問題：（1）本2成

績在“90<xW100”這一組所對應的扇形圓心角的度數為一。；（2）請將頻數分布直方圖補充完整；（3）

將此次競答活動成績在“80<xW90”的記為良好，在“90<xW100”的記為優(yōu)秀，已知該校初、高

中共有學生240（）名，小敏根據七年級此次競答活動的結果，估計該校初、高中學生中對冬奧知識掌握情

況達到良好或優(yōu)秀的人數約為：24（X）x（40%+20%）=1440,請你分析她的估計是否合理，并說明理由；

（4）該校計劃對此次競答活動成績最高的小穎同學：獎勵兩枚“2022北京冬夢之約”的郵票，現有如

圖所示“2022?北京冬夢之約”的四枚郵票供小穎選擇，依次記為A,B,C,D,背面完全相同，將

這四枚郵票背面朝上，洗勻放好，小穎從中隨機抽取一枚不放回，再從中隨機抽取一枚.請用列表或畫

樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

..................>>■■■>|

三，

快甲心丸3

\

CWXA.".

中間*故po*[**

ABCD

20.閱讀與思考：請仔細閱讀材料，并完成相應的任務.

利用數學知識求電阻的阻值

數學和物理的關系十分密切，數學是表達物理概念、定律簡明而準確的語言，同時，數學為物理提供了

計量、計算的工具和方法.

例如：已知兩個電阻R1和此串聯后的總電阻為7Q,并聯后的總電阻為g。，求這兩個電阻的阻值各是

多少.

根據串聯電路中電阻之間的關系，得A+與=7,①

11人+凡7

根據并聯電路中電阻之間的關系，得胃+丁=玉六=2②

K,R?&R?6

把①代入②，得鳥&=6③

以上問題也可以通過以下兩種數學方法求解.

方法1：設飛阻值為％,則R2的阻值為7-x.根據③可將問題轉化為x（7-x）=6是否有正數解的問題.

方法2：設兩個電阻阻值分別為％和則根據③，得x+y=7,根據③，得孫=6.所以同時滿足要求

的正數x和＞的值可以看成反比例函數的圖象與一次函數y=-x+7的圖象在第一象限內的交點

X

坐標（x,y）.

12

任務：（1）已知兩個電陽R1和R2串聯后的總電阻為io。，并聯后的總電阻為三。，請你借助“方法1”,

求這兩個電阻的阻值各是多少.

（2）是否存在兩個電阻R1和與，使串聯后的總電阻為4C，并聯后的總電阻為？

小明借助“方法2”解答如下：

假設存在，設這兩個電阻的阻值分別為％和y,

根據①，得x+y=.根據③，得回=.

在如圖所示的直角坐標系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數y=9和一次函數y=-x+4的圖象.

X

觀察圖象可知，（填“存在”或“不存在”）滿足條件的兩個電阻.

21.2021年是中北大學建校80周年，某?！熬C合與實踐”小組的同學來到中北大學參觀學習，他們在德懷

樓前的廣場上參觀了彭德懷元帥的雕像（如圖1）,并計劃測量“彭德懷元帥雕像”的高度.他們制定了測量

方案并完成了實地測量.如圖2,該小組同學在點C處用測角儀（高度不計）測得該雕像頂端A的仰角

ZAEM=61°,向雕像的另一側前進9.5m到達點。處，再次測得該雕像頂端A的仰角NAGN=45。，

已知該同學的眼晴到地面的距離為1.5加，請根據上述測量數據，求彭德懷元帥雕像的高度.（結果精確

到0.1根；參考數據：sin61°?0.87,cos61°?0.48,tan61°?1.80）

圖1

22.綜合與實踐

問題情境：四邊形A8CO是正方形，對角線AC,相交于點。，尸是正方形內一點，ZBFC=90°.

將△BEC繞點。按順時針方向旋轉一定角度得到ADEC,點3,P的對應點分別為點。，E,直線EF

經過點。.

特例分析：（1）如圖1,當點尸與點。重合時，判斷四邊形CEOF的形狀，請說明理由，并直接寫出所

與?！甑臄盗筷P系.

深入探究：（2）如圖2,當點尸與點。不重合時，試判斷OE，E0,尸。之間的數量關系，并說明理

由.

類比遷移：（3）如圖3,將正方形ABCO改為菱形，對角線AC,3。相交于點。，廠是菱形內一點,

N3fC=90°,將△班C繞點。按順時針方向旋轉60°得到△OEC，點B,尸的對應點分別為點。，E.

請直接寫出。E，EO,尸。之間的數量關系.

1,

23.綜合與探究：如圖，拋物線＞=一5/+區(qū)+。與％軸交于人，3兩點，與丁軸交于點C,點3,C

的坐標分別為（2,0）,（0,3）,點。與點。關于x軸對稱，P是直線AC上方拋物線上一動點，連接P。、

交AC于點Q.

（1）求拋物線的函數表達式及點A的坐標；（2）在點P運動的過程中，求PQ：OQ的最大值；（3）在

y軸上是不存在點〃，使NAA仍=45°?若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

答案與解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）某地一天的最高氣溫是12°C,最低氣溫是-2°C,則該地這天的溫差是（）

A,-10℃B.10'CC.14℃D.-14℃

【答案】C

【詳解】12-(-2)=14(°C).故選:C.

既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【詳解】A.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意.故選：A.

3.（3分）下列運算中正確的是（）

A.V2x>/3=V6B.V2+>/3=V5C.后+6=2D.-l2=-2

【答案】A

【詳解】A、原式=7^=",所以A選項正確；B、虛與石不能合并，所以8選項錯誤;

C、原式=而萬=3,所以C選項錯誤；D、原式=-1,所以。選項錯誤.故選：A.

4.（3分）己知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（）

【答案】A

【詳解】?.?主視圖和左視圖是三角形，.,?幾何體是錐體，

?.?俯視圖的大致輪廓是圓，該兒何體是圓錐.故選：A.

5.（3分）一副直角三角板如圖放置，點C在尸D的延長線上，ABHCF,NF=NAC8=90。，則ND8C

的度數為（）

A.10°B.15°C.18°D.30°

【答案】B

【詳解】由題意可得：NEDF=45°,ZABC=30°,

-,-AB//CF,:.ZABD=ZEDF=45°,.-.ZZ)SC=45o-30o=15o.故選：B.

6.（3分）不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）

3x>2x-1

111!’1I—1

A.-2-1012'B.-2-102

1]I1

c.-2-io2，D.-2-102

【答案】C

【詳解】｛；!：2?二臺4①，由①得若，］；由②得天>一1；故不等式組的解集為T<X,1，

-I心」------------->

在數軸上表示出來為：-2-102.故選：c.

7.（3分）如圖，在四邊形MCD中，對角線AC、8。相交于點O,下列條件不能判定四邊形AfiCD為

A.AB//CD,AD//BCB.AD//BC,AB=CDC.OA=OC,OB=ODD.AB=CD,AD=BC

【答案】B

【詳解】A、根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可以判定；

3、無法判定，四邊形可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形；

C、根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可以判定；

。、根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可以判定；故選：B.

8.（3分）我國古代數學名著《孫子算經》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈

繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木條繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量

木條，木條剩余1尺，問木條長多少尺？如果設有木條長x尺，那么可列方程為（）

YY

A.x-4.5=--lB.x+4.5=--lC.x+4.5=2（x+l）D.x+4.5=2（x-l）

22

【答案】D

【詳解】依題意，得：x+4.5=2（x-l）.故選：D.

9.（3分）如圖，已知￡為矩形紙片ABCD的邊DC上一點，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點C恰好

落在邊4）上的點尸處，若A8=6,AE>=10,則OE的長為（）

O1A

A.2B.-C.3D.—

33

【答案】B

【詳解】設止=x,則CE=6—x,由翻折的性質得，

BC=BF=\0,AB=6AF=8DF=AD-DF=\0-8=2,

在RtADEF中，?.-EF=CE=6-x,DEr+DF2-EF2,x2+22=(6-x)2,

解得：x=-.BPDE--.故選：B.

33

10.（3分）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊3c上的一點，連接￡>￡,AE,BD,且AE,BD交于

點尸，AB=6,BE=3,則陰影部分的面積是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【詳解】???四邊形/WOO是正方形，.?.AD//8C,AD=AB=6,

Ansp

:./SADFsgBF,—=—=2,:.AF=2EF,

BEEF

'''=6>BE=3,5A=SABEO=5xBExAB=9>

7

.?.陰影部分的面積=6+9=5故選：D.

二.填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11.（3分）不等式g（x—2）<3的解集是—.

【答案】x<8

【詳解】x-2<6.x<6+2,x<8,故答案為x<8.

12.（3分）一個正多邊形，它的一個內角等于一個外角的2倍，那么這個正多邊形的邊數是—.

【答案】6

【詳解】設正多邊形的一個外角的度數為x。，由題意得2x+x=180。，

解得x=60,360。+60。=6，所以這個正多邊形的邊數是6.故答案為6.

13.（3分）如圖是一組有規(guī)律排列的圖案，它們是由邊長為1的正方形組成，第（1）個圖案有邊長為1

的小正方形3個，第（2）個圖案有邊長為1的小正方形6個，第（3）個圖案有邊長為1的小正方形9

個，…依此規(guī)律，則第（“）個圖案中，邊長為1的小正方形有一個.

第（2）個圖案有邊長為1的小正方形的個數為：6=3x2,

第（3）個圖案有邊長為1的小正方形的個數為：9=3x3,

第（4）個圖案有邊長為1的小正方形的個數為：12=3x4,...

第（〃）個圖案有邊長為1的小正方形的個數為：3n.故答案為：3〃.

14.（3分）有三把鑰匙（編號分別是1,2,3）與三把鎖（編號分別是A,B,C）,每把鑰匙只能打開

其中一把鎖，每把鎖只有一把鑰匙能打開.如果從三把鑰匙中隨機抽取兩把，那么能一次性（即不能試）

打開A鎖與3鎖的概率是.

【答案】-

6

【詳解】隨機抽取兩把分別打開A,5鎖，所有可能的結果為：12,13,21,23,31,32,

共有6種等可能的情況數，其中能一次性（即不能試）打開A鎖與5鎖的有1種，

所以一次打開A鎖與3鎖的概率=」.故答案為：

66

15.（3分）如圖，點A的坐標為（2,0）,點B的坐標為（0,26）,與y軸相切，點C是0A上的動點，

射線3c與x軸交于點。，則如長的最大值等于—.

【答案】4G

【詳解】當射線與OA相切時，BD最大,

如圖，過8作OA的切線3C'交x軸于8。即為所求，再連接AC',AB.

?.?點A的坐標為(2,0),點8的坐標為(0,26),;.。4=2,OB=2拒,

％2

tan2^480==—產=—,:.ZABO=30°,ZOAB=60°,

OB2G3

根據切線長定理，BO=BC,ZABO=ZABC'=30°,/.ZADV=30°,:.AB=Aiy,

-.■ACYBiy,:.BC=CD',:.BD'=4y/3.故答案為46.

三.解答題(共8小題，滿分75分)

21

16.（1）計算：（―3—2）x（—~+2,

42

(2)下面是小祺同學化簡分式------的過程，請仔細閱讀并完成相應的任務.

a-1。+1

解.原式=型二

L第一步

=4（a+l）-2（a-1）...第二步

=4a+4-2。+2...第三步

=2a+6...第四步

任務一：①以上求解過程中，第一步的依據是

②小祺同學的求解過程從第步開始出現錯誤，錯誤的原因是

任務二：請你寫出正確的化簡過程.

【答案】(1)；(2)分式的基本性質，二，丟掉分母，化簡過程見解析

10

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，最后算減法即可；(2)任務一：根據分式的基本性質求解即可；任

務二：根據分式的混合運算順序和運算法則求解即可.

44113

【詳解】解：(1)原式=(—5)x——4+8=------=―；

v7255210

(2)任務一：①以上求解過程中，第一步的依據是分式的基本性質；

②小祺同學的求解過程從第二步開始出現錯誤，錯誤的原因是丟掉分母；

在父一.而十二4(a+l)______2(a-l)=4a+4-2。+2；2a+6_2a+6

J2

(a+l)(cz-l)(cz+l)(a-l)(a+l)(a-l)+a-1

故答案為：①分式的基本性質；②二、丟掉分母.

【點睛】本題主要考查了有理數的四則混合運算、分式的加減等知識點，解題的關鍵是掌握分式的加減

運算法則及依據.

17.如圖，四邊形A8CO為矩形，AC為對角線，過點。作O￡_LAC于點E.

（1）尺規(guī)作圖：過點3作DE的平行線，交AC于點F,要求：標明相應字母，保留作圖痕跡不寫作法。

（2）在（1）的條件下，求證：DE=BF.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）以點B為圓心，以適當長為半徑畫弧交AC于點M,N,分別以歷，N為圓心，大于

2

的長為半徑畫弧，兩弧將于點P,連接8P并延長交4c于點F,則BFLAC,從而BF//DE

（2）根據矩形的性質即可證明。E=8F.

【小問1詳解】如圖，防即為所求；

【小問2詳解】證明：?.?四邊形ABCO是矩形，.二△ABC和AA。。的面積相等，

DE1AC,BFA.AC,:.DE=BF.

【點睛】本題考查了作圖一復雜作圖，矩形的性質，解決本題的關鍵是掌握垂線的作法.

18.春節(jié)前夕，習近平總書記赴山西慰問基層干部群眾，1月26日下午，習近平總書記在霍州市師莊鄉(xiāng)馮

南垣村同村民一起揉花饃，花饃將銷往全國各地，臨近年關，某商店決定購進一批花饃，已知甲種花饃

每件的進價比乙種花饃每件的進價少6元，花18（）元購買甲種花饃的件數與花24（）元購買乙種花饃的件數

相等.（1）求甲、乙兩種花饃每件的進價；（2）由于暢銷，第一批購進的花饃己經售馨，現該商店決定

用4000元再購進一批甲、乙兩種花饃共200件，結果恰逢批發(fā)商進行調價，甲種花饃在第一批進價的基

礎上9折銷售，而乙種花饃比第一批進價提高了5%,則最多可購買乙種花饃多少件？

【答案】（1）甲種花饃每件的進價為18元，則乙種花饃每件的進價為24元；（2）84件

【分析】（1）設甲種花饃每件的進價為4元，則乙種花饃每件的進價為（x+6）元，由題意：花180元購

買甲種花饃的件數與花240元購買乙種花饃的件數相等.列出分式方程，解方程即可；

（2）設購買乙種花饃。件，由題意：現該商店決定用4000元再購進一批甲、乙兩種花饃共200件，結

果恰逢批發(fā)商進行調價，甲種花饃在第一批進價的基礎上9折銷售，而乙種花饃比第一批進價提高了5%,

列出一元一次不等式，解不等式即可.

【小問1詳解】設甲種花饃每件的進價為x元，則乙種花饃每件的進價為（x+6）元，

由題意得：出=生,,解得：x=]8，

xx+6

經檢驗，x=18是原方程的解，且符合題意，則x+6=24，

答：甲種花饃每件的進價為18元，則乙種花饃每件的進價為24元；

【小問2詳解】設購買乙種花饃。件，則購買甲種花饃（200—。）件，

由題意得：24a（l+5%）+18x90%x（200—a）44（XX）.解得：a<84^.

「a為正整數，a的最大值為84,答：最多可購買乙種花饃84件.

【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正

確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式.

19.第24屆冬季奧林匹克運動會（簡稱“冬奧會”）于2022年2月4日在北京開幕，本屆冬奧會設7個

大項、15個分項、109個小項，在全國掀起了冰雪運動的熱潮，某校組織了關于冬奧知識競答活動，隨

機抽取了七年級若干名同學的成績，并整理成如下不完整的頻數分布表、頻數分布直方圖和扇形統計圖：

若干名同學的成績頻數分布表

分組頻數

6()<x<7()4

70<x<8012

80<x<9016

90<x<100

請根據圖表信息，解答下列問題：（1）本次知識競答共抽取七年級同學名；在扇形統計圖中，成

績在"90<x<100”這一組所對應的扇形圓心角的度數為一。；（2）請將頻數分布直方圖補充完整；（3）

將此次競答活動成績在“80<xW90”的記為良好，在“90<xW100”的記為優(yōu)秀，已知該校初、高

中共有學生2400名，小敏根據七年級此次競答活動的結果，估計該校初、高中學生中對冬奧知識掌握情

況達到良好或優(yōu)秀的人數約為：2400x（40%+20%）=1440,請你分析她的估計是否合理，并說明理由；

（4）該校計劃對此次競答活動成績最高的小穎同學：獎勵兩枚“2022北京冬夢之約”的郵票，現有如

圖所示“2022?北京冬夢之約”的四枚郵票供小穎選擇，依次記為A,B,C,D,背面完全相同，將

這四枚郵票背面朝上，洗勻放好，小穎從中隨機抽取一枚不放回，再從中隨機抽取一枚.請用列表或畫

樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是3（冰墩墩）和C（雪容融）的概率.

(4)-

6

【分析】（1）由成績在“70<%,80”的人數除以所占百分比得出本次知識競答共抽取七年級同學的人

數，即可解決問題；（2）根據成績在“90<%,100”這一組的人數，即可解決問題；

（3）從學生的學段進行說明即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中小穎同學抽到的兩枚郵

票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的結果有2種，再山概率公式求解即可.

【小問1詳解】解：本次知識競答共抽取七年級同學為：12+30%=40（名），

則在扇形統計圖中，成績在“90<%，100”這一組的人數為：40—4—12—16=8（名）,

Q

在扇形統計圖中，成績在“90<%,100”這一組所對應的扇形圓心角的度數為：360°x——=72。,

40

故答案為：40,72；

【小問2詳解】由（1）可知，成績在“90<%,100”這一組的人數為8名，

【小問3詳解】不合理，理由如下：因為初、高中學生對奧運知識的掌握程度不同，該校七年級學生對

奧運知識掌握的程度不能代表全校學生，所以根據七年級競答活動的結果，估計全校學生中奧運知識掌

握情況達到優(yōu)秀等級的人數不合理.

【小問4詳解】畫樹狀圖如下:

開始

ABCD

/4\/N/1\/1\

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結果，其中小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容融）的結果有2種,

21

故小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是8（冰墩墩）和C（雪容副1）的概率為一=

126

【點睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數分布表、頻數分布直方圖等知識.樹狀圖法可以不重

復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是

不放回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

20.閱讀與思考：請仔細閱讀材料，并完成相應的任務.

利用數學知識求電阻的阻值

數學和物理的關系十分密切，數學是表達物理概念、定律簡明而準確的語言，同時，數學為物理提供了

計量、計算的工具和方法.

例如：已知兩個電阻R1和&串聯后的總電阻為7Q,并聯后的總電阻為3。，求這兩個電阻的阻值各是

多少.

根據串聯電路中電阻之間的關系，得4+4=7,①

根據并聯電路中電阻之間的關系，得=+丁=~^『=7②

R2叫&6

把①代入②，得與尺2=6③

以上問題也可以通過以下兩種數學方法求解.

方法1：設R1阻值為X,則此的阻值為7-x.根據③可將問題轉化為X(7-X)=6是否有正數解的問題.

方法2：設兩個電阻阻值分別為％和丁，則根據③，得x+y=7,根據③，得孫=6.所以同時滿足要求

的正數x和y的值可以看成反比例函數y=勺的圖象與一次函數y=-x+7的圖象在第一象限內的交點

X

坐標(x,y).

12

任務：(1)已知兩個電陽凡和&串聯后的總電阻為10Q，并聯后的總電阻為一。，請你借助“方法1”,

求這兩個電阻的阻值各是多少.

(2)是否存在兩個電阻R|和&,使串聯后的總電阻為4C，并聯后的總電阻為？

小明借助“方法2”解答如下：

假設存在，設這兩個電阻的阻值分別為x和y,

根據①，得x+y=.根據③，得沖=.

在如圖所示的直角坐標系中，小明分別畫出了滿足條件的反比例函數y=9和一次函數y=-x+4的圖象.

X

觀察圖象可知，（填“存在”或“不存在”）滿足條件的兩個電阻.

【答案】（1）4。和60；（2）4.6,不存在.

【分析】（1）根據題意，得方程x（10—x）=24解方程即可；

（2）根據題意可得x+y=4,xy=6,求x與y的值即求一次函數y=-x+4與反比例函數y=9有無交

點，根據圖象判斷即可.

,x+y=10

【小問1詳解】解：設兄=》，則耳=00一%），根據題意得＜x+y=5,

xy-12

得肛=24,將x+y=10代入，得x(10—x)=24,解方程得x=4或％=6,

???這兩個電阻的阻值分別為：4Q和6Q.

y=4

【小問2詳解】設4=1，則凡=y,根據題意得《/，

xy=6

A

求解x和y的過程即為求一次函數y=-X+4與反比例函數y=—的交點問題，

x

根據圖象可知，兩函數沒有交點，，不存在滿足條件的兩個電阻.故答案為：4，6,不存在.

【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，將實際問題轉化為函數模型是解決本題的關鍵.

21.2021年是中北大學建校80周年，某?！熬C合與實踐”小組的同學來到中北大學參觀學習，他們在德懷

樓前的廣場上參觀了彭德懷元帥的雕像（如圖D,并計劃測量“彭德懷元帥雕像”的高度.他們制定了測量

方案并完成了實地測量.如圖2，該小組同學在點C處用測角儀（高度不計）測得該雕像頂端A的仰角

ZA￡M=61°,向雕像的另一側前進9.5m到達點。處，再次測得該雕像頂端A的仰角NAGN=45°,

己知該同學的眼晴到地面的距離為1.5加，請根據上述測量數據，求彭德懷元帥雕像的高度.（結果精確

到O.bw；參考數據：sin610*0.87,cos61°?0.48,tan610*1.80）

【答案】7.6m

【分析】連接,過點A作AB_LEG,垂足為5,可得四邊形ECDG是矩形,從而得EG=CD=9.5m,

然后設A3=xm，在和用△ABE中，分別表示出￡B，BG的長，列出關于％的方程，進行

計算即可解答.

【詳解】解：連接MN,過點A作ABLEG，垂足為B，

A

ARx

設=在中，ZAGB=45°：.BG=------=-=xm,

tan4501

ASx5

在RfAABE中，ZAEB=61°:.EB=-------=—=-xm

tan6101.89

?;EB+BG=EG:.-x+x=9.5解得xa6.ll..AB=6.11

9

，AB+EC=6.11+1.5a7.6m：.彭德懷元帥雕像的高度為7.6加.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔

助線是解題的關鍵.

22.綜合與實踐

問題情境：四邊形A8C0是正方形，對角線AC,BD相交于點O，F是正方形內一點，/BFC=90。.

將4BFC繞點C按順時針方向旋轉一定角度得到ADEC,點B，F的對應點分別為點D,E,直線所

經過點。.

特例分析：（1）如圖1,當點F與點。重合時，判斷四邊形CEO/的形狀，請說明理由，并直接寫出跖

與。石的數量關系.

深入探究：（2）如圖2,當點尸與點。不重合時，試判斷DE，EO,F0之間的數量關系，并說明理

由.

類比遷移：（3）如圖3,將正方形A8CD改為菱形，對角線AC,3。相交于點。，廠是菱形內一點,

NBEC=90°,將△3FC繞點C按順時針方向旋轉60。得到△OEC，點B,尸的對應點分別為點O,E.

請直接寫出。E，E0,尸。之間的數量關系.

E

【答案】(1)四邊形CEO/是正方形，理由見解析，EF=^DE；

(2)E0-F0=6DE,理由見解析；(3)OE+OF=gDE，理由見解析

【分析】(1)由正方形的性質可得BO=CO=DO,BC=CD，ZBC￡>=90°.由旋轉的

性質可得CO=￡)O=CE=OE，可得結論；

(2)由“S4S”可證△0OE絲ABOH,可得DE=BH，由旋轉的性質可得FC=CE，

NECF=90°=NBCD,BH=BF=DE，可求N”M=90°,由等腰直角三角形的性質可求

HF=41BH?即可求解；

(3)山“S4S”可證AAD歸段△□>￡,可得NAWD=NZ)EC=90°,由四邊形內角和定理可求

Z.G=ZFCE=60°,由“AS4”可證AAOHgACOF，可得OH=OF,可得結論.

【小問1詳解】四邊形CEDF是正方形，理由如下，

???四邊形ABC。是正方形，.?.ACJ_8D,BO=CO=DO,BC=CD，/BCD=90。，

???將ZXBFC繞點、C按順時針方向旋轉一定角度得到ADEC,

.-.CO=CE,BO=DE,：.CO=DO=CE=DE,；.四邊形CODE是菱形,

又?.?AC人BO,...四邊形CODE是正方形，即四邊形CEDE是正方形，.?.￡：/=QOE；

【小問2詳解】EO-FO=6DE，理由如下：

如圖2，延長所至“，使EO=HO,連接8H，

:EO=HO,/DOE=/BOH，DO=BO,

:.ADOE經ROH(SAS),：.DE=BH,:.ZBHF=ZBFH，

???將4BFC繞點C按順時針方向旋轉一定角度得到ADEC,

:.FC=CE,NECF=90°=NBCD，BF=DE-..NCEE=45。，BH=BF=DE，

ZBFC=90°.ZBFH=1800-ZCFE-ZBFC=45°=ZBHF，

:./HBF=9QP,HF=y/2BH.:.HF=OH—OF=OE—OF=^DE，

即：OE-OF=6DE；

圖2

【小問3詳解】OE+OF=6DE，理由如卜，

如圖3,過點。作NEDH=120°,交EF的延長線于點“，連接AH，并延長交EC的延長線于點

G，DPA.EH于點P，???將ABFC繞,點、C按順時針方向旋轉60°得至UADEC,

:.CE=CF,ED=BF，NECF=/BCD=60°,/BFC=QEC=9伊,

.-.△BCD,MEF都是等邊三.角形，：.NCFE=NCEF=60°，NDCH=/DEC-NCEF=30°，

-.?ZHZ)E=120°.：.ZDHE=3Q°=ZDEH,：.DE=DH,

義?.DPLEH，4DEP=3V,:.HP=PE=SDP，DE=2DP，:.HE=6DE，

???四邊形ABC。是菱形，ZBCD=60。，：.AD=CD，ZADC=120°=ZEDH,AO=CO,

:.ZADH=NCDE,.?.△AD"ACDE(SAS),