2020年人教版高中數(shù)學必修五全冊教案

2020年人教版高中數(shù)學必修五全冊精品教

案（精華版）

課題：§i.i.1正弦定理

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定

理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三

角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形

中，邊與其對角的關(guān)系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到

一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的

運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過

三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之

間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學重點

正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

?教學難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

?教學過程

I.課題導入

如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及NB,使邊AC繞及夕

思考：ZC的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角/C的大小的增大而增大J能否

用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？

CB

II.講授新課

［探索研究］

(01.1-1)

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角

三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1.1-2,在RtAABC中，設(shè)

BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定夫有晟=sin/,

—=sinB，又sC==—,

cc

A

則上=工===。b

sin力sin5sinC

C

口

從而在直角三角形ABC中，ca

sin/4sin?sine

B

圖1.1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立?

(由學生討論、分析)

2

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當AABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD,

a

從而a_bA

sin4sidsinC

cB

(01.1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而

可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作,C

由向量的加法可得AB=AC+CB

貝！Jj-AB=j.（AC+-----------------'A

B

j-AB^j-AC+j-CBj

|j||AB|cos（900-/l）=0+|j||CB|cos（900-C）

l

csinA=asinC，即—rT-C?

sinAsinC

同理，過點C作兒BC,可得芻=$

sinBsinC

從而—^―=—^―=—^—

sin力sin8sin。

類似可推出，當AABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學

3

生課后自己推導)

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，

即

a_b_c

sin/4sin8sinC

［理解定理］

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比

例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a=4sin/l,b=ksinB,c=ksinC;

(2)。=上=3等價于上，上，3=3

sin力sinBsin。sin/sinBsinCsinBsin/sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如。=竺粵；

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，

如sin/=gsin6。

b

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作

解三角形。

［例題分析］

例1.在AABC中，已知A=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-(A+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°;

根據(jù)正弦定理,

4

asinfi42.9sin81.8°

b=?80.l(cm);

sinA-sin32.0°

根據(jù)正弦定理,

asinC42.9sin66.2°

c=?74.1(cw?).

sin4-sin32.0°

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2.在AABC中，已知a=20cm,6=28CID,A=40。，解三角形(角

度精確到1。，邊長精確到1cm)。

解：根據(jù)正弦定理,

加inA28sin400

sinB=00.8999.

20

因為0°<8<180°,所以8=64°,或尾116".

⑴當於64。時,

C=180°-(A+8)引80°-(40°+64°)=76°,

asinC20sin760

c=?3(Xcvn).

sinA-sin40°

⑵當除116°時,

C=180°80°-(40°+116°)=24°,

sinAsin40°

評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的

情形。

m.課堂練習

第5頁練習第1(1)、2(1)題。

［補充練習］已知AABC中9sin卜：sin5:sinC=l:2:3，求

(答案：1：2：3)

W,課時小結(jié)(由學生歸納總結(jié))

5

(1)定理的表示形式：」=工=1=——空"——=k(k>0);

sinJsinBsinCsin/+sin夕+sin。')

或a=4sin/,b=ksinB9c=ksinC(A>0)

(2)正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

V.課后作業(yè)

第10頁[習題1.1]A組第1(1)、2(1)題。

?板書設(shè)計

?授后記

課題：§1.1.2余弦定理

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方

6

法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐

演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的

運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系,

來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

?教學重點

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

?教學難點

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

?教學過程

I.課題導入

C

已知a,b和/C,求邊Cb

Ac

B

圖1.1-4)

II.講授新課

7

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

|c|二c-c=卜_6)1_6)

=a?a+b?b-2a?bCa

=|c?|+|/?|-2a-b

B

從而c2,=a1-\-bz-2abcosC(圖1.1-5)

同理可證/=加+/_2bccosA

b2=++/-2accos5

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減

去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即

a2=Z?2+C2-2Z?CCOS/4

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+Z72-2abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以

求出第四個量，能否由三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論:

b2+c2-a2

cosA=

-2bc-

a2+c2-b2

cos8=

lac

8

h2+a2-c2

-2^-

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦

定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理

之間的關(guān)系？

(由學生總結(jié))若AABC中，C=90°,則cosC=0,這時02=/+//

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

［例題分析］

例1.在2kABC中，已知”=26，c=V6+V2,8=60。，求b及A

⑴解:*.*b2=a2+c2-2accosB

=(2X/3)2+(^+V2)2-2-2X/3-(V6+X/2)COS45°

=12+(X/6+N/2)2-4A/3(>/3+1)

=8

:.b=2?

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

4_k+。2_/_(2啦y+(次十無廣0百戶」

⑵解法一:C°SA=觀=-2x272x(76+72)立

A=60°.

解法二：TsinA號但翁in45。,

又?:V6+V2>2.4+14=3.8,

9

273<2x1.8=3.6,

o<c,即00<A<90。，

.JA=60°.

評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

例2.在△ABC中，已知a=134.6cm,b=S7.8cm,c=161.7cm,解三角形

(見課本第8頁例4,可由學生通過閱讀進行理解)

解：由余弦定理的推論得:

b2+c2-a2

COSA=-2^-

222

=87.8+161.7-134.6

=~2x87.8x161.7

*0.5543,

AR56°20';

cos8=包*

2ca

222

=134.6+161.7-87.8

=~2x134.6x161.7

合0.8398

B?32°53,;

C=180°-(A+B)?l80°-(56020,+32053,)

m.課堂練習

第8頁練習第1(1)、2(1)題。

［補充練習］在AABC中，若/=62+/+歷，求角A(答案:A=120°)

IV.課時小結(jié)

(1)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是

余弦定理的特例；

(2)余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及

10

它們的夾角，求第三邊。

V.課后作業(yè)

①課后閱讀：課本第9頁［探究與發(fā)現(xiàn)］

②課時作業(yè)：第11頁［習題1.1”組第3(1),4(1)題。

?板書設(shè)計

?授后記

II

課題：§1.1.3解三角形的進一步討論

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形

時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角

形面積定理的應(yīng)用。

過程與方法：通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜

合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問

題。

情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三

角形的有關(guān)性質(zhì)和三角函數(shù)的關(guān)系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一

定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)

系。

?教學重點

在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時.，有兩解或一解或

無解等情形；

三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用。

?教學難點

正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運用。

?教學過程

I.課題導入

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［創(chuàng)設(shè)情景］

思考：在AABC中，已知a=22ow,6=2漱，4=133。，解三角形。

(由學生閱讀課本第9頁解答過程)

從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角

解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這

種情形下解三角形的問題。

II.講授新課

［探索研究］

例1.在AABC中，已知a,ZU，討論三角形解的情況

分析：先由sin人絲辿可進一步求出B;

a

貝！J6=180。-(4+6)

從而c=asi：C

1.當A為鈍角或直角時，必須a>6才能有且只有一解；否則無解。

2.當A為銳角時，

如果a26,那么只有一解；

如果a<6,那么可以分下面三種情況來討論：

(1)若a>6sin/,則有兩解；

(2)若a=6sin/,則只有一解；

(3)若a<8sin/,則無解。

(以上解答過程詳見課本第910頁)

評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形

時，只有當A為銳角且

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6sin/<a<Z?時、有兩解；其它情況時則只有一解或無解。

[隨堂練習1]

(1)在AABC中,已知a=80,6=100,乙4=45。，試判斷此三角形的解

的情況。

(2)在AABC中，若a=l,NC=40。，則符合題意的b的值有

個。

(3)在AABC中，a=xcm,b=2cm,Z.B=45",如果利用正弦定理解三

角形有兩解，求X的取值范圍。

(答案:(1)有兩解；(2)0；(3)2<x<2血)

例2.在AABC中，已知a=7,8=5,c=3,判斷AABC的類型。

分析：由余弦定理可知

a?=〃+/o4是直角。MBC是直角三角形

a?>〃+/。力是鈍角=AABC是鈍角三角形

a?cZ^+c?=/是銳角與AABC是銳角三角形

(注意：/是銳角%AABC是銳角三角形)

解:72>52+32,^a2>b2+c2,

，AABC是鈍角三角形。

[隨堂練習2]

(1)在AABC中，已知sinZ:sin6:sinC=l:2:3,判斷AABC的類型。

(2)已知△ABC滿足條件acos4=Z?cosZ?,判斷AABC的類型。

(答案：(1)MBC是鈍角三角形；(2)aABC是等腰或直角三角形)

例3.在AABC中，力=60。，b=l,面積為半，求.「十"°.八的值

2sinJ+sinZ?-FsinC

分析：可禾I」用三角形面積定理S='|absinC=；acsin8=t/?csin/以及

正弦定理

14

a_b_c_a+6+c

sin/sin8sinCsinJ+sin5+sinC

解：由S=；6csin4='^得c=2,

貝lja2=Z?2+c2-2bccosA=3,即"囪，

從而一生過一=q=2

sin力+sin8+sinCsin/

m.課堂練習

(1)在AABC中，若a=55,6=16,且此三角形的面積S=220囪，求角

C

(2)在MBC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積5=匕"，

4

求角C

(答案：(1)60°或120°;(2)45°)

IV.課時小結(jié)

(1)在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或

一解或無解等情形；

(2)三角形各種類型的判定方法；

(3)三角形面積定理的應(yīng)用。

V.課后作業(yè)

(1)在AABC中，已知6=4,c=10,6=30。，試判斷此三角形的解的

情況。

(2)設(shè)X、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)X的取值范圍。

(3)在AABC中，4=60。，a=l,b+c=2,判斷AABC的形狀。

(4)三角形的兩邊分別為3cm,5cm,它們所夾的角的余弦為方程

15

5*2-7犬-6=0的根，

求這個三角形的面積。

?板書設(shè)計

?授后記

16

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

第一課時

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有

關(guān)測量距離的實際問題，了解常用的測量相關(guān)術(shù)語

過程與方法：首先通過巧妙的設(shè)疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)

17

課做良好鋪墊。其次結(jié)合學生的實際情況，采用”提出問題一一引發(fā)

思考一一探索猜想一一總結(jié)規(guī)律一一反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大

綱要求以及教學內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計變式，同時通

過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決

實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思

路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正

情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應(yīng)用價

值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決

數(shù)學問題的能力

?教學重點

實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實

際問題的解

?教學難點

根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖

?教學過程

I.課題導入

1、［復習舊知］

復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型

的三角形？

2、［設(shè)置情境］

請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們

遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”

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在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什

么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高

度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、

相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在

實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠

的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限

性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開

始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何

測量距離。

n.講授新課

（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確

做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知

的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解

［例題講解］

（2）例1、如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的

距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的

距離是55m,ZBAC=51°,NACB=75。。求A、B兩點的距離（精確到0.Im）

B

圖L2-1

19

啟發(fā)提問1：AABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理

比較適當？

啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。

分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間

的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)

三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應(yīng)用正

弦定理算出AB邊。

解：根據(jù)正弦定理，得

AB=AC

sinZACBsinZ.ABC

AB=ACsinZACB

sinZABC

二55sinZ4CB

sinZABC

=55sin75°

sin(1800-51o-75°)

二55sin75°

sin540

心65.7(m)

答:A、B兩點間的距離為65.7米

變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A

在觀察站C的北偏東30。，燈塔B在觀察站C南偏東60。,則A、B之

間的距離為多少？

老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。

解略：V2akm

例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，設(shè)計一種測量A、

B兩點間距離的方法。

20

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測

量問題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定c、D兩點。根據(jù)正弦

定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分

別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離。

圖1.2-2

解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D,測得CD=a,并且在C、D兩

點分別測得NBCA=a,

ZACD=/j,ZCDB=Z,ZBDA=S,在AADC和^BDC中，應(yīng)用正弦

定理得

AC=4sin(y+b)—〃sin(y+b)

sin[1800_(1+y+創(chuàng)sin(4+,+5)

BC=〃sin.—t?sin/

sin[180°-(a+^+x)]sin(cr+0+y)

計算出AC和BC后，再在AABC中，應(yīng)用余弦定理計算出AB兩點

間的距離

AB=JAC?+BC?-2ACxBCcosc

分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分

析。

變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得NBCA=6(T,

ZACD=30°,ZCDB=45=,ZBDA=60°

21

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20幾

評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解

決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的

還是分析兩個定理的特點，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計算方式。

學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例

子。

m.課堂練習

課本第14頁練習第1、2題

IV.課時小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中

在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學

模型的解

(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問

題的解

V.課后作業(yè)

課本第22頁第1、2、3題

?板書設(shè)計

?授后記

22

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

第二課時

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有

關(guān)底部不可到達的物體高度測量的問題

過程與方法：本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的

方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐

步構(gòu)建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三

角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導一討論一歸納，目

的不在于讓學生記住結(jié)論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作

業(yè)設(shè)計思考題，提供學生更廣闊的思考空間

情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應(yīng)用數(shù)學的意識及觀

察、歸納、類比、概括的能力

?教學重點

結(jié)合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題

?教學難點

能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關(guān)鍵條件

?教學過程

I.課題導入

23

提問：現(xiàn)實生活中，人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？

又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今?/p>

我們就來共同探討這方面的問題

II.講授新課

［范例講解］

例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)

計一種測量建筑物高度AB的方法。

A

圖1.2-4

分析：求AB長的關(guān)鍵是先求AE,在AACE中，如能求出C點到建筑

物頂部A的距離CA,再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE

的長。

解：選擇一條水平基線HG,使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、

G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是°、尸，CD=a,測角儀器的

高是h,那么，在AACD中，根據(jù)正弦定理可得

AC=-sin-

sin(a-P)

AB=AE+h

-ACsina+h

二?sinasinp+h

sin（a一夕）

24

例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角“=54。40，，

在塔底C處測得A處的俯角尸=50°ro已知鐵塔BC部分的高為27.3m,

求出山高CD（精確到1m）

圖1.2-5

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思

考）若在AABD中求CD,則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？

生：需求出BD邊。

師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)/BAD=a求得。

解:在AABC中，NBCA=90°+?,/ABC=90；a,/BAC=c-p,zBAD

=。.根據(jù)正弦定理，

BC_AB

sin（a-Q）sin（90°+夕）

所以AB=BCsin（90'+-）=BC8ss

sin（a-夕）sin（a-夕）

解RtAABD中，得BD=ABsinzBAD=fiCcos^sina

sin（a-/?）

將測量數(shù)據(jù)代入上式,得

25

27.3cos50'l'sin54''40'

sin(5440,-50°l,)

_27.3cos50°l,sin54°40,

sin4°39'

-177(m)

CD=BD-BC^177-27.3=150(m)

答：山的高度約為150米.

師：有沒有別的解法呢？

生：若在AACD中求CD,可先求出AC。

師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC?

生：同理，在AABC中，根據(jù)正弦定理求得。(解題過程略)

例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得

公路南側(cè)遠處一山頂D在東偏南15。的方向上,行駛5km后到達B處,

測得此山頂在東偏南25’的方向上,仰角為8°,求此山的高度CD.

圖1.2-6

師：欲求出CD,大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？

生：在ABCD中

師：在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件，易計算出哪條

邊的長？

生：BC邊

26

解:在AABC中,zA=15°,zC=25°-15°=10°,根據(jù)正弦定理,

BC=AB

sinAsinC'

Be-ABsinA_5sin15

sinCsin10

%7.4524(km)

CD=BCxtanzDBC^BCxtan8°^1047(m)

答：山的高度約為1047米

m.課堂練習

課本第17頁練習第1、2、3題

IV.課時小結(jié)

利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方

位圖，要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適

當?shù)暮喕?/p>

V.課后作業(yè)

1、課本第23頁練習第6、7、8題

2、為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測

得塔頂A的仰角為30°,測得塔基B的俯角為45°,則塔AB的高

度為多少m?

答案：20+型四(m)

3

?板書設(shè)計

?授后記

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

第三課時

27

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有

關(guān)計算角度的實際問題

過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對

解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過綜合訓練強化學生的相應(yīng)能力。

除了安排課本上的例1,還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的

2道例題，強調(diào)知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生

的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積

極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，

舉一反三。

情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問

題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。

?教學重點

能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關(guān)系

?教學難點

靈活運用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問題

?教學過程

I.課題導入

［創(chuàng)設(shè)情境］

提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉(zhuǎn)化已

知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中，

28

人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方

向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問

題。

II.講授新課

［范例講解］

例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75。的方向航行67.5nmile

后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32。的方向航行54.0nmile

后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應(yīng)該沿怎樣的

方向航行，需要航行多少距離？（角度精確到0.1。，距離精確到O.Oln

mile）

圖1.2-7

學生看圖思考并講述解題思路

教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出

AC邊所對的角/ABC,即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算

出AC邊和AB邊的夾角zCABo

解:在AABC中，zABC=180--75°+32°=137°,根據(jù)余弦定理,

AC=A/AB2+BC2-2ABXBCXcosZABC

=^67.52+54.02-2x67.5x54.0xcos137"

^113.15

29

根據(jù)正弦定理，

BC=AC

sinZCABsinZABC

SinzCAB=BCsinZA4c

AC

-54.0sinl37°

113.15

-0.3255,

所以zCAB=19.0°,

750-zCAB=56.0°

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1°的方向航行，需要航行113.15nmile

例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為e,沿BE方向前

進30m,至點C處測得頂端A的仰角為2e,再繼續(xù)前進10后m至D

點，測得頂端A的仰角為46,求。的大小和建筑物AE的高。

師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。

生：上臺板演方位圖（上圖）

教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位

同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在AACD中，

AC=BC=30,

AD=DC=10V3,

ZADC=180°—4e,

30

.10石=30。

-sin2-sin(180°-46>)0

因為sin4e=2sin2ecos2e

cos2e=且，得2e=30°

2

0=15°,

.?.在RtAADE中,AE=ADsin600=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

解法二：(設(shè)方程來求解)設(shè)DE=x,AE=h

在RtAACE中，(10V3+x)2+h2=302

在RQADE中,x2+h2=(10⑸2

兩式相減，得x=56，h=15

.?.在RtAACE中，tan2e=T—=—

10V3+X3

.-.20=30°,0=15°

答：所求角6為15°,建筑物高度為15m

解法三：(用倍角公式求解)設(shè)建筑物高為AE=8,由題意，得

/BAC=e,/CAD=2e,

AC=BC=30m,AD=CD=10V3m

在Rt△ACE中，sin2eX

30

--------①

在RtAADE中，sin4o=4

I0A/3

--------②

②+①得cos2=—,2=30°,。=15°,

2

31

AE=ADsin600=15

答：所求角。為15°,建筑物高度為15m

例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45。相距9海里的C處有一艘走私

船，正沿南偏東75。的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡

邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿

什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？

師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參

變量。

解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，

則CB=10x,AB=14x,AC=9,

ZACB=750+45O=120°

(14x)2=92+(lOx)2-2x9xlOxcos1200

二化簡得32x2-30x_27=0,即x=』，或x=_—(舍去)

216

所以BC=lOx=15,AB=14x=21,

又因為sin/BAC=^sinl2O0=15xV3=573

AB21214

/.ZBAC=38°⑶，或NBAC=141。47,(鈍角不合題意,舍去),

.?.38°13'+45。=83°13'

32

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83013,方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該

走私船.

評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，

但作為有關(guān)現(xiàn)實生活的應(yīng)用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際

意義，從而得出實際問題的解

m.課堂練習

課本第18頁練習

IV.課時小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知

量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）

已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三

角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。

V.課后作業(yè)

1、課本第23頁練習第9、10、11題

2、我艦在敵島A南偏西5（）。相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北

偏西1（）。的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿

什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示）

?板書設(shè)計

?授后記

33

課題：§2.2解三角形應(yīng)用舉例

授課類型：新授課

?教學目標

知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決

有關(guān)三角形的問題，掌握三角形的面積公式的簡單推導和應(yīng)用

過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導學

生證明，同時總結(jié)出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關(guān)的題

型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放

手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理

的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點,

就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。

情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理

的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在

探究中體驗愉悅的成功體驗

?教學重點

推導三角形的面積公式并解決簡單的相關(guān)題目

?教學難點

利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題

?教學過程

I.課題導入

［創(chuàng)設(shè)情境］

34

師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它

的另一個表達公式。在

△ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h“、3、h(.,那么它們

如何用已知邊和角表示？

生：ha=bsinC=csinB

h&=csinA=asinC

hf=asinB=bsinaA

師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S='ah,應(yīng)用以上求出的高的公

2

式如h,f=bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，

S=labsinC,大家能推出其它的幾個公式嗎？

2

生：同理可得，S=-bcsinA,S=-acsinB

22

師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些

條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解

II.講授新課

［范例講解］

例1、在AABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積例精確到0.1cm2)

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;

(3)已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角

形問題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識，觀察已知

35

什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。

解:(1)應(yīng)用S=，acsinB,得

2

S=-X14.8x23.5xsinl48.5°心90.9(cm2)

2

(2)根據(jù)正弦定理，

h

sinBsinC

C—hsinC

sin8

S=-bcsinA=-b2sinCshM

22sinB

A=1800-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°

c1csin65.8°sin51.50入門(

S=-x3.162X---------------^4.0(cm2)

2sin62.7

⑶根據(jù)余弦定理的推論，得

_38.7?+41.42-27.32

2x38.7x41.4

^0.7697

sinB=71-cos2BV1-0.76972^0.6384

應(yīng)用S=-acsinB,得

2

S^1x41.4x38.7x0.6384^511.4(cm2)

2

例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個三角形的區(qū)域改造

成室內(nèi)公園，經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為

68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？(精確到0.1cm2)?

師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的

面積公式求解。

36

由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結(jié)。

解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論,

cosB=l+a2、2

2ca

1272+682-882口.

2x127x68

sinB=7i-0.75322?0.6578

應(yīng)用S=-acsinB

2

S^1x68x127x0.6578^2840.38(m2)

2

答:這個區(qū)域的面積是2840.38m2o

例3、在AABC中，求證:

122

(1)a+b~sin/I+sinB

sin2C

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左

右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明

證明：(1)根據(jù)正弦定理，可設(shè)

a—b—=k

sinAsinBsinC

顯然k*0,所以

222222

左邊=a+hksinA+ksinB

「一

=sin2A+sin2B=右邊

sin2c

(2)根據(jù)余弦定理的推論,

22

右邊=2(bc=^+cac口+ab"f-