2019年山東單招理科模擬考試試題(一)-數(shù)學(xué)

2019年山東單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）【含答案】

一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的）

1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},則（［UA）CB=（）

A.{2}B.{4,6}C.{1,3,5}D.{4,6,7,8}

2-bi

2.若復(fù)數(shù)l+2i（bCR,i為虛數(shù)單位）的實部和虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)b為（）

2_2

A,-2B.2C.3D.3

%》一］

<x-y+3>0

3.設(shè)變量x,y滿足約束條件12x+y-3<0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+3y的最大值為（）

A.0B.6C.9D.12

4.圖1是某學(xué)習(xí)小組學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖，1號到16號同學(xué)的成績依次是Al,A2,…，A16,圖2

是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)的學(xué)生情況的程序框圖，那么該程序框圖輸出的結(jié)果是（）

769

8I3

929

103I

II4

圖I

A.6B.7C.10D.16

5.已知命題"p：2xOwR,|xO+11+1xO-21Wa”是真命題，則實數(shù)a的最小值為()

A.5B.4C.3D.2

6.已知在菱形ABCD中，對角線BD=4,E為AD的中點，則BE?BEt()

A.12B.14C.10D.8

7.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x卻時，f(x)=log3(x+1)+a,則f(-8)等于()

A.-3-aB.3+aC.-2D.2

8.某班有6位學(xué)生與班主任老師畢業(yè)前夕留影，要求班主任站在正中間且女生甲、乙不相鄰，則排法的種

數(shù)為()

A.96B.432C.480D.528

/兀

ZFiPF

9.已知Fl,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且123,則橢圓和雙

曲線離心率倒數(shù)之和的最大值為()

14V3W6

A.3B.3C.4D.3

10.已知點M5,m2),N(n,n2),其中m,n是關(guān)于x的方程sin0?x2+cos。?x-1=0(0ER)的兩

個不等實根.若圓0：x2+y2=l上的點到直線MN的最大距離為d,且正實數(shù)a,b,c滿足abc+b2+c2=4d,

則Iog4a+log2b+log2c的最大值是()

5_3_

A.2B.4C.2V2D.2

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分

Jlogl(x-1)

11.函數(shù)y=1x1-2的定義域為

1

y=-

12.已知曲線X與直線x=l,x=3,y=0圍成的封閉區(qū)域為A,直線x=l,x=3,y=0,y=l圍成的封閉區(qū)

域為B,在區(qū)域B內(nèi)任取一點P,該點P落在區(qū)域A的概率為一.

_2兀

13.已知AABC中，邊a,b,c的對角分另1J為A,B,C,且2=&,c=&，C=3，貝UZXABC的面積S=

14.棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個球面上，其中PA_L平面ABC,△ABC是正三角形，PA=2BC=4,則該

球的表面積為

15.若函數(shù)y=f(x)的定義域D中恰好存在n個值xl,x2,…，xn滿足f(-xi)=f(xi)(i=l,2,

n),則稱函數(shù)y=f(x)為定義域D上的“n度局部偶函數(shù)”.已知函數(shù)g(x)=

fJT

sin(虧x)-l,x<0

,logaX(a>0,a^l).x>0是定義域(_8,o)u(0,+8)上的“3度局部偶函數(shù)”，則a

的取值范圍是

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(12分)已知n二(coswx,V3cos(3x+n))，D二(sinsx,coscox),其中3>0,f(x)=IT

71

?n且f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為2.

aV3.

(I)若f(2)=-4,ae(0,2),求cosa的值;

71

(H)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后向左平移6個單位,

得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

17.(12分)一箱中放了8個形狀完全相同的小球，其中2個紅球，n(2WnW4)個黑球，其余的是白球,

1

從中任意摸取2個小球，兩球顏色相同的概率是4.

(I)求n的值；

(II)現(xiàn)從中不放回地任意摸取一個球，若摸到紅球或者黑球則結(jié)束摸球，用2表示摸球次數(shù)，求隨機變

量g的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.(12分)已知四邊形ABCD為梯形，AB〃DC,對角線AC,BD交于點0,CE_L平面ABCD,CE=AD=DC=BC=1,

--?—1■'?

ZABC=60",F為線段BE上的點，EF=3EB.

(I)證明：0F〃平面CED；

(II)求平面ADF與平面BCE所成二面角的余弦值.

19.(12分)已知數(shù)列｛an｝滿足al=l,a2=3,an+2=(2+cosn萬)(an+1)-3(neN*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式:

1Ogq

,3n,n=2k(kfN*)

<n'(n+2)

⑵令bnJan'n-2k-l(kEN),Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項和，求Tn.

20.(13分)已知函數(shù)f(x)=x2-21nx-2ax(aGR).

(1)當(dāng)a=0時，求函數(shù)f(x)的極值：

(2)當(dāng)x￡(1,+8)時，試討論關(guān)于x的方程f(x)+ax2=0實數(shù)根的個數(shù).

21.(14分)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點是F,點D(1,y0)是拋物線上的點，且|DF|=2.

(I)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

.—?

(H)過定點M(m,0)(m>0)的直線與拋物線C交于A,B兩點，與y軸交于點N,且滿足：NA=XAM.

MUBM.

P

(i)當(dāng)m=2時，求證：入+u為定值；

(ii)若點R是直線1：x=-m上任意一點，三條直線AR,BR,MR的斜率分別為kAR,kBR,kMR,問是否

存在常數(shù)I,使得.kAR+kBR=t?kMR.恒成立？若存在求出t的值；若不存在，請說明理由.

2019年山東單招理科數(shù)學(xué)模擬試題(-)參考答案

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的)

1.設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8),集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},則([UA)CB=()

A.{2}B.(4,6}C.(1,3,5}D.{4,6,7,8)

【考點】1H：交、并、補集的混合運算.

【分析】由全集U={1,2,3,4,5,6,7,8),集合A={L2；3,5},B={2,4,6),知CUA={4,6,7,

8),由此能求出(CuA)AB.

【解答】解：???全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},

集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},

I.CUA={4,6,7,8),

A(CuA)CB={4,6}.

故選B.

【點評】本題考杳交、并、補集的混合運算，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行

等價轉(zhuǎn)化.

2-bi

2.若復(fù)數(shù)l+2i(bdR,i為虛數(shù)單位)的實部和虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)b為()

2_2

A.-2B.2C.3D.3

【考點】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部和虛部互為相反數(shù)列式求解.

2-bi(2-bi)(l-2i)二(2-2b)-(4+b)i

【解答】解：..T+2i=(l+2i)(l-2i)-5的實部和虛部互為相反數(shù),

2

；.2-2b=4+b,得b=-3.

故選：D.

【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

<x-y+3^0

3.設(shè)變量x,y滿足約束條件l2x+y-340,則目標(biāo)函數(shù)z=x+3y的最大值為()

A.0B.6C.9D.12

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x+3y過點P(0,3)時,

z最大值即可.

'X)-1

,x-y+3》0

【解答】解：作出約束條件l2x+y-340的可行域如圖，

1_1

由z=x+3y知，y=-3x+3z,

111

所以動直線y=-3x+3z的縱截距3z取得最大值時，

目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

fx-y+3=0

由12x+y-3=0得p（o,3）.

結(jié)合可行域可知當(dāng)動直線經(jīng)過點P（0,3）時,

目標(biāo)函數(shù)取得最大值z=0+3X3=9.

【點評】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于中檔題.

4.圖1是某學(xué)習(xí)小組學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的莖葉圖，1號到16號同學(xué)的成績依次是Al,A2,--,A16,圖2

是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)的學(xué)生情況的程序框圖，那么該程序框圖輸出的結(jié)果是（）

［開始］

圖2

A.6B.7C.10D.16

【考點】EF：程序框圖.

【分析】模擬執(zhí)行算法流程圖可知其統(tǒng)計的是數(shù)學(xué)成績大于等于90的人數(shù)，由莖葉圖知：數(shù)學(xué)成績大于等

于90的人數(shù)為10,從而得解.

【解答】解：由算法流程圖可知，其統(tǒng)計的是數(shù)學(xué)成績大于等于90的人數(shù)，

所以由莖葉圖知：數(shù)學(xué)成績大于等于90的人數(shù)為10,

因此輸出結(jié)果為10.

故選：C.

【點評】本題考查學(xué)生對莖葉圖的認識，通過統(tǒng)計學(xué)知識考查程序流程圖的認識，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知命題“p：9xOER,|xO+l|+lxO-2|Wa”是真命題，則實數(shù)a的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【考點】21：特稱命題.

【分析】根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，利用特稱命題為真命題.，建立不等式關(guān)系進行求解即可.

【解答】解：V|xO+11+ixO-21>|xO+1-xO+21=3.

.■?若命題"p：3xOGR,|xO+11+1xO-21Wa”是真命題，

則a23,

即實數(shù)a的最小值為3,

故選：c.

【點評】本題主要考查命題的真假的應(yīng)用，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)以及特稱命題的性質(zhì)是解決本題的關(guān)

鍵.

6.已知在菱形ABCD中，對角線BD=4,E為AD的中點，則BD=()

A.12B.14C.10D.8

【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算.

BE=BD+DE=BD-H-(DB+CA)

【分析】可作出圖形，根據(jù)向量加法和數(shù)乘的幾何意義可以得出4,這

BE^TBD+4-CA

樣進行向量的數(shù)乘運算便可得出44,且瓦?而=0,IBD|=4,從而帶入BE,BDa行

向量數(shù)量積的運算便可求出BE?麗的值.

【解答】解:如圖,

根據(jù)條件:

BE-BD=(BD+DE)?BD

(BDiyDA)'BD

[BD+y(DB+H)]-BD

號而弓?以)?麗

yBD2+yCA-ro

3

7-X16+0

二4

=12.

故選A.

【點評】考查向量加法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及菱

形對角線互相垂直，向量垂直的充要條件.

7.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x20時，f(x)=log3(x+l)+a,則￡(-8)等于()

A.-3-aB.3+aC.-2D.2

【考點】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的結(jié)論f(0)二0求出a,再由對數(shù)的運算得出結(jié)論.

【解答】解：???函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，???f(0)=a=0,

f(-8)二?f(8)二?log3(8+1)=-2.

故選：C.

【點評】本題考查r對數(shù)的運算，以及奇函數(shù)的結(jié)論、關(guān)系式得應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.某班有6位學(xué)生與班主任老師畢業(yè)前夕留影，要求班主任站在正中間且女生甲、乙不相鄰，則排法的種

數(shù)為（）

A.96B.432C.480D.528

【考點】D3：計數(shù)原理的應(yīng)用.

【分析】利用間接法，求出班主任站在正中間的所有情況；班主任站在正中間且女生甲、乙相鄰的情況，

即可得出結(jié)論.

【解答】解：班主任站在正中間，有A66=720種；

班主任站在正中間且女生甲、乙相鄰，有4A22A44=192種；

.??班主任站在正中間且女生甲、乙不相鄰，排法的種數(shù)為720-192=528種.

故選：D.

【點評】本題考查計數(shù)原理的運用，考查排列知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

,71

9.已知Fl,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且ZFj1PFN2=-3^-,則橢圓和雙

曲線離心率倒數(shù)之和的最大值為（）

&473476

A.3B.3C.4D.3

【考點】KI：圓錐曲線的綜合.

【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)橢圓的長半軸為a,雙曲線的實半軸為al,（a>al）,半焦距為c,

由橢圓和雙曲線的定義可■知,

設(shè)|PFl|=rl,|PF2|=r2,|FlF2i=2c,

橢圓和雙曲線的離心率分別為el,e2

兀71

VZF1PF2=3,則由余弦定理可得4c2=(rl)2+(r2)2-2rlr2cos3,①

在橢圓中，①化簡為即4c2=4a2-3rlr2…②，

在雙曲線中，①化簡為即4c2=4al2+rlr2…③，

1___3_

~2-2

el-e2=4,

1

eeee

由柯西不等式得(1+3)(l+2)=(l+2xV3)2

J-J-W3

ee

.-.l+2?3

故選：B.

【點評】本題主要考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，利用余弦定理和柯西不等式是解決本題的關(guān)鍵.屬于

難題.

10.已知點M(m,m2),N(n,n2),其中m,n是關(guān)于x的方程sin0*x2+cos0?x-1=0(0WR)的兩

個不等實根.若圓0：x2+y2=l上的點到直線MN的最大距離為d,且正實數(shù)a,b,c滿足abc+b2+c2=4d,

則Iog4a+log2b+log2c的最大值是()

5_3_

A.2B.4C.2>/2D.2

【考點】7F：基本不等式.

-cos8

【分析】m,n是關(guān)于x的方程sin0*x2+cos0*x-1=0(0gR)的兩個不等實根.可得m+n=sin8,

122

一］m-n

mn=sin9,由直線MN的方程為：y-m2:m—n(x-m),化簡代入可得：xcos0+ysin0-1=0.圓

0：x2+y2=l的圓心0(0,0)到直線MN的距離為1,可得圓0上的點到直線MN的最大距離為d=2,由正實

數(shù)a,b,c滿足abc+b2+c2=4d二8,利用基本不等式的性質(zhì)與對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出.

-cos8

【解答】解：Vm,n是關(guān)于x的方程sin。*x2+cos0*x-1=0(。WR)的兩個不等實根..,.m+n二sin8

一1

mn-sin0,

直線MN的方程為：y-m2=(x-m),化為：y=(m+n)x-mn,Axcos9+ysin0-1=0.

10+0-11

圓0：x2+y2=l的圓心0(0,0)到直線MN的距離Me。S28+sin28=1,

...圓0上的點到直線MN的最大距離為d=l+l=2,

，正實數(shù)a,b,c滿足abc+b2+c2=4d=8,

...82abc+2bc22'72ab2cI化為：ab2c2W8,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=&,a=2時取等號.

(22)——

則Iog4a+log2b+log2c=064CWlog48=2,其最大值是2.

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、點到直線的距離公式、

直線與圓的位置關(guān)系、對數(shù)的運算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分

log.（X-1）

V彳

11.函數(shù)y=lx|-2的定義域為（1,2）.

【考點】33：函數(shù)的定義域及其求法.

【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0,分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求得答案.

'|x|-2卉0

（logj（x-l）>0

【解答】解：要使原函數(shù)有意義，則I~2，解得l〈x<2.

log,(x-1)

V?

.?.函數(shù)丫=1x1-2的定義域為(1,2).

故答案為：（1,2）.

【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題.

1

y=—

12.已知曲線X與直線X=l,x=3,y=0圍成的封閉區(qū)域為A,直線x=l,x=3,y=0,y=l圍成的封閉區(qū)

ln3

域為B,在區(qū)域B內(nèi)任取一點P,該點P落在區(qū)域A的概率為2.

【考點】CF：幾何概型；67：定積分.

【分析】首先利用定積分求出封閉圖形A/B的面積，然后利用幾何概型的公式求概率.

J吐dx3

【解答】解：由題意A對應(yīng)區(qū)域的面積為lx=lnx|I=ln3,B的面積為2,由幾何概型的公式得到

ln3

所求概率為2；

ln3

故答案為：2.

【點評】本題考查了幾何概型的概率求法以及利用定積分求封閉圖形的面積：屬于中檔題.

2n_

13.已知aABC中，邊a,b,c的對角分別為A,B,C,且a=圾，c=%，C=3,則△ABC的面積S=

返

2.

【考點】HP：正弦定理.

asinC1

【分析】由已知及正弦定理可得sinA=C=2,又結(jié)合大邊對大角h]?得A為銳角，從而可求A,進而

利用三角形內(nèi)角和定理可求B,利用三角形面積公式即可得解.

2兀

【解答】解：ZXABC中，，：a=近,c=V6,C=3,

.「V2X除

asinC_____z_

二由正弦定理可得：sinA=C=V6=2,

又?.?a<c,A為銳角.

冗71

/.A=6,B=n-A-C=6,

.*.SAABC=2acsinB=22=2.

返

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)

用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

14.棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個球面上，其中PA_L平面ABC,△ABC是正三角形，PA=2BC=4,則該

112

球的表面積為3n.

【考點】LG：球的體積和表面積.

【分析】由題意把A、B、C、P擴展為三棱柱如圖，求出上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，

然后求出球的表面積.

【解答】解：由題意畫出幾何體的圖形如圖，

把A、B、C、P擴展為三棱柱，

上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，

PA=2BC=4,0E=2,ZiABC是正三角形，，AB=2,

AAE=3.

后亂停

(28112

所求球的表面積為：4n(N3")2=3n.

112

故答案為：3JT.

【點評】本題考查球的內(nèi)接體與球的關(guān)系，考查空間想象能力，利用割補法結(jié)合球內(nèi)接多面體的幾何特征

求出球的半徑是解題的關(guān)鍵.

15.若函數(shù)y=f(x)的定義域D中恰好存在n個值xl,x2,…，xn滿足f(-xi)=f(xi)(i=l,2,

n),則稱函數(shù)y=f(x)為定義域D上的“n度局部偶函數(shù)”.已知函數(shù)g(x)=

rTT

sin(-z*x)-l,x<CO

<乙

是定義域_上的度局部偶函數(shù)”，則

logax(a>0,x>0(0)0(0>+oo)“3a

11

的取值范圍是(4,2).

【考點】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)f(x)存在n個關(guān)于y軸對稱的點，作出函數(shù)關(guān)于y軸對稱的圖象，根據(jù)對稱

性建立不等式關(guān)系進行求解即可.

【解答】解：由“n度局部偶函數(shù)”的定義可知，

函數(shù)存在關(guān)于y對稱的點有n個，

7T

當(dāng)x<0時，函數(shù)g(x)=sin(2x)-1,

71

關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為y=sin(-2x)-1

n

=-sin(2x)-1,x>0,

n

作出函數(shù)g(x)和函數(shù)y=h(x)=-sin(2x)-1,

x>0的圖象如圖:

若g(x)是定義域為(-8,o)u(o,+8)上的“3度局部偶函數(shù)”，

7T

則等價為函數(shù)g(x)和函數(shù)k-sin(2x)-1,x>0的圖象有且只有3個交點,

若a>l,則兩個函數(shù)只有一個交點，不滿足條件;

<g(2)>h(2)

當(dāng)0<aVl時,則滿足|g⑷<h(4),

fO<a<l

'0<a<l

.log2>-1

即|1叭4<-111_

即4<a<2,

【點評】本題主要考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，根據(jù)條件得到函數(shù)對稱點的個數(shù)，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解

決本題的關(guān)鍵.綜合性較強，有一定的難度.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(12分)(2016?濟南二模)已知IT二(cosax,cos(GJx+n)),D=(sin^x,cosax),其

兀

—?----

中3>o,f(x)=ir-n,且f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為2.

_o_VI2L

(I)若f(2)=-4,ae(0,2),求cosa的值；

K

(U)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，然后向左平移6個單位,

得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【考點】HJ：函數(shù)y=Asin(<ox+<t>)的圖象變換；H5：正弦函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】(I)利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，化簡f(x)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖

象的對稱性求得3的值，得到f(x)的解析式，從而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角差的余弦公式，求

得cosa的值.

(II)根據(jù)y=Asin(3x+<t>)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【解答】解：f(x)=IT*D=sinwx,cos<ox+,'/3cos(wx+n)*cos<*>x

sin23xM人,c,、工

-----5------y-(l+cos2Wx)

=sinx*coswx-vOcoswx*coswx='_乙

兀返

=sin(2o>x-3)-2,

T7171

由于f(x)相鄰兩條對稱軸之間的距離為2=23=2,.?.3=1.

故f(x)=sin(2x-3)-2.

a2L亞返兀M

(I)Vf(2)=sin(a-3)-2=-4,Asin(a-3)=4.

兀

?.,aG(0,2),.?.3G(-3,b),.-.cos(a-3)=V3=4

7T7T7171兀兀

.*.cosa=cos[(a-3)+3]=cos3)cos3-sin(a-3)*sin3

V131V3V3/-3

----------■一■--------------------------

=42-42=8.

(ID將函數(shù)y二f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

兀返

可得y=sin(x-3)-2的圖象，

K7T7TM7T我

然后向左平移6個單位，得到函數(shù)y=g(X)=sin[(x+6)-3]-2=sin(x-6)-2的圖

象，

717r冗7T2冗

令2kn-2這X-6W2k“+2,求得2kn-3WxW2k"+3,

712兀

可得函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2k”-3,2kn+3],k￡Z.

【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角差的余弦公

式，y=Asin(<JX+4>)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

17.(12分)(2016?濟南二模)一箱中放了8個形狀完全相同的小球，其中2個紅球，n(2WnW4)個

黑球，其余的是白球，從中任意摸取2個小球，兩球顏色相同的概率是4.

(I)求n的值;

(II)現(xiàn)從中不放回地任意摸取一個球，若摸到紅球或者黑球則結(jié)束摸球，用€表示摸球次數(shù)，求隨機變

量&的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列：CH：離散型隨機變量的期望與方差.

【分析】(1)設(shè)“從箱中任意摸取兩個小球，兩球顏色相同”為事件A,由已知列出方程，由此能求出n.

(II)g的可能取值為1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出g的分布列及Eg.

【解答】解：(1)設(shè)“從箱中任意摸取兩個小球，兩球顏色相同”為事件A,

“C2十+c?2十+c%2―

'1

由題意P(A)1=4,

解得n=3.

(II)，的可能取值為1,2,3,4,

_5

P(€=1)=8,

3Vz515

p(g=2)=87=56,

WxZx區(qū)旦

p(€=3)=876=56,

3/乂1&1

XXX1

P(€=4)=ITT=56,

4的分布列為:

€1234

P_51551

565656

lx+2X+3X+4X

E,=ffiM

【點評】本題考查概率的求法及應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題

時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用.

18.(12分)(2016?濟南二模)已知四邊形ABCD為梯形，AB〃DC,對角線AC,BD交于點0,CE_L平面

.?—1——?

ABCD,CE=AD=DC=BC=1,ZABC=60°,F為線段BE上的點，EF=3EB.

(I)證明:OF〃平面CED；

(II)求平面ADF與平面BCE所成二面角的余弦值.

【考點】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定.

【分析】(I)由余弦定理，求出AC=J$.AB=2,從而OF〃DE,由此能證明OF〃平面CED.

(II)以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面ADF

與平面BCE所成二面角的余弦值.

一?.1.?

【解答】證明：(I),?,EF=3EB,.,.FB=2EF,

又梯形ABCD中，AD=DOBOl,ZABC=60°,

/.ZADC=120°,

2-

由余弦定理，得：AC=V12+12X1X1Xcosl200=V3,

AB2+＞一(付2

cos600=2xABXI，解得AB=2,

DO_DC1EF

VAB//DC,OBAB2FB,.,.OF//DE,

又OFG平面CDE,DEu平面CDE,

...OF〃平面CED.

(H)由(I)知AC=VS,AB=2,

又BCE,/.ZACB=90°,AACiBC,

...以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

M1

則A(Vs,0,0),B(0,1,0),E(0,0,1),D(2,-2,0),

―?-——.—?―?標(biāo)J■而r~~

AEL(-2,-2,o),AFAE+EF-3=(-V3,3,3),

設(shè)平面ADF的法向量。=(x,y,z),

ii?而總尸0

最正Zix號鴻Z=0取f得］（一丑2“）,

則

平面BCE的法向量IT=(1,0,0),

一一1-

二cos<m,n>=41+3+124,

1

...平面ADF與平面BCE所成銳二面角的余弦值為4,

1

平面ADF與平面BCE所成鈍二面角的余弦值為-4.

【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，注意向量法的合理運用.

19.(12分)(2016?濟南二模)己知數(shù)列｛an｝滿足al=l,a2=3,an+2=(2+cosnn)(an+1)-3(nGN*).

<1）求數(shù)列｛an｝的通項公式;

log3%

n=2k(k€N*)

*n2(n+2)

⑵令bn」an'"2k-l(k€N),Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項和，求Tn.

【考點】8E：數(shù)列的求和;8H：數(shù)列遞推式.

【分析】(1)an+2=(2+cosnn)(an+1)-3,n￡N*.當(dāng)n=2k-l時，an+2=an-2,，｛a2k-1)是等差

數(shù)列，首項為1,公差為-2.當(dāng)n=2k時，an+2=3an,可得｛a2k｝是等比數(shù)列，首項為3,公比為3,即可

得出.

1Og3on

9,n=2k(k€N*)

n'(n+2)

an-n=2k-l(kCN*),『2k(kGN*)時，bn=2n(n+2)7(^7)；n=2k

(2)bn二

-1(k￡N*)時，bn=2-n.對n分類討論即可得出.

【解答】解：(1)Van+2=(2+cosnJi)(an+1)-3,n￡N*.

???當(dāng)n=2k-l時，an+2=an-2,???｛a2k-1｝是等差數(shù)列，首項為1,公差為-2,

Aa2k-1=1-2(k-1)=3-2k,即n為奇數(shù)時an=2-n.

當(dāng)n=2k時，an+2=3an,，｛a2k｝是等比數(shù)列,首項為3,公比為3,

n

~2

...a2k=3X3k-1,即n為偶數(shù)時an=3.

，2F,n為奇數(shù)

.-.an=l37,n為偶數(shù).

■an

,n=2k(k€N*)

-n2(n+2)

(2)bn=lan'n=2k-l(k€N*)

n=2k(kGN*)時，bn=2n(n+2)=4nn+2.

n=2k-1(k￡N*)時，bn=2-n.

.,.n=2k(k￡N*)時，Tn=T2k=(bl+b3+-+b2k-1)+(b2+b4+-+b2k)

里噬組J*一…七法％一k2+卷修法)=2k一k2+

k?n

8k+8=n~+8n+16.

(n-])_(n-1)2n-1(nT).nT

n=2k-1(kEN*)時，Tn=Tn-l+bn=4+8n+24+2-n=l-4-8n+24.

【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法、分類討

論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

20.(13分)(2016?濟南二模)已知函數(shù)f(x)=x2-21nx-2ax(aCR).

(l)當(dāng)a=0時，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)當(dāng)x￡(1,+8)時，試討論關(guān)于x的方程f(x)+ax2=0實數(shù)根的個數(shù).

【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；54：根的存在性及根的個數(shù)判斷.

【分析】(D將a=0代入f(x),求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

求出函數(shù)的極值即可：

(2)令g(x)=f(x)+ax2=(a+1)x2-21nx-2ax,xG(1,,求出g(x)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的

范圍，確定g(x)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而判斷函數(shù)的零點即方程的實數(shù)根的個數(shù).

【解答】解：(1)a=0時，f(x)=x2-21nx,(x>0),

22(x+l)(x-l)

伊(x)=2x-x=X,

令f'(x)>0,解得：x>l,令(x)<0,解得：x<l,

???f(x)在(0,1)遞減，在(1,+8)遞增，

Af(x)極小值=f(1)=1,無極大值；

(2)令g(x)=f(x)+ax2=(a+1)x2-21nx-2ax,x￡(1,+°°),

22[(a+l)x+l](x-l)

gz(x)=2(a+1)x-X-2a=X,

1

①當(dāng)-&+1這1即@忘-2,或a/-l時，

S'(x)>0在(1,+8)恒成立，

g(x)在(1,+8)遞增，

.'.g(x)>g(1)=1-a,

若1-a》0,即aWl時，g(x)>0在(1,+8)恒成立，

即程f(x)+ax2=0無實數(shù)根,

若l-a<0,即a>l時，存在xO,使得g(xO)=O,

即程f(x)+ax2=0有1個實數(shù)根，

1

②當(dāng)-a+1>1即-2<a<-1時，

1

令g'(x)>0,解得：o<x<-a+1,

1

令g'(x)<0,解得：x>-a+1,

11

:.g(x)在(i,-a+1)遞增，在(-a+1,+8)遞減，

1

而g(1)=1-a>0,故g(x)>0在(1,-a+1)上恒成立,

xf+8時，g(x)=(a+1)x2-21nx-2ax-?-

二存在xO,使得g(xO)=0,

1

即方程f(x)+ax2=0在(-a+1,+8)上有1個實數(shù)根，

綜上：aW-2或-IWaWl時，方程無實數(shù)根，-2<aV-1或a>1時，方程有1個實數(shù)根.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查分類討論思想,

是一道綜合題.

21.(14分)(2016?濟南二模)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點是F,點D(1,y0)是拋物線上的

點，且|DF|=2.

(I)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)過定點M(m,0)(m>0)的直線與拋物線C交于A,B兩點，與y軸交于點N,且滿足：NA=XAM,

NB=uBM.

P

(i)當(dāng)m=2時，求證：入+u為定值；

(ii)若點R是直線1：x=-m上任意一點，三條直線AR,BR,MR的斜率分別為kAR,kBR,kMR,問是否

存在常數(shù)t,使得.kAR+kBR=t?kMR.恒成立？若存在求出t的值；若不存在，請說明理由.

【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題；K7：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

P

【分析】(D點D(1,y0)是拋物線上的點，且|DF|=2.利用拋物線等于可得1+2=2,解得p,即可得

出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

P

(II)(i)設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),當(dāng)m=2=l時，M(1,0),直線AB的斜率存在且不為0,可

(0,工■)

設(shè)直線AB的方程為：x=ty+l(two),可得Nt.與