2-3 導數中的差值比值問題-讀者版

專題3導數中的差值比值問題完成了外函數分而治之那，么同個函數內部的那些構造也被拿上了臺面于，完成了外函數分而治之那，么同個函數內部的那些構造也被拿上了臺面于，f(x1)－f(x2)極值之差問題，還有fx1)fx2)極值之和問題，這里我們會簡單介紹一下極值偏移和拐點偏移的原理。關于X1X2的比值代換，甚至需要切線夾放縮的X1—X2這些題起源于高考，反復演變，正在逐漸取代之前傳統(tǒng)的利用導數求函數單調性和極值的問題。，知識反復更新和迭代的過程中，我們確實需要更新數學模型和方法.第一講極值之差例1.(2020?攀枝花一模)已知函數f(x)=x—1—alnx(agR).x(I)求曲線y=f(x)在點(e,-1)處的切線方程；e(II)若函數g(x)=x2-f(x)+2lnx-ax(其中f(x)是f(x)的導函數)有兩個極值點x、x，且x<x<e,12 12求g(x)-g(x)的取值范圍.12x，其中x21<x．

2例2.(2019?廣東期末)已知函數f(x)=2lnx+x2-ax(agx，其中x21<x．

2(I)求實數a的取值范圍;(II)當a>22+馬時，求f(x)-f(x)的最小值.■ve 1 2例3.(2020?綿陽模擬)己知函數f(x)=2lnx+1x2-ax，其中agR.2(1)討論函數f(x)的單調性;3(2)設函數f(x)有兩個極值點x,x(其中x>x)，若f(x)-f(x)的最大值為2ln2——，求實數a的1 2 21 2 1 2取值范圍．例4.(2018?四川模擬)已知函數f(x)=1x2-ax+Inx(agR).2(1)當a=-1時，求曲線f(x)在x=1處的切線方程；12(2)若函數f(x)有兩個極值點x,x(x<x)，求a的取值范圍，并證明f(x)-f(x)<a2+2ln—.1 2 1 2 1 2 2 ae例5.(2019?長沙期末)已知f(x)=x2-2ax+Inx.(I)當a=1時，求f(x)的單調區(qū)間;x(x<x)，求2f(x)-f(x)的最小值．21 2 1 2x(x<x)，求2f(x)-f(x)的最小值．21 2 1 21例6.(2019?蕪湖校級模擬)已知函數f(x)=(ax-1)lnx+x2.2(口)若a=2，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l的方程;

(口)設函數g(%)=f(x)有兩個極值點x,x，其中xg(0,e］，求g(x)-g(x)的最小值.12 1 1 2例7.(2019?新課標DDE知函數f(x)=2x3-ax2+2例7.(1(1)討論f(x)的單調性;(2)例(2)例8.(1)討論函數f(x)的單調性;當0<a<3時，記f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為M，最小值為m，求M-m的取值范圍.(2019?和平區(qū)校級月考)已知函數f(x)=-x2+aln(1-x),a為常數.2(2)例(2)例9.(1)討論函數f(x)的單調性;若函數f(x)有兩個極值點x,x，且x<x，求證：f(x)-x〉-3+1n41 2 12 2 1 8(2020?遂寧模擬)已知函數f(x)=alnx-ax+1(2)若函數g(x)=f(x)+-x2-1有兩個極值點x,x(x中x).且不等式g(x)+g(x)<九(x+x)恒成立，2 1 21 2 1 2 1 2求實數入的取值范圍.第二講極值之和極值之和問題最早出現在2014年湖南高考自主命題卷中，解決問題的關鍵就是將f(xi)+f(x2)轉化為統(tǒng)一參數a后，構造新函數h(a)求出極值之和取值范圍.2x例10.(2014?湖南)已知常數a>0，函數f(x)=ln(1+ax)-三匚.x+2(口)討論f(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調性；TOC\o"1-5"\h\z(口)若f(x)存在兩個極值點x,x，且f(x)+f(x)>0，求a的取值范圍.12 1 2例11.(2020?鄭州一模)已知函數f(x)=ax2-x-ln1.x(口)若f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線y=2x+1平行，求f(x)在點(1,f(1))的切線方程；(口)若函數f(x)在定義域內有兩個極值點x,x，求證：f(x)+f(x)<2ln2-3.12 1 2例12.(2019?湖南期末)已知函數f(x)=lnx+1-2a-x+a有兩個不同的極值點x,x.x 12(1)求a的取值范圍.(2)求f(x)的極大值與極小值之和的取值范圍.(3)若mg(0,2),ng(2,+8),則f(m)-f(n)是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明理由.M秒殺秘籍:極值之相，極值點和初點於點取景值

根據琴生(Jensen)不等式，當f"(x)<0時f(x)+f(x)根據琴生(Jensen)不等式，當f"(x)<0時f(x)+ff(x)+f(x2)Nf(x1+x2)， 1 2 2，我們稱之為下凹數，二四象限的反比例函數均為上凸函數；當f"(x)>0時函數，通常指數函數，開口向上二次函數均為下凹函數.極值偏移：若f(x)有極值f(x) =f(x),若存在f(x)=f(x),當'土匕〉x時，稱為極大值左偏，當max0 1 2 2 0q2<x時，稱為極大值右偏；同理，若f(x)有極值f(x) =f(x),若存在f(x)=f(x)，當'土匕〉x20 min0 1 2 2 0時，稱為極小值左偏，當x土屋<x時，稱為極小值右偏.20由于篇幅關系，本篇不做極值偏移的詳細介紹，我們近期將推出一本導數的專題新書，會系統(tǒng)介紹極值偏移和拐點偏移的解題方法。圖1圖2移和拐點偏移的解題方法。圖1圖2極值點左偏：x+%>2xn,x=土乜處切線與X軸不平行；(圖1)12 0 2若f(x)上凸(f(x)遞減)，則f(x^+x2]<fXx0)=0，若f(x)下凸(fXx)遞增)，則f\x^+x2]>f'(x0)=0.TOC\o"1-5"\h\zI2J \27極值點右偏：x+X<2X，x=x1上處切線與X軸不平行；(圖2)12 0 2…. …......若f(x)上凸(f(x)遞減)，則f-1--2>f'(x0)=0，若f(x)下凸(f(x)遞增)，則f-1--2<f'(xo)=0.I2J I2J極值偏移的本質：函數f",(x)>0時，則極大值左偏，極小值右偏；函數f",(x)<0時，則極大值右偏，極小值左偏(正負號由極小值偏移方式決定，極大值則相反方向偏移)；例13.(2018?浙江)已知函數f(x)=v--lnx.(口)若f(x)在x=x,x(x中x)處導數相等，證明：f(x)+f(x)>8-8ln2；1 21 2 1 2(口)若a<3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.第三講比值函數最早出現在2014天津卷，涉及參變分離和基礎找點比大小，有關xi+x2，要轉化為xi+txi來進行構造成h(t)的函數，之前在證明對數平均不等式用到比值換元函數，比值換元一般用在對數函數里面，指數函數都需要轉化為對數來進行構造，類似于指數平均不等式可以用對數來證明一樣。我們先看幾個例題.例14.(2014?天津)設f(x)=x-aex(agR)，xgR，已知函數y=f(x)有兩個零點x，x，且x<x.1 2 12(口)求a的取值范圍；(口)證明：丸隨著a的減小而增大；x1(口)證明x+x隨著a的減小而增大.12例15.(2019?邢臺期末)已知函數f(x)=x2-2aex+b(a,bgR),若f(x)有兩個極值點x,x(x<x)，且TOC\o"1-5"\h\z1 21 2x<2x，則a的取值范圍是( )211 ln2 ln21 ln2A.(0,—) B.(—8, )C.(,一) D.(0，-)e 2 2e 2例16.(2018?武昌區(qū)校級模擬)已知函數f(x)=lnx+m—1(mgR)，其中無理數e=2.718….ex(1)若函數f(x)有兩個極值點，求m的取值范圍.11 x(2)若函數g(x)=(x—2)ex—3mx3+2mx2的極值點有三個，最小的記為x1,最大的記為x2，若f的最大2值為1,求x+x的最小值.e12第四講切線夾放縮解決X2-x1問題最早出現切線夾放縮在2015年天津高考卷，我們先來看一下這一文一理兩題，然后逐步尋找這類題背后的邏輯.例17.(2015?天津)已知函數f(x)=4x—x4,xgR.(口)求f(x)的單調區(qū)間；(口)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y=g(x)，求證：對于任意的實數x，都有f(x)<g(x)；1(口)若方程f(x)=a(a為實數)有兩個實數根x,x，且x<x，求證：x—x< +43.1 2 12 21 3例18.(2015?天津)已知函數f(x)=nx—xn,xgR，其中ngN，且n>2.(I)討論f(x)的單調性；(II)設曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為y=g(x)，求證：對于任意的正實數x，都有f(x)<g(x)；(III)若關于x的方程f(x)=a(a為實數)有兩個正實數根x,x，求證：Ix—xl<—+2.1 2 2 1 1—n1x2例19.(2020?合肥一模)已知函數f(x)= (e為自然對數的底數).ex(1)求函數f(x)的零點x,以及曲線y=f(x)在x二x處的切線方程；00(2)設方程f(x)=m(m>0)有兩個實數根x，x，求證：Ix-xk2-m(1+—).12 1 2 2eM秒殺秘籍;切依夾數箱,初點是關健例題19雖然是根據執(zhí)果索因得出要證明當j：2<x<1時，f(x)<1-x，但是再解完題反思的過程2中，我們發(fā)現f(x)=x2-2x-1，f"(x)=-x2+4x-1=0ox=2±<3，顯然x=2-、小(1-X；2，1)，也就ex ex是說在x1e(-1，1-v2)這個區(qū)間，沒有拐點，函數的切線斜率一直遞減，故在x=-1處取得的切線就一定恒在函數f(x)上方；但x2e(1-%：2，1)這個區(qū)間有了一個拐點，斜率先減后增，所以在x=1處的切線方程不滿足恒在函數f(x)上方，所以轉化為函數f(x)過點(1，0)處的切線方程，即構造切線不等式f(x)<1-x.例20.已知函數f(x)=ax-1,g(x)=Inx-1(aeR)；(1)設函數F(x)=f(x)-g(x)，若在定義域內F(x)>0恒成立，求a的取值范圍；xem(2)當a=1時方程f(x)-g(x)-m=0(0<m<1)有兩個實數根x,x且x<x.證明：f< (1+ )1 2 1 2 x1-me-11達標訓練(2019?新課標0)已知函數f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調性；(2)是否存在a,b，使得f(x)在區(qū)間［0，1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出a,b的所有值;若不存在，說明理由．(2019?思明區(qū)校級月考)已知函數f(x)=1x2+mx+Inx.2(1)若m=-3，討論函數f(x)的單調性，并寫出單調區(qū)間；3?宜(2)若f(x)有兩個極值點x,x(x<x)，且m< ，求f(x)-f(x)的最小值.1 21 2 2 1 2(2018?開封三模)已知函數f(x)=x+lnx，g(x)=f(x)+—x2-bx與直線x+2y=0垂直.2(I)求f(x)在x=1處的切線方程；(II)當b=4時，求函數g(x)=f(x)+1x2-bx的單調遞減區(qū)間；27(III)設x,x(x<x)是函數g(x)的兩個極值點，若b>一，求g(x)-g(x)的最小值.1 21 2 2 1 2(2019?烏魯木齊模擬)已知函數f(x)=1x2-ax+aInx(a豐0).2(I)求函數f(x)的單調區(qū)間;9(II)右a>，且x，x(x<x)是函數f(x)的兩個極值點，求f(x)-f(x)的最小值.

2 1 21 2 1 2(2019?浙江模擬)已知函數f(x)=x2-bx+aInx(a>0,bgR).(I)設b=a+2，若f(x)存在兩個極值點x,x，且Ix-xl>1,求證：If(x)-f(x)l>3-4ln2；1 2 12 1 2(II)設g(x)=xf(x),g(x)在［1,e］上不單調，且2b+-<4e恒成立，求a的取值范圍.(e為自然對數的a底數)(2020?鎮(zhèn)江一模)已知函數f(x)=lnx+a(x2-x)(agR).(1)當a=0，證明：f(x)<x-1；(2)如果函數f(x)有兩個極值點x,x(x<x)，且f(x)+f(x)<k恒成立，求實數k的取值范圍；1 21 2 1 2(3)當a<0時，求函數f(x)的零點個數.(2018?菏澤期末)已知函數f(x)=4x-aInx-1x2-2，其中a為正實數.2(1)若函數y=f(x)在x=1處的切線斜率為2,求a的值；(2)求函數y=f(x)的單調區(qū)間；(3)若函數y=f(x)有兩個極值點x,x，求證：f(x)+f(x)<6-Ina.12 1 2(2019?湖南月考)已知函數f(x)=x2-2x+aInx(agR).(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若函數f(x)有兩個極值點x,x(x<x)，且不等式f(x)>mx恒成立，求實數m的取值范圍.

1 21 2 1 2(2019?煙臺期中)已知函數f(x)=mlnx-x+m(mgR).x(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個極值點x,x，不等式f(x1)+f(x2)<a恒成立，求實數a的取值范圍.1 2 x2+x212(2019?嶗山區(qū)校級期中)已知函數f(x)=一ex一，其中a>0.bgR.e為自然對數的底數.ax2+bx+1(1)若b=1,且當x>0時，f(x)>1總成立，求實數a的取值范圍；3(2)若b=0，且f(x)存在兩個極值點x,x，求證：1+ <f(x)+f(x)<e.1 2 2a 1 2(2018?海淀區(qū)校級三模)已知函數f(x)=-lnx-ax2+x在點(1,f(1))處的切線斜率為負值.

(I)討論f(x)的單調性;TOC\o"1-5"\h\z(II)若f(x)有兩個極值點x,x，求證：f(x)+f(x)>3-2ln212 1 2(2019?寧鄉(xiāng)市模擬)已知函數f(x)=mx2+1，其中mgR.ex(1)當m=2時，討論f(x)的單調性；4 4m(2)若m>1，并且f(x)存在兩個極值點x、x，求證：一<f(x)+f(x)<——.12 e 1 2e(2019秋?常德期末)已知函數f(x)=ex-ax2.(1)討論f(x)的極值點的個數；(2)當a=1時，若存在實數x,x，使得f(%)+辛=lnx2，求x-x的最小值.1 2 2e4e2 2 21(2018?合肥三模)已知函數f(x)=ex-1x2-ax有兩個極值點x,x(e為自然對數的底數).2 12(I)求實數a的取值范圍；(II)求證:f(x)+f(x)>2.12已知函數f(x)=a.ex-1x2-b(a,bgR,e是自然對數的底數).2(1)若函數f(x)在x=0處的切線方程為y=x-1,求實數a,b的值;(2)若函數f(x)在x和x處取得極值，且x2>2，求實數a的取值范圍.12 x1(2019?和平區(qū)校級月考)已知函數f(x)=lnx-mx,mgR.(I)求f(x)的極值;(II)證明：m=0時，ex>f(x+2)x(III)若函數g(x)=(x-e)f(x)有且只有三個不同的零點，分別記為x,x,x，設x<x<x且t的最TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 123x12(e2+1)大值是e2，證明：xix3<ee2-1.A.a>1e已知函數f(x)=x-aex有兩個零點x,x，且x<A.a>1ex-x隨著a的增大而減小12xx<1 D.x+x隨著a的增大而增大12 1 2(2019?鄭州二模)已知函數f(x)=aex-1x2-b(a,bgR)，若函數f(x)有兩個極值點x,x，且x2>2,2 12x1則實數a的取值范圍是

(2019?岳麓區(qū)校級模擬)已知函數f(x)=ln-—依2+x.2x(I)當a〉0時，討論函數f(x)的極值點的個數;(II)若f(x)有兩個極值點x,x，證明：f(x)+f(x)>3-4ln2.12 1 2(2019?天心區(qū)校級月考)已知函數f(x)=lnx-ax有兩個零點x,x，且x<x.1 2 12(1)求a的取值范圍；(2)證明：x2隨著a的增大而減小；x1(3)證明：xx隨著a的增大而減小.12(2019?上虞區(qū)二模)已知f(x)=ae-x+x與g(x)=—x2+x-b(a,bgR).2(I)若f(x),g(x)在x=2處有相同的切線.求a,b的值；(II)設F(x)=f(x)-g(x)，若函數F(x)有兩個極值點x,x(x>x)，且3x-x>0，求實數a的取值范1 21 2 1 2圍．(2019?吳江區(qū)月考)已知函數f(x)=(x-m)lnx(x>0),m>0.(1)當m=1時，求函數f(x)在x=1處的切線方程；(2)當xg[1,e]時，恒有f(x)<0成立，求滿足條件的m的范圍；(3)當m=e時，令方程f(x)=t有兩個不同的根x,x，且滿足x<x,求證：x-x<-e~+e-1.1 2 1 2 2 1e-1(2017?深圳一模)已知函數f(x)=xInx,e為自然對數的底數.(1)求曲線y=f(x)在x=e-2處的切線方程；(2)關于x的不等式f(x)>X(x-1)在(0,+8)上恒成立，求實數入的值；(3)關于x的方程f(x)=a有兩個實根x,x，求證：Ix-xl<2a+1+e-2.1 2 12(2019?南開區(qū)校級月考)已知函數f(x)=(x+b)(ex-a)(b>0)在點(-1,f(-1))處的切線方程為(e-1)x+ey+e-