2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第一章　預(yù)備知識(shí)復(fù)習(xí)提升

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第一章預(yù)備知識(shí)

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

易錯(cuò)點(diǎn)1忽略元素的互異性致錯(cuò)

1.（2022浙江S9聯(lián)盟聯(lián)考）若x￡{L2,x2},則x的值為（）

A.0或2B.0或1

C.1或2D.0或1或2

2.已知M={l,t},N=件4+1},若MUN=M,求t的取值集合.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略空集致錯(cuò)

3.（2020安徽合肥一中、六中、八中期中聯(lián)考）已知集合人=僅儼2-

3=0},B={x|mx+l=0},AUB=AJinjm的取值集合是（）

A.{1,一,

4.（2020北京人大附中期中）設(shè)全集是RA={x|2x2-7x+3w0},B={x|x2-a<0}.

⑴當(dāng)a=4時(shí)，求ADB和AUB;

（2）若（［RA）CIB=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)3求參數(shù)時(shí)對(duì)端點(diǎn)值考慮不周致錯(cuò)

5.(2020江蘇泰州姜堰中學(xué)月考)已知集合A={x[x<-L或

x>4},B={x|2a4xWa+3},若BwA廁實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

6.(2020北京八十中期中)設(shè)全集U=R,集合A={x|x2-4x+3<0},B=(x七>0).

(1)求([RB)UA;

(2)若集合C={x|(x-a)(x-a-l)<0}(a￡R),且CGA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)4對(duì)充分條件、必要條件概念理解不清致錯(cuò)

7."XW2或yW-2"是"xyW-4"的()

A.必要不充分條件

B.充分不必要條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.(2022安徽蕪湖一中期中節(jié)選)已知集合A={x|x2+4x=0},集合

BNx|x2+2(a+l)x+l-a=0},若xwB成立的一個(gè)必要不充分條件是x￡A,求實(shí)數(shù)

a的取值范圍.

易錯(cuò)點(diǎn)5忽略基本不等式的應(yīng)用條件致錯(cuò)

9.（2022山東日照實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)月考）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)a,b,下列不等式一定成

立的是（）

A.—B.a+->2

2a

C-b+-a>、2riD-x.-b+-a、>2r

abab

10.若a>0,b>0,且a+2b-4=0廁ab的最大值為的最小值

為.

IL已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=L求（a+丁+傘+獷的最小值.

易錯(cuò)點(diǎn)6解含參數(shù)的不等式時(shí)分類不全面或標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一致錯(cuò)

12.（2021安徽亳州檢測(cè)）解關(guān)于x的不等式x2-（a+l）x+a>0,aGR.

13.解不等式:RwO.(a￡R)

思想方法練

一、轉(zhuǎn)化與化歸思想

1.（2021上海交通大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知x￡R,則是"x<3"的

（）

A.既不充分也不必要條件

B.充要條件

C.必要不充分條件

D.充分不必要條件

2.（2022山西太原期中）已知a>0,b>0,Sa+b+6=；ab,求ab的取值范圍.

3.(2020北師大附中期中)設(shè)函數(shù)y=x2+mx+n,已知不等式y(tǒng)<0的解集為

{x|l<x<4}.

⑴求m和n的值；

⑵若y>ax對(duì)任意x>0恒成立，求a的取值范圍.

二、數(shù)形結(jié)合思想

4.(2022安徽蕪湖一中期中)已知集合A,B均為全集U={123,4}的子集，且

Cu(AUB)={4},An(CuB)={3},則B=()

A.{1,2}B,{1,2,4)

C.{2,4}D.0

5.已知集合A={x|x<l},B={x|x<a}.

⑴若A=B,則實(shí)數(shù)a的值是多少？

(2)若AcB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

⑶若B熟廁實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

6.已知不等式mx2-mx-l<0.

(1)當(dāng)XGR時(shí)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑵當(dāng)xe{x|lwx<3}時(shí)不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

三、分類討論思想

7.求函數(shù)y=-x(x-a)在xw[-1,1]上的最大值.

8.(2021四川成都新津中學(xué)月考)已知集合A={x|-2<x<5},B={x|m+l<x<2m-l}.

(1)當(dāng)XGZ時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；

(2)當(dāng)XGR時(shí)，不存在元素x,使x￡A與x￡B同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

9.(2022安徽安慶一中期中)已知集合A={x|-

4<x<2},B={x|2m<x<m+3},C={x|-2<x<l}.

(l)p:x￡C,q:x￡B,若p是q的充分不必要條件，求m的取值范圍;

(2)若AClBW0*m的取值范圍.

10.(2022河北石家莊第二中學(xué)期中)已知函數(shù)y=mx2-mx-l.

⑴若mW，解不等式:y<0;

⑵若m￡R,解關(guān)于x的不等式:y<(m-l>x2+2x-2m-l.

四、函數(shù)與方程思想

11.（2021浙江臺(tái)州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考）關(guān)于x的不等式x2-mx+m+2>0對(duì)-2WXW4

恒成立，求m的取值范圍.

答案與分層梯度式解析

第一章預(yù)備知識(shí)

本章復(fù)習(xí)提升

易混易錯(cuò)練

1.A當(dāng)X=1時(shí),x2=L不符合集合中元素的互異性，故舍去；

當(dāng)x=2時(shí),x2=4,符合集合中元素的互異性；

當(dāng)X=x2時(shí),x=l（舍去）或x=0,當(dāng)x=0時(shí)*=0,符合集合中元素的互異性.

綜上,x=0或x=2.

2.解析易知N^0,vMUN=M,/.NcM,gpt2-t+leM.

①若t2-1+1=L則t2-1=0,解得t=0或t=L

當(dāng)t=l時(shí),M中的兩個(gè)元素相同,不符合集合中元素的互異性，舍去???.t=0.

②若t2-t+l=t,^l]t2-2t+l=0,/.t=l,

由①知不符合題意,舍去.

綜上所述,t的取值集合為｛（）｝.

易錯(cuò)警示

根據(jù)題意求出參數(shù)的值，一定要代回原集合，看是否滿足集合中元素的互異性,

若不滿足，則舍去.

3.P由已知得人=｛-1,3｝）7\08=A,「.BcA.當(dāng)m=0時(shí),B為空集，符合條件;當(dāng)

m/0時(shí),B={-5}/.q=-l或-93,解得m=l或m=的取值集合為{0,1,-不

4.解析(1)A={x|2x2-7x+340}={x[(2x-D(x-3)40}二卜||<x<3}.

當(dāng)a=4時(shí)力={x|x2-4<0}={x|-2<x<2}.

」.AnB斗||<x<2j,

AUB={x|-2<x<3}.

(2)由([RA)DB=B可得BCCRA,

由⑴知A斗上x(chóng)S3},

-'-CRA=3%<上或x>3}.

當(dāng)a40時(shí),B=。,滿足([RA)AB=B;

當(dāng)a>0時(shí),B={x|x2-a<0}={x|-歷<x<@

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(『斗

易錯(cuò)警示

*畝于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，因此涉及含參數(shù)的集

合是一個(gè)確定集合的子集或真子集問(wèn)題時(shí)，要檢驗(yàn)含參數(shù)的集合是空集的特殊情

況.

5.答案{a|a<-4,或a>2}

解析當(dāng)B=。時(shí),2a>a+3,解得a>3,滿足題意；

當(dāng)BW。時(shí),需滿足{雷鳴或{震J

解得a<-4或2<a43.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a<-4,或a>2}.

6解析(l)-.^A={x|x2-4x+3<0}={x|l<x<3},

B={xL>o]={x|x>1},

.?工RB={XX<1},/.(CRB)UA={X|X<3}.

(2)/C={x(x-a)(x-a-l)<O}={x|a<x<a+l},CcA,

???{：：：<3解得14a42.

'-(?VI-1.J,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,2].

易錯(cuò)警示

、三求集合中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要特別注意該參數(shù)的取值范圍在邊界處能否

取等號(hào)，否則會(huì)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.求得參數(shù)的范圍后要把端點(diǎn)值代入原式檢驗(yàn),看是否

符合題目要求.

7.A由"XW2或"-2"不能推出"xyw-4",例如x=3h2,y=-#-2,但xy=-4;

由"xyw-4"能推出"XW2或yw-2”,這是因?yàn)楫?dāng)x=2且y=-2時(shí)，必有xy=-4.

綜上所述，"XW2或yw-2"是"xyw-4"的必要不充分條件.

8.解析由題意知,x￡A是x￡B的必要不充分條件，因此B是A的真子集.易得

A二{0,-4}.

①當(dāng)3二。時(shí)△=4(a+l)2-4(l-a)=4a2+：L2a<0,解得-3<a<0;

②當(dāng)B={-4}時(shí)，有麻嚶二普:Mo此時(shí)無(wú)解;

③當(dāng)B={0}時(shí)，有憶1產(chǎn)4(1a=0,止匕時(shí)無(wú)解.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a卜3<a<0}.

易錯(cuò)警示

解決與充分條件、必要條件有關(guān)的問(wèn)題時(shí),如果不能正確區(qū)分誰(shuí)是條件，誰(shuí)是

結(jié)論，那么就會(huì)將子集關(guān)系倒置，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

9.P當(dāng)a<0,b<0時(shí)，歲<0,而>0,半<而,故人錯(cuò)誤；

當(dāng)a<0時(shí),a+：<0<2,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)"°時(shí)，出<°<2,故C錯(cuò)誤；

易知能0淵>0,由基本不等式可知《|+船2顧后=2,當(dāng)且僅當(dāng)臚陸即a2=b2

時(shí)等號(hào)成立，故D正確.

易錯(cuò)警示

*利]用基本不等式求最值時(shí)應(yīng)注意:(1)使用基本不等式求最值時(shí),失誤的真正原

因是對(duì)其前提"一正、二定、三相等"的忽視，要注意這三個(gè)條件缺一不可;(2)在

運(yùn)用基本不等式時(shí)，要特別注意"拆""拼""湊"等技巧，使其滿足基本不等式

中"一正、二定、三相等"的條件.

10.答案

解析-.'a>0,b>0,Sa+2b-4=0,/.a+2b=4,「.ab=；a-2b"x(浮y=2,當(dāng)且僅當(dāng)

a=2b,即a=2,b=l時(shí)等號(hào)成立〃二ab的最大值為2.<鴻二6+9片=白(5+e+

票廬興6+2X廣寧,當(dāng)且僅當(dāng)即a=bW時(shí)等號(hào)成立〃)+汨勺最小值為*

11解析(a+土)+(，+：)=32+b2+j2+^2+4=(a2+b^)^i+^2)+4=[(a+b)2-

2ab](i+給+4=(l-2ab)-(i+&+4.

由a+b=l^ab4?)￡(當(dāng)且僅當(dāng)a=bW時(shí),等號(hào)成立)，

所以l-2ab“-冷，心"6,

所以(a+J+G+)之>(1+16)+4或(當(dāng)且僅當(dāng)a=bW時(shí),等號(hào)成立)，

所以(a+J+G+：)2的最小值為今

12.解析不等式x2-(a+l)x+a“可化為(x-a)(x-l)“.

當(dāng)a<l時(shí)，解得xwa最xNl;

當(dāng)a=l時(shí)，解得x￡R;

當(dāng)a>l時(shí)，解得xwl或x±a.

綜上，當(dāng)a<l時(shí)，不等式的解集是{x|xwa,或xNl};

當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為R;

當(dāng)a>l時(shí)，不等式的解集是{x|xwl,或x2a}.

13.解析言40=ax(x+l)w0且x+lwO.

當(dāng)a>0時(shí),ax(x+l)wO且x+lwO=x(x+l)wO且x+lwO=-l<x4O,

此時(shí)原不等式的解集為{x|-l<x<0};

當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為{x|xw-l};

當(dāng)a<0時(shí),ax(x+l)40且x+lwO、x(x+l)“且x+lwO、x<-l或x±0,

此時(shí)原不等式的解集為僅|x<-l，或x>0}.

綜上可知，當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為{xH<xwO};當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為

{X|XA1};當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為{x|x<-L或xNO}.

易錯(cuò)警示

B解決含參的不等式問(wèn)題時(shí)，對(duì)參數(shù)的討論要明確、統(tǒng)一,要不重不漏.

思想方法練

1.P由|x-2|<l可得l<x<3,

,.{x|l<x<3}g{x|x<3},

???"|x-2<1"是"x<3"的充分不必要條件.

將不等式間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為邏輯關(guān)系.

敵選D.

方法點(diǎn)撥

已知A,B為兩個(gè)集合，若A是B的子集，則"X￡A"是"x￡B”的充分條

件，"x￡B"是〃x￡A"的必要條件;若A是B的真子集，則"X￡A"是"x￡B"

的充分不必要條件，"X￡B"是"X￡A"的必要不充分條件;若人=8,則"X￡A"

是〃x￡B"的充要條件.

2.解析界>0力>0〃?孕b=a+b+6N2病+6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，

.'.3b>4Vob+12,

.'.(y/ab')-4Vab-12>0,

即{4ab-6)(VaF+2)>0,

.'.VoF^6或舍去),「.ab之36.

利用基本不等式將原等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于佩的一元二次不等式，解不等式即可..

3.解析Q)由題意知XI=1,X2=4是關(guān)于x的方程x2+mx+n=0的兩個(gè)實(shí)根，

由不等式的解集得到對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

所以-m=xi+X2=5,n=xiX2=4,

故m=-5,n=4.

(2)由⑴得y=x2-5x+4,

則x2-5x+4Nax對(duì)任意x>0恒成立，

即a<x+^-5對(duì)任意x>0恒成立.

將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想.

又因?yàn)閄+拉2卜：=4(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí),等號(hào)成立)，

所以x+952-L

所以

思想方法

轉(zhuǎn)化與化歸思想在本章中主要體現(xiàn)在集合的運(yùn)算性質(zhì)與集合之間關(guān)系的轉(zhuǎn)

化，充分條件、必要條件與集合之間的子集關(guān)系的轉(zhuǎn)化，命題的真假與相關(guān)數(shù)學(xué)知

識(shí)的轉(zhuǎn)化，恒成立問(wèn)題與最值之間的轉(zhuǎn)化，"三個(gè)二次”之間的轉(zhuǎn)化,即利用集合、

方程、不等式等知識(shí)求解參數(shù)的值或取值范圍.

4.A因?yàn)閁={123,4},[u(AUB)={4},所以AUB二{1,2,3},

因?yàn)锳A(CuB)=⑶,所以3￡A且34B,作出Venn圖如圖所示：

U4

畫(huà)出Venn圖,利用數(shù)形結(jié)合的思想解決.

由Venn圖得B={1,2}.

5.解析Q).?集合A={x|x<AB={x|x<a},A=B,「.a=l.

(2)如圖，

五U1__>

01?%

根據(jù)集合間的關(guān)系,將集合表示在數(shù)軸上，借助數(shù)軸可直觀得出結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)

合思想.

由11句知組1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a"}.

(3)如圖，

ajX

由圖可知a<L即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

6.解析(1)①若m=0,則原不等式可化為-1<0,顯然恒成立；

②若mwO,則不等式mx2-mx-l<0恒成立等價(jià)于"<0解得-4<m<0.

綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是{mk4<m40}.

(2)①當(dāng)m=O時(shí)，原不等式可化為-1<O,顯然恒成立；

②當(dāng)m>0時(shí),若對(duì)于X￡{X|1WX43},不等式恒成立，則由函數(shù)y=mx2-mx-l的圖

象開(kāi)口向上知，

只需在x=l,x=3時(shí)的函數(shù)值均為負(fù)即可，

即{器落端'解得邙占此時(shí)0<m咐

③當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù)y=mx2-mx-l的圖象開(kāi)口向下,圖象的對(duì)稱軸為直線x=&若當(dāng)

X￡{X|1WX《3}時(shí)不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)圖象知,只需在x=l時(shí)的函數(shù)值為負(fù)即

可，此時(shí)mGR,所以m<0符合題意.

結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象分類討論不等式恒成立的條件.

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是Him<g.

思想方法

數(shù)形結(jié)合思想在本章主要體現(xiàn)在集合與一元二次函數(shù)中：

(1)在集合中主要是集合關(guān)系與Venn圖或數(shù)軸的結(jié)合，通過(guò)Venn圖或數(shù)軸可使

問(wèn)題更直觀；

(2)在一元二次函數(shù)中，主要是通過(guò)函數(shù)圖象研究一元二次函數(shù)的一些性質(zhì)及解一

兀二次不等式等.

7.解析函數(shù)y=-x(x-a)=-G-(f+9的圖象的對(duì)稱軸為直線下面分產(chǎn)-L-

l<|<l,f>l,gpa<-2,-2<a<2,a>2三種情形討論.

先求出對(duì)稱軸方程再根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論思

想.

a<-2時(shí)而圖①可知，在［-L1］上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，當(dāng)x=-

1時(shí),y最大

②當(dāng)-2waw2時(shí)油圖②可知，在［-L1］上,函數(shù)值V隨自變量x的增大先增大后減

小，當(dāng)x帶時(shí),y最大二￡

③當(dāng)a>2時(shí)油圖③可知，在［-L1］上,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，當(dāng)x=l

時(shí),y最大二a-l.

圖①圖②

<—2,

Y<-2<a<2,

a-l,a>2.

8.解析⑴當(dāng)xGZ時(shí),A={-2,-L0,L234,5},所以A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28-

2=254.

(2)因?yàn)椴淮嬖谠豖,使x￡A與x￡B同時(shí)成立，所以ADB=0.

AnB=0分兩種情況:B=0和B，。,所以需分類討論體現(xiàn)了分類討論思根

?若B=。,貝!jm+l>2m-L解得m<2,滿足條件.

②若Bw。,則要滿足的條件是卷+:己引」或{黑之17n口

解得m>4.

綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m<2或m>4.

9.解析(1)因?yàn)閜:xGC,q:xGB,p是q的充分不必要條件，

所以集合C是集合B的真子集，

所以焦U

解得-2wmW-1,

所以m的取值金圍為[-2,-1].

(2)分J歸￡和業(yè)哂種情況過(guò)途

當(dāng)B二0時(shí),2m>m+可解得m>2此時(shí)AAB=0；

當(dāng)BWo時(shí)，若ADB=0,

[T|||C2m<m+3,pR[2m<m+3,

人42租>2