《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解-第二版》math-chap03

第3章

微積分問題的計(jì)算機(jī)求解高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解清華大學(xué)出版社2008CAI課件開發(fā)：薛定宇、劉瑩瑩、董雯彬4/23/2024第3章微積分問題的計(jì)算機(jī)求解極限問題的解析解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解積分問題的解析解函數(shù)的級(jí)數(shù)展開與級(jí)數(shù)求和問題求解曲線積分與曲面積分的計(jì)算數(shù)值微分問題數(shù)值積分問題4/23/20243.1極限問題的解析解單變量函數(shù)的極限多變量函數(shù)的極限4/23/20243.1.1單變量函數(shù)的極限極限的定義MATLAB函數(shù)左右極限MATLAB函數(shù)4/23/2024例3.1試求解極限問題MATLAB代碼4/23/2024例3.2試求解單邊極限問題MATLAB代碼4/23/2024MATLAB繪圖語句求出極限4/23/2024例3.3試分別求出tant函數(shù)關(guān)于p/2點(diǎn)處的左右極限MATLAB代碼4/23/20243.1.2多變量函數(shù)的極限函數(shù)的極限的定義嵌套使用limit()函數(shù)或4/23/2024例3.4試求出二元函數(shù)極限值MATLAB代碼4/23/20243.2函數(shù)導(dǎo)數(shù)的解析解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的Jacobian矩陣Hessian偏導(dǎo)數(shù)矩陣隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)4/23/20243.2.1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)和自變量都，且均為符號(hào)變量，那么可以用diff()函數(shù)解出給定函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)函數(shù)語法或4/23/2024例3.5給定函數(shù)，試求出MATLAB求解繪制原函數(shù)和其一階導(dǎo)數(shù)4/23/20244階導(dǎo)數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)diff()的高效率4/23/2024例3.6試推導(dǎo)函數(shù)的3階導(dǎo)函數(shù)公式，并得出時(shí)的3階導(dǎo)數(shù)，將這樣得出的結(jié)果與直接求導(dǎo)的結(jié)果相比較MATLAB求解當(dāng)時(shí)求3階導(dǎo)數(shù)4/23/20243.2.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)雙變量函數(shù)求導(dǎo)MATLAB語法或4/23/2024例3.7試求出以下二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并用圖形表示和4/23/2024繪制三維曲面引力線4/23/2024例3.8求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)MATLAB求解4/23/20243.2.3多元函數(shù)的Jacobian矩陣多元函數(shù)4/23/2024它的Jacobian矩陣為MATLAB函數(shù)為其中：變量構(gòu)成的向量：各個(gè)函數(shù)構(gòu)成的向量4/23/2024例3.9直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)變換公式如下，推導(dǎo)其Jacobian矩陣MATLAB代碼4/23/20243.2.4Hessian偏導(dǎo)數(shù)矩陣定的n元函數(shù)，其Hessian矩陣的定義為4/23/2024Hessian矩陣實(shí)際上就是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣,該矩陣可以由兩次嵌套調(diào)用jacobian()的方式直接獲得MATLAB語法其中：向量4/23/2024例3.10試求出以下二元函數(shù)的Hessian矩陣MATLAB代碼4/23/20243.2.5隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)，其自變量之間的偏導(dǎo)數(shù)MATLAB代碼4/23/2024例3.11給定函數(shù)，試求出MATLAB求解結(jié)果4/23/20243.2.6參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程，那么為4/23/2024編輯遞歸函數(shù)4/23/2024例3.12參數(shù)方程，試求MATLAB求解命令4/23/20243.3積分問題的解析解不定積分的推導(dǎo)定積分與無窮積分計(jì)算多重積分問題的MATLAB求解4/23/20243.3.1不定積分的推導(dǎo)函數(shù)int()可以被用于計(jì)算不定積分MATLAB函數(shù) 積分多重積分，嵌套調(diào)用 4/23/2024例3.13對(duì)如下的函數(shù)，求其一階導(dǎo)數(shù)，再積分，檢驗(yàn)是否可以得出一致的結(jié)果。求其四階導(dǎo)數(shù)，再積分，檢驗(yàn)結(jié)果4/23/2024例3.14試證明對(duì)等號(hào)左側(cè)進(jìn)行化簡(jiǎn)4/23/2024比較并化簡(jiǎn)4/23/2024例3.15考慮如下兩個(gè)不可積問題的積分問題求解。MATLAB求解結(jié)果特殊函數(shù)4/23/2024求解，其中MATLAB命令無法獲得顯示的解并不是所有的積分都能被計(jì)算出，應(yīng)為原始函數(shù)不一定存在4/23/20243.3.2定積分與無窮積分計(jì)算函數(shù)int()可以被用于計(jì)算定積分或無窮積分問題語句格式4/23/2024例3.16函數(shù)和求當(dāng)或時(shí)的定積分值。MATLAB求解4/23/2024例3.17求解MATLAB求解結(jié)果4/23/20243.3.3多重積分

問題的MATLAB求解函數(shù)int()仍可以被用于計(jì)算多重積分注意：需要根據(jù)實(shí)際情況先選擇積分順序，可積的局部作為內(nèi)積分，然后再處理外積分。否那么，會(huì)的不出解析解4/23/2024例3.18下面的三元函數(shù)試求出4/23/2024MATLAB求解

4/23/2024交換積分順序比較結(jié)果4/23/2024例3.19求解積分問題MATLAB求解注意：eulergamma為Euler常數(shù)g4/23/20243.4函數(shù)的級(jí)數(shù)展開

與級(jí)數(shù)求和問題求解Taylor冪級(jí)數(shù)展開 Fourier級(jí)數(shù)展開級(jí)數(shù)求和的計(jì)算序列求積問題4/23/20243.4.1Taylor冪級(jí)數(shù)展開單變量函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開多變量函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開4/23/20243.4.1.1單變量函數(shù)

的Taylor冪級(jí)數(shù)展開數(shù)學(xué)表示在x=0點(diǎn)附近的Taylor冪級(jí)數(shù)其中MATLAB語句格式4/23/2024關(guān)于x=a點(diǎn)的Taylor展開其中MATLAB語句格式4/23/2024例3.20對(duì)如下的函數(shù)，在x=0,x=2和x=a求其Taylor冪級(jí)數(shù)展開的前9項(xiàng)在x=0進(jìn)行Taylor展開結(jié)果4/23/2024檢查有限項(xiàng)的近似結(jié)果在區(qū)間[0,5]內(nèi)繪圖更小的區(qū)間[0,0.5]4/23/2024在x=2進(jìn)行Taylor展開結(jié)果4/23/2024在x=a進(jìn)行Taylor展開數(shù)學(xué)描述4/23/2024例3.21對(duì)函數(shù)進(jìn)行Taylor展開，觀察近似效果MATLAB求解4/23/20243.4.1.2多變量函數(shù)

的Taylor冪級(jí)數(shù)展開多元函數(shù)的Taylor冪級(jí)數(shù)展開其中4/23/2024使用MapleMATLAB語法在原點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開在點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開注意：引號(hào)不能漏掉4/23/2024例3.22求函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開在原點(diǎn)展開Taylor級(jí)數(shù)4/23/2024數(shù)學(xué)描述4/23/2024在點(diǎn)展開Taylor級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)描述4/23/2024用函數(shù)mtaylor()進(jìn)行單變量Taylor級(jí)數(shù)的展開數(shù)學(xué)描述4/23/20243.4.2Fourier級(jí)數(shù)展開給定周期函數(shù)由此它的Fourier級(jí)數(shù)展開是4/23/2024求Fourier級(jí)數(shù)展開得MATLAB代碼4/23/2024函數(shù)fseries()的調(diào)用法那么4/23/2024例3.23函數(shù)，其中求它的Fourier級(jí)數(shù)展開結(jié)果比較4/23/2024更大的區(qū)域數(shù)學(xué)描述一般形式4/23/2024例3.24給定函數(shù)，其中求它的Fourier級(jí)數(shù)展開，并與原函數(shù)進(jìn)行比較原函數(shù)可以表示成4/23/2024MATLAB求解4/23/2024前14項(xiàng)的Fourier級(jí)數(shù)展開數(shù)學(xué)形式一般形式4/23/2024在區(qū)間[-2p,2p]進(jìn)行擬合效果比較回憶一下開始的假設(shè)4/23/20243.4.3級(jí)數(shù)求和的計(jì)算求通項(xiàng)的有窮或無窮級(jí)數(shù)的和。數(shù)學(xué)表示MATLAB語句4/23/2024例3.25計(jì)算數(shù)值計(jì)算方法使用symsum()更多項(xiàng)的擴(kuò)展4/23/2024例3.26求解無窮級(jí)數(shù)的和

使用函數(shù)symsum()

使用數(shù)值方法4/23/2024例3.27試求解含有變量x的無窮級(jí)數(shù)符號(hào)運(yùn)算方法4/23/2024例3.28試求解級(jí)數(shù)與極限綜合問題MATLAB求解注意：求解該問題不能先求解無窮級(jí)數(shù)的和，然后再減去lnn，這樣做前后均為無窮大，4/23/20243.4.4序列求積問題Maple內(nèi)核的函數(shù)product()可以直接進(jìn)行序列求積運(yùn)算MATLAB語句或4/23/2024例3.29試計(jì)算序列的乘積MATLAB求解語句4/23/20243.5曲線積分與曲面積分的計(jì)算曲線積分及MATLAB求解曲面積分與MATLAB語言求解4/23/20243.5.1曲線積分及MATLAB求解第一類曲線積分第二類曲線積分4/23/20243.5.1.1第一類曲線積分第一類曲線積分將帶入或4/23/2024例3.30計(jì)算，其中l(wèi)是如下定義的螺線MATLAB求解語句4/23/2024例3.31試求，其中l(wèi)曲線為

與圍成的正向曲線繪制曲線l4/23/2024化成兩段曲線的積分問題來求解結(jié)果4/23/20243.5.1.2第二類曲線積分第二類曲線積分其中并且上式化為4/23/2024例3.32求出曲線積分其中，l為正向圓周MATLAB求解語句4/23/2024例3.33計(jì)算。其中，l為拋物線MATLAB求解語句4/23/20243.5.2曲面積分與

MATLAB語言求解第一類曲面積分第二類曲面積分4/23/20243.5.2.1第一類曲面積分第一類曲面積分的數(shù)學(xué)定義為其中曲面S是變換為x-y平面的二重積分其中為積分區(qū)域4/23/2024例3.34計(jì)算，其中S是如下定義的外側(cè)面MATLAB求解語句4/23/2024假設(shè)曲面的參數(shù)方程為曲面積分為其中4/23/2024例3.35計(jì)算積分，S是如下曲面MATLAB求解語句4/23/2024接上頁4/23/20243.5.2.2第二類曲面積分第二類曲面積分的數(shù)學(xué)定義為被積函數(shù)是并且正向曲面由給出4/23/2024第二類曲面積分轉(zhuǎn)換為第一類曲面積分其中，并且4/23/2024整個(gè)曲面積分又可以寫成假設(shè)曲面由下述方程給出那么4/23/2024其中整個(gè)曲面積分可以化簡(jiǎn)為4/23/2024例3.36試求出曲面積分，S是下面的橢球面的上半部，且積分沿橢球面的上面引入?yún)?shù)方程4/23/2024原曲面積分化為可以轉(zhuǎn)換為一般雙重積分MATLAB求解語句4/23/20243.6數(shù)值微分問題數(shù)值微分算法中心差分方法及其MATLAB實(shí)現(xiàn)二元函數(shù)的梯度計(jì)算4/23/20243.6.1數(shù)值微分算法前向差分公式后向差分公式算法精度4/23/2024中心差分算法公式1定義一階微分為記為4/23/2024Taylor級(jí)數(shù)展開為算法精度4/23/2024該中心差分算法的高階微分公式為4/23/2024公式2差分方程算法精度4/23/20243.6.2中心差分方法

及其MATLAB實(shí)現(xiàn)中心差分方法的M-函數(shù)的調(diào)用格式為4/23/2024數(shù)值微分的MATLAB函數(shù)4/23/2024接上頁4/23/2024例3.37對(duì)函數(shù)用數(shù)值微分法求取其1～4階導(dǎo)數(shù)，并與其導(dǎo)數(shù)的解析解比較精度輸入函數(shù)4/23/2024比較不同階的導(dǎo)數(shù)分析誤差4/23/20243.6.3二元函數(shù)的梯度計(jì)算函數(shù)gradient()的調(diào)用格式計(jì)算梯度其中Dx和Dy分別為x和y生成網(wǎng)格的步距4/23/2024例3.38，計(jì)算梯度并分析誤差MATLAB求解語句4/23/2024繪制誤差曲面4/23/2024將網(wǎng)格加密一倍：4/23/20243.7數(shù)值積分問題由給定數(shù)據(jù)進(jìn)行梯形求積單變量數(shù)值積分問題求解廣義數(shù)值積分問題求解雙重積分問題的數(shù)值解三重定積分的數(shù)值求解多重積分?jǐn)?shù)值求解4/23/20243.7.1由給定數(shù)據(jù)進(jìn)行梯形求積梯形近似方法的根本思想MATLAB的調(diào)用格式或4/23/2024例3.39試用梯形法求出函數(shù)，在區(qū)間的定積分值MATLAB求解語句結(jié)論：由于選擇的步距較大，有很大的誤差4/23/2024例3.40用定步長方法求解積分并比較不同步距下的結(jié)果首先繪圖在求解區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)有很強(qiáng)的振蕩4/23/2024對(duì)不同的步距比較近似結(jié)果4/23/20243.7.2單變量數(shù)值積分問題求解Simpson方法求解區(qū)間上的積分其中，4/23/2024調(diào)用格式求定積分限定精度的定積分求解4/23/2024例3.41用數(shù)值方法計(jì)算積分方法1，一般函數(shù)方法方法2，匿名函數(shù)(MATLAB7.0)4/23/2024方法3，inline函數(shù)方法MATLAB求解語句運(yùn)用符號(hào)工具箱4/23/2024過高的精度可能導(dǎo)致運(yùn)算失效函數(shù)quadl()可能更精確函數(shù)quadl()的調(diào)用格式或 4/23/2024例3.42計(jì)算積分，并使精度提 高到1e-20使用函數(shù)quadl()來提高精度MATLAB求解語句4/23/2024例3.43給定如下分段函數(shù)計(jì)算積分值4/23/2024MATLAB求解語句調(diào)用函數(shù)quad()和quadl()

4/23/2024把原問題分解成，并求解析解獲得更精確的解4/23/2024例3.44重新計(jì)算積分MATLAB求解語句結(jié)論：求解變化不均勻的函數(shù)的積分不宜采用定步長方法，應(yīng)采用變步長方法4/23/2024用quad()函數(shù)求解該問題給出的精度要求4/23/20243.7.3廣義數(shù)值積分問題求解采用MATLAB2007b版本及其以上中提供的基于Gauss-K