2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬題（十九）

2023年高考數(shù)學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃模擬題（十九）

（滿分100分，測(cè)試時(shí)間：60分鐘）

選擇題（每題10分）

1.設(shè)有復(fù)數(shù)31=-〈+噂3儂2=COS|TT+兇山|兀，令3=31,32，則復(fù)數(shù)3+32+

ZZ。D

co3H-----Fco2011=.（）

A.o）B.a）2C.co3D.a）4

2.A48c為等邊三角形，邊長(zhǎng)為3,P為平面外一點(diǎn),P滿足|P*=3,|PB|=4,|PC|=5,

則UpT8c為.（）

A.711B.V10C.yD.y

3.一個(gè)盒子里裝有紅、白、藍(lán)、綠四種顏色的玻璃球，每種顏色的玻璃球至少有一個(gè).

從中隨機(jī)拿出4個(gè)玻璃球，這4個(gè)球都是紅色的概率為P1，恰好有3個(gè)紅色和1個(gè)白色的

概率為P2,恰好有2個(gè)紅色、1個(gè)白色和1個(gè)藍(lán)色的概率為P3,四種顏色各1個(gè)的概率為P4,

若恰好有P1=P2=P3=P4,則這個(gè)盒子里玻璃球的個(gè)數(shù)的最小值等于.（）

A.17B.19C.21D.以上選項(xiàng)都不正確

4.已知多項(xiàng)式/一2x3+（m+2）x2-（4m+2）x+4m+1>0恒成立，則m的取值范

圍為.（）

A.[0,+8）B.（―8,0]C.[i,l]D.g+8）

5.如圖所示，已知正方體4BCD-4B1GD1的棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)H在棱44]上，且=1.

在側(cè)面BCJB]內(nèi)作邊長(zhǎng)為1的正方形EFGG，P是側(cè)面BCG/內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面

CDD1G的距離等于線段P尸的長(zhǎng).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是.（）

6.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)P（2,0）的直線交拋物線于4B兩點(diǎn)，直線AF,

8F分別與拋物線交于點(diǎn)C,D.設(shè)直線ZB,CD的斜率分別為自，k2,則此等于.（）

A.1B.|C.1D.2

二、解答題（每小題20分）

7、已知a是給定一正實(shí)數(shù)，考慮滿足下列條件的數(shù)列：xo=O>xn=xn^+a,或&=

—xn_i-a,n=1,2,--?,2008.試求表達(dá)式|巧+%24----FX2008l的最小值.

8、稱(chēng)自然數(shù)m覆蓋2987;如果數(shù)字2,9,8,7依次序2,9,8,7出現(xiàn)在m的十進(jìn)制表

示數(shù)碼中，用k（n）表示覆蓋2987的由非零數(shù)碼構(gòu)成的n位數(shù)的個(gè)數(shù).求磔n）除以8所得的

余數(shù).

答案

1.A【解析】根據(jù)題意有⑦=COS6TT+|汗)+isin67T+,兀)=85||幾+心訪|!兀.

因此315=1,于是

21?2011d)(l-a)2011)3(1-0)134x15+1)

+ZU11

3十H--------F6)=------------=———-----------------=0)?

1—0)1—(1)

2.A【解析】aPBC為直角三角形，外心為PC的中點(diǎn)，取PC的中點(diǎn)為M.由于MB|=|/C|=

\AP\=3,因此4點(diǎn)在平面PBC的射影就是點(diǎn)M,則AM就是高手，所以體積為VTL

3.C【解析】不妨設(shè)紅、白、藍(lán)、綠四種顏色的玻璃球個(gè)數(shù)分別為小,n2,n3,叫?由題意

可以得到C4nl=C^n2=Cnjn2n3=2713n4,所以n1=2H4+1,%=3n3+2,nx=

4n2+3,故小+的+%+%=2s7j23.注意到%,電，啊,%均為整數(shù)，所以七的最小值

為11,Hj+n2+n3+n4=>21.

22

4.A【解析】配方得到廣。-1)2+7n(x-2)+(x-I)>0.取x=1代入，得到m20,為

必要條件;反之，若mNO,則原式20.

5.B【解析】在SB】上取點(diǎn)K,使得出/|=1,則HK1面BCG/,連接PK,^\\HP\2=\HK\2+

\PK\2=16+|PK『.

在平面BCGBi上，以CG所在直線為x軸，以GF所在直線為y軸.由題意可知，P點(diǎn)軌跡為拋

物線，其方程為/=2y-l,K點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4).設(shè)P(x,y),則M=2y-1(其中xe[―3,1],

"[-另]).

故|PK/=/+(y_4)2=2y-1+y2-8y+16=y2-6y+15.

當(dāng)y=36[-另]時(shí)，|PK扁n=6.故|HP|3n=16+6=22.本題考查正方體和拋物線的綜

合應(yīng)用.

6.B【解析】設(shè)直線4B的方程為y=k1(x-2),聯(lián)立匕2：/：，一？)，得心/一4y—8kl=0.

設(shè)%)，5(x2,y2),直線AC的方程為丫=居0-1),聯(lián)立/=合(”一1"得

2

1(y=4x,

—~—V2—y--=0

77

4(%1-1)打一1'

則以"=-4,故無(wú)=?同理知=我故

k-yD-yc_4_4_2k

Q-XD-XC-yD+yc--43+及）一的,

"2

可得"=；.本題考查直線與拋物線相交問(wèn)題.

化22

7.【答案】設(shè)xn=yn?a（n=1,2,???,2008）,則尢=0,yn+1=yn+1或%一1（九=0,L…，

2007）,總有吟=儲(chǔ)_1+2%1T+1,所以2%1T=喏一斤一1一1.于是2（為+為+…+

72008）=y2009~yi~2008.

顯見(jiàn)%EZ,由|、20091="2008+11，yf=1?可知為009為奇數(shù),且僅1+…+丫2008I=

||yfoo9-20091.

因?yàn)樽罱咏?009的奇數(shù)方數(shù)是452,所以M+…+'200812：1452-20091=8,故

a

|%1+,,,+%2008（—8a.又當(dāng)=X3=???—X1963=a,冷=%4=""=久1964=~2a,%1965=>

/966=2a,…，％2009=45a時(shí)，%+…+可取到8a，從而表達(dá)式的最小值為8a.

8.【答案】設(shè)的表示函數(shù)中2第一次出現(xiàn)的位數(shù)（從左至右數(shù)），a2表示上面的2后面出現(xiàn)的第

一個(gè)9的位數(shù)，表示上面的9后面出現(xiàn)的第一個(gè)8的位數(shù)，a4表示上面的8后面出現(xiàn)的第一

個(gè)7的位數(shù).則這樣的一個(gè)覆蓋數(shù)為（當(dāng)n>4時(shí)）8?！?-8a2-J-1.8a3-a「l.8%-a3T,*-人，

于是所有的n位覆蓋數(shù)（非零數(shù)碼）為

ai1

Xl<a1<a2<a3<a4<n8--8叱?！?.8a.8幺又3T.州一叫

在上述求和符號(hào)中，僅當(dāng)%—1=0=a2—l=a3-a2—l=a4-a3—1,即%=1,

a2-ai-1a3-a2-1a4-a3-1

a2=2,a3=3,a