奧數(shù)講義第8講：行程問(wèn)題（二）（講義）-2023-2024學(xué)年五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教版

行程問(wèn)題（二）（五年級(jí)下冊(cè)第8講）【內(nèi)容簡(jiǎn)介】本講重點(diǎn)講相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題。一、相遇問(wèn)題（或相向問(wèn)題）：1．相遇問(wèn)題的概念：兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的發(fā)展，必然面對(duì)面地相遇，這類問(wèn)題叫做相遇問(wèn)題．它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問(wèn)題，一般是指相遇問(wèn)題。2．相遇問(wèn)題公式：相遇問(wèn)題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度。它們的基本關(guān)系式如下：總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時(shí)間相遇時(shí)間＝總路程÷（甲速＋乙速）另一個(gè)速度＝甲乙速度和?已知的一個(gè)速度甲走的路程＋乙走的路程＝兩地距離。二、追及問(wèn)題：1．追擊問(wèn)題的概念：追及問(wèn)題的地點(diǎn)可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問(wèn)題），也可以不同，但方向一般是相同的。由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問(wèn)題．2．追及問(wèn)題公式：根據(jù)速度差、距離差和追及時(shí)間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：距離差＝速度差×追及時(shí)間追及時(shí)間＝距離差÷速度差速度差＝距離差÷追及時(shí)間速度差＝快速?慢速3．解題的關(guān)鍵是在互相關(guān)聯(lián)、互相對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追及時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來(lái)達(dá)到解題目的?！纠?】甲車(chē)每小時(shí)行40千米，乙車(chē)每小時(shí)行60千米。兩車(chē)分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇后3時(shí)，甲車(chē)到達(dá)B地。求A，B兩地的距離？【分析與解答】先畫(huà)示意圖如下：圖中C點(diǎn)為相遇地點(diǎn)。因?yàn)閺腃點(diǎn)到B點(diǎn)，甲車(chē)行3時(shí)，所以C，B兩地的距離為40×3=120（千米）。這120千米乙車(chē)行了120÷60=2（時(shí)），說(shuō)明相遇時(shí)兩車(chē)已各行駛了2時(shí)，所以A，B兩地的距離是（40+60）×2=200（千米）。【小結(jié)】首先根據(jù)題意，用甲車(chē)的速度乘以3，求出甲車(chē)相遇后行駛的路程，即可求出乙相遇時(shí)行駛的路程；然后再除以乙的速度，求出兩車(chē)的相遇時(shí)間；最后根據(jù)速度×?xí)r間＝路程，用兩車(chē)的速度之和乘以相遇時(shí)間，求出A，B兩地的距離即可。此題主要考查了行程問(wèn)題中速度、時(shí)間和路程的關(guān)系：速度×?xí)r間＝路程，路程÷時(shí)間＝速度，路程÷速度＝時(shí)間，要熟練掌握；解答此題的關(guān)鍵是求出兩車(chē)的相遇時(shí)間?！纠?】小明每天早晨按時(shí)從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時(shí)出門(mén)散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米，李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時(shí)刻相遇。有一天小明提前出門(mén)，因此比平時(shí)早9分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時(shí)提前多少分鐘出門(mén)？【分析與解答】因?yàn)樘崆?分鐘相遇，說(shuō)明李大爺出門(mén)時(shí)，小明已經(jīng)比平時(shí)多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），所以小明比平時(shí)早出門(mén)900÷60=15（分）?！拘〗Y(jié)】根據(jù)題意，用兩人9分鐘所行路程除以小明的速度，即為小明早出發(fā)的時(shí)間。計(jì)算為：（60＋40）×9÷60＝15（分鐘），本題主要考查相遇問(wèn)題，關(guān)鍵利用路程、速度和時(shí)間的關(guān)系解題?！纠?】小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時(shí)迎面開(kāi)來(lái)一列火車(chē)，從車(chē)頭到車(chē)尾經(jīng)過(guò)他身旁共用18秒。已知火車(chē)全長(zhǎng)342米，求火車(chē)的速度？【分析與解答】在上圖中，A是小剛與火車(chē)相遇地點(diǎn)，B是小剛與火車(chē)離開(kāi)地點(diǎn)。由題意知，18秒小剛從A走到B，火車(chē)頭從A走到C，因?yàn)镃到B正好是火車(chē)的長(zhǎng)度，所以18秒小剛與火車(chē)共行了342米，推知小剛與火車(chē)的速度和是342÷18=19（米/秒），從而求出火車(chē)的速度為19-2=17（米/秒）?！拘〗Y(jié)】解答錯(cuò)車(chē)問(wèn)題，關(guān)鍵是確定行駛的方向，由此求出速度和或速度差。小剛和火車(chē)相對(duì)而行，18秒共行的路程是342米，所以速度和是342÷18＝19米/秒，然后減去他散步的速度2米/秒，就是火車(chē)的速度?！纠?】甲乙兩車(chē)早上8時(shí)分別從A、B兩地同時(shí)相向出發(fā)，到早上10時(shí)兩車(chē)相距112.5千米。兩車(chē)?yán)^續(xù)行駛到下午1時(shí)，兩車(chē)相距還是112.5千米。A、B兩地的距離是多少？【分析與解答】分析：10點(diǎn)相距112.5千米，下午1點(diǎn)還是112.5千米，說(shuō)明在這3小時(shí)同內(nèi)他們兩人一共走了225千米。所以他們的合速度是225÷3=75千米每小時(shí)，8點(diǎn)到10點(diǎn)有2個(gè)小時(shí)．他們一共走了75×2＝150千米，故AB兩地距離為：150＋112.5＝262.5千米解：早上8點(diǎn)到10點(diǎn)是2個(gè)小時(shí)（112.5＋112.5）÷3×2＋112.5＝75×2＋112.5＝150＋112.5＝262.5（千米）答：AB兩地相距262.5千米．【小結(jié)】首先根據(jù)“中午10時(shí)兩車(chē)還相距112.5千米，繼續(xù)行駛到下午1時(shí)，兩車(chē)還相距112.5千米”求出兩車(chē)速度和，再理解8點(diǎn)到10點(diǎn)這兩個(gè)小時(shí)是從A地到B地市完成本題的關(guān)鍵【例5】鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公路上一輛拖拉機(jī)正以20千米/時(shí)的速度行駛。這時(shí)，一列火車(chē)以56千米/時(shí)的速度從后面開(kāi)過(guò)來(lái)，火車(chē)從車(chē)頭到車(chē)尾經(jīng)過(guò)拖拉機(jī)身旁用了37秒。求火車(chē)的全長(zhǎng)？【分析與解答】與例3類似，只不過(guò)由相向而行的相遇問(wèn)題變成了同向而行的追及問(wèn)題。由上圖知，37秒火車(chē)頭從B走到C，拖拉機(jī)從B走到A，火車(chē)比拖拉機(jī)多行一個(gè)火車(chē)車(chē)長(zhǎng)的路程。用米作長(zhǎng)度單位，用秒作時(shí)間單位，求得火車(chē)車(chē)長(zhǎng)為速度差×追及時(shí)間=[（56000-20000）÷3600]×37=370（米）。【小結(jié)】此題屬于追及問(wèn)題，本題的追及路程就是火車(chē)車(chē)身長(zhǎng)，先求出火車(chē)和汽車(chē)的速度差；再根據(jù)追及路程＝追及時(shí)間×速度差，據(jù)此解答即可。此題主要考查了速度、路程、時(shí)間的關(guān)系，但在本題中速度應(yīng)該是相對(duì)速度；當(dāng)兩物體沿同一方向行駛時(shí)，相對(duì)速度應(yīng)該是兩個(gè)物體行駛的速度的差，當(dāng)兩物體沿相反方向行駛時(shí)，相對(duì)速度應(yīng)該是兩個(gè)物體行駛的速度的和，解答時(shí)要注意統(tǒng)一單位?！纠?】甲騎車(chē)，乙跑步，兩人同時(shí)從一點(diǎn)出發(fā)沿著4千米的環(huán)形公路同方向進(jìn)行晨練。出發(fā)10分鐘后，甲便從乙身后追上了乙，已知兩人的速度和是每分鐘行700米，求甲、乙兩人的速度各是多少？【分析與解答】根據(jù)甲騎車(chē)，乙跑步，兩人同時(shí)從一點(diǎn)出發(fā)沿著4千米的環(huán)形公路同方向進(jìn)行晨練。出發(fā)10分鐘后，甲便從乙身后追上了乙，可以知道甲比乙10分鐘多跑了4千米，即路程差，根據(jù)路程差÷時(shí)間＝速度差，求出甲、乙的速度差是：4000÷10＝400（米/分），然后根據(jù)和差問(wèn)題公式：（和＋差）÷2＝大數(shù)，可以求出甲的速度，根據(jù)（和?差）÷2＝小數(shù)，可以求出乙的速度。解：4千米＝4000米4000÷10＝400（米/分鐘）（700＋400）÷2＝1100÷2＝550（米/分鐘）700?550＝150（米/分鐘）答：甲的速度是550米/分鐘，乙的速度是150米/分鐘【小結(jié)】求出甲、乙的速度差是解答此題的關(guān)鍵?！纠?】如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個(gè)邊長(zhǎng)300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個(gè)對(duì)角處沿逆時(shí)針?lè)较蛲瑫r(shí)出發(fā)。已知甲每分走90米，乙每分走70米。問(wèn)：至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間甲才能看到乙？【分析與解答】當(dāng)甲、乙在同一條邊（包括端點(diǎn)）上時(shí)甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此時(shí)甲、乙的距離是一條邊長(zhǎng)，而甲走了90×15÷300=4.5（條）邊，位于某條邊的中點(diǎn)，乙位于另一條邊的中點(diǎn)，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需300×5÷90=1632分=16分40秒【小結(jié)】解答這類題目，一定要弄清題里數(shù)量間的關(guān)系，理清思路，抓住關(guān)鍵問(wèn)題“必須在一條直線上時(shí)甲才能看到乙”，再進(jìn)行推算就可以了?！纠?】森林中，獵狗發(fā)現(xiàn)前方20米處有一只奔跑的野兔，立即追趕上去，獵狗步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但兔子動(dòng)作快，獵狗跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步，獵狗跑出多遠(yuǎn)才能追上野兔？【分析與解答】獵狗步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，則獵狗跑2×5＝10步路程，則兔要跑9×2＝18步，獵狗跑2步的時(shí)間，兔子卻能跑3步，則獵狗跑2×5＝10步的時(shí)間，兔只能跑3×5＝15步，所以獵狗速度是的兔的速度的18÷15=56，獵狗在每一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)比兔子多走20÷（6?5）＝20米，則獵狗跑出20×6＝120米才能追上野兔。解：獵狗跑2×5＝10的步路程＝兔跑9×2＝18步的路程，獵狗跑2×5＝10步的時(shí)間內(nèi)，兔只能跑3×5＝15步；則獵狗速度與兔的速度比：18：15＝6：5設(shè)獵狗要追x米，野兔則跑x?20米。x：（x?20）＝6：5x＝120答：獵狗跑出120米才能追上野兔?！拘〗Y(jié)】根據(jù)2和5的最小公倍數(shù)為10，獵狗跑5步是時(shí)間距離統(tǒng)起來(lái)，由此求出獵狗和兔子的速度比是完成本題的關(guān)鍵。【練習(xí)】1.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發(fā)步行5分鐘后，小軍騎車(chē)從B村出發(fā)，又經(jīng)過(guò)10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車(chē)比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？【分析與解答】.60米。解：（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）。2.甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A，B兩地相向而行，它們相遇時(shí)距A，B兩地中心處8千米。已知甲車(chē)速度是乙車(chē)的1.2倍，求A，B兩地的距離?！痉治雠c解答】176千米。3.小紅和小強(qiáng)同時(shí)從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強(qiáng)每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強(qiáng)每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強(qiáng)的家相距多遠(yuǎn)？【分析與解答】解：因?yàn)樾〖t的速度不變，相遇地點(diǎn)不變，所以小紅兩次走的時(shí)間相同，推知小強(qiáng)第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強(qiáng)第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）。4.甲、乙兩車(chē)分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，8小時(shí)后相遇，相遇后兩車(chē)?yán)^續(xù)行駛，3小時(shí)后兩車(chē)相距360千米。求A、B兩地間的距離？【分析與解答】分析：已知時(shí)間是8小時(shí)，要求A、B兩地相距多少千米，就要求出兩車(chē)的速度和．因?yàn)閮绍?chē)相遇后是背向而行，由“3小時(shí)后兩車(chē)相距360千米”，可知兩車(chē)的速度和為360÷3＝120（千米），那么A、B兩地相距120×8，計(jì)算即可．解：360÷3×8，＝120×8，＝960（千米）；5.一列快車(chē)和一列慢車(chē)相向而行，快車(chē)的車(chē)長(zhǎng)是280米，慢長(zhǎng)的車(chē)長(zhǎng)是385米。坐在快車(chē)上的人看見(jiàn)慢車(chē)駛過(guò)的時(shí)間是11秒，坐在慢車(chē)上的人看見(jiàn)快車(chē)駛過(guò)的時(shí)間是多少秒？【分析與解答】分析：快車(chē)上的人看見(jiàn)慢車(chē)的速度與慢車(chē)上的人看見(jiàn)快車(chē)的速度相同，所以兩車(chē)的車(chē)長(zhǎng)比等于兩車(chē)經(jīng)過(guò)對(duì)方的時(shí)間比，那么慢車(chē)上看見(jiàn)快車(chē)駛過(guò)的時(shí)間就是快車(chē)上看見(jiàn)慢車(chē)駛過(guò)的時(shí)間的280385，用11秒乘這個(gè)解：11×2803856.甲、乙二人同時(shí)從A地到B地去。甲騎車(chē)每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結(jié)果在甲即將休息的時(shí)刻兩人同時(shí)到達(dá)B地。問(wèn)：A，B兩地相距多遠(yuǎn)？【分析與解答】根據(jù)題意，每30分鐘甲行250×10＝2500米，乙行100×30＝3000米，乙10分鐘行100×10＝1000米，由于3000÷2500＝1…500，500×3＋1000＝2500（米）．因此，AB相距：3000×3＋1000＝10000（米）．7.甲、乙兩人從周長(zhǎng)為1600米的正方形水池相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)逆時(shí)針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人第一次在同一邊上行走？【分析與解答】解：甲追上乙一條邊（400米）需400÷（50-46）=100（分），此時(shí)甲走了50×100=5000（米），位于某條邊的中點(diǎn)，再走200米到達(dá)前面的頂點(diǎn)還需4分，所以出發(fā)后100+4=104（分），兩人第一次在同一邊上行走。8.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進(jìn)3米，兔子一跳前進(jìn)2.1米，狗跳3次的時(shí)間兔子跳4次。兔子跑出多遠(yuǎn)將被獵狗追上？【分析與解答】解：狗跑3×3=9（米）的時(shí)間兔子跑2.1×4=8.4（米），狗追上兔子時(shí)兔子跑了8.4×[20÷（9-8.4）]=280（米）。9.三個(gè)人自A地到B地，兩地相距36千米，三個(gè)人之有一輛自行車(chē)，這輛車(chē)只能坐兩個(gè)人，自行車(chē)的速度比步行速度快兩倍。他們?nèi)藳Q定：第一個(gè)人和第二個(gè)人同時(shí)乘自行車(chē)，第三個(gè)人步行。這三個(gè)人同時(shí)出發(fā)，當(dāng)騎車(chē)的二人到達(dá)某點(diǎn)C時(shí)，騎車(chē)人放下第二個(gè)人，立即沿原路返回去接第三個(gè)人，到某處點(diǎn)D與第三個(gè)人相遇