2020-2021學(xué)年杭州市七縣市高一年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年杭州市七縣市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共32.0分）

1.已知集合4={1,2,3,5,7,11},B={%|3<%<15},則4nB中元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

2.己知a是第三象限角，且cosa=-%則tan］等于()

A.--B.-C.—3D.3

44

3.定義運(yùn)算。十人={?之:則函數(shù)/（%）=/十IM的圖象是（）

4.半徑為6czn,中心角為40。的扇形的弧長為（）

A4II好

A.—cmB.—cmC.ncmD.—cm

5.（理）如圖，直線ky=m（0<m<Z）與函數(shù)/（%）=Acos（3%+

9）（/>0,3>0）的圖象相交于8、C兩點(diǎn)，直線％：y=m與函數(shù)

/（%）=4：05（3%+0）04>0,3>0）的圖象相交于。、E兩點(diǎn)，設(shè)

BQCBQB)，iB5(m)=\xB-xD\,則S(zn)的圖象大致是()

6.在△ABC中，角4B,C所對(duì)應(yīng)的變分別為a,b,c,則“Z<8“是"sizM<s譏8"的（）條

件.

A,充分必要B.必要不充分

C.充分不必要D.既不充分也不必要

7.設(shè)a=;cos6?！?s譏6。，b=2sml3°cosl3°,c=J上詈%,則有（）

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

8.函數(shù)舞磁=羸？-既#：1對(duì)于雄『U］總有舞礴:迎頓成立，則堿的取值范圍為（）

A.喀喇|B.PL#嘮C.WD.|隆用

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.已知/(久)是定義在R上的奇函數(shù)，且/Q)=/(2-x),當(dāng)OWxWl時(shí)，/(%)=2X-1,則關(guān)于

函數(shù)g(x)=|/(久)|+f(|x|)，下列說法正確的是()

A.g(x)為偶函數(shù)

B.方程g(x)=0在［0,4］上恰有三個(gè)實(shí)根

C.g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增

D.g(x)的最大值為2

10.下列各式比較大小，正確的是()

A.1.72.5>1,73B.(|)1>2TC.1.703>0,931D.(|)1>(^)1

11.如圖，透明塑料制成的長方體4BCD內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于水平地

面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，下面四個(gè)命題中正確的是()

A.水面EFGH所在四邊形的面積為定值

B.棱兒。1始終與水面所在平面平行

C.當(dāng)E644］時(shí)，4E+BF是定值

D.當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí)，BE-BF是定值

12.某校數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生對(duì)函數(shù)/(久)=黑(neN*)進(jìn)行探究，得出如下四個(gè)結(jié)論，則正確的

有()

A./(久)是周期函數(shù)

B./(久)是奇函數(shù)

C.n=3時(shí),/'(X)在(0,=有2個(gè)零點(diǎn)

D.f(x)的最大值為

三、單空題(本大題共4小題，共16.0分)

13.眼7=一?

14.已知直線x=a(0<a<兀)與曲線y=siztr和曲線y=—cosx分別交于M、N兩點(diǎn)，則線段MN長

度的最大值是.

15.若正實(shí)數(shù)x,y滿足log?久+log9y=1，則/+y的最小值為.

16.關(guān)于x的方程--+2|%|+3=k有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求出k的求值范圍為.

四、解答題(本大題共5小題，共52.0分)

17.設(shè)全集為R,集合4={%|2刀2-久一6N0},B={x|log2x<2}.

⑴分另怫4cB和(CRB)UA；

(2)已知C={x\a<x<a+1}且C￡B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍構(gòu)成的集合.

18.已知函數(shù)/'(>),g(x)滿足關(guān)系g(x)=+1),

(1)設(shè)/(x)=cosx+sinx,求g(x)的解析式；

(2)當(dāng)/(X)=|sinx|+cos久時(shí)，存在x2GR,對(duì)任意xGR,g(久力<g(x)<貿(mào)女)恒成立，求出-

右1的最小值.

19.已知一次函數(shù)/(%)滿足2/(2)-3/(1)=5,2/(0)-/(-I)=1.

(1)求函數(shù)〃久)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=7/(%)-%2>求函數(shù)9。)的定義域和值域.

20.深圳某商場(chǎng)為使銷售空調(diào)和冰箱獲得的總利潤達(dá)到最大，對(duì)即將出售的空調(diào)和冰箱相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)

行調(diào)查，得出下表:

每臺(tái)空調(diào)或冰箱所需資金(百元)月資金供應(yīng)數(shù)量

資金

空調(diào)冰箱(百元)

成本3020300

工人工資510110

每臺(tái)利潤68

問：該商場(chǎng)怎樣確定空調(diào)或冰箱的月供應(yīng)量，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？

21.已知函數(shù)照礴的定義域是姆I噂，且滿足.舞堿：=，燒書翼城:，翼式：=1，

如果對(duì)于如:A：裁,都有/(磷物/C力

⑴求彝＞；

(2)解不等式金冤一期書J1修一■磷里T.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：

本題主要考查了交集的運(yùn)算.

利用交集的定義即可求解；

解：???4={1,2,3,5,7,11},B={%|3<%<15},

An8=[5,7,11},

???ACiB中元素個(gè)數(shù)為3.

故選B.

2.答案：C

解析：解：「a是第三象限角，且cosa=-g,

sina——V1—cos2<z=-1,

asina?

???tan-=-----=—3,

21+cosa

故選：c

根據(jù)已知結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系公式，可得s譏a,代入半角公式，可得答案.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是同角三角函數(shù)關(guān)系公式，半角公式，難度中檔.

3.答案：B

解析：解：根據(jù)題意，運(yùn)算a十6=丑，其計(jì)算結(jié)果為實(shí)數(shù)a、b中的最大值,

ib,a<b

對(duì)于％2=|%],解可得％=±1,

若%2>|%|,解可得％<一1或%>1,

同理：若％解可得—IV%VI,

則當(dāng)％<-1或%>1時(shí)，有％2>f(X)=x2@|%|=X2,

當(dāng)一1<%V1時(shí)，有％2<|幻，/(%)="十團(tuán)=團(tuán)，

當(dāng)X=±1時(shí)，/(%)=1,

則/(x)的圖象與B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)，

故選：B.

根據(jù)題意，分析運(yùn)算a十b的意義，分析/(?的解析式，據(jù)此分析選項(xiàng)可得答案.

本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及二次函數(shù)和y=|x|圖象的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案:B

解析：解：因?yàn)榘霃綖?c機(jī)，中心角為40。，

所以由扇形弧長公式得/=ar=黑兀-6=^ncm.

loO3

故選：B.

由已知利用弧長公式即可求解.

本題考查了弧長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.答案：B

解析：解：設(shè)B,C兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，D,E兩點(diǎn)關(guān)于直線久=6對(duì)

稱，f(x)的最小正周期為T,

則6-a=1,

???/(X)圖象是中心對(duì)稱圖形，設(shè)/(%)的對(duì)稱中心為(c,0),

貝（UE=2c-KB，xD=2c—xc,

,."(x)是軸對(duì)稱圖形，

a—xB=b—xD,

\XB-XD\=b—a=-T,

故S(m)是常數(shù)函數(shù)，

故選：B.

根據(jù)三角函數(shù)既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)分析四點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系，得出結(jié)論.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

6.答案：A

解析：解：(1)先來看由A<B能否得出sinA<sinB：根據(jù)題意目=-^―=-^―=2r,所以=sinA,

—=sinB,三=sinC；

2r2r

4WB,根據(jù)大角對(duì)大邊得：a<b；

a,b

/.——<—；

2r—2r

■■■sinA<s譏B.所以A<B能得出sinA<sinB,所以A<B是si九4<sinB充分條件.

⑵由sMA<sinB得:￡W品所以a<b,根據(jù)大角對(duì)大邊4<B,所以由si九4<s譏B能得出4<B,

所以4<B是sinA<sinB的必要條件.

綜合(1)(2)得出A<B是sirM<s譏B的充分必要條件,

故選：A.

先來看由aW8能否得出s譏aWsinB,由正弦定理及大邊對(duì)大角，很容易得出si九4Ws出8；再來看

由sMAWsinB能否得出4<B,同樣由正弦定理及大邊對(duì)大角能得出力WB,所以能得出4WB是

sinA<sinB的充要條件.

在解本題時(shí)，注意以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)就可以了:

1.充要條件的概念；2.正弦定理；3.大角對(duì)大邊.

7.答案：C

解析：解：a=1cos6。-^-sin6°=sin(30°—6°)=si九24。，b=2sml3°cosl3°=s譏26。,

l-cos50°i-i+2；i"25=人也225°=Sin250.

貝Us譏24°<s譏25°<sin260,

即a<c<b,

故選：C.

利用兩角和差的正弦公式，三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)值的大小比較，結(jié)合三角函數(shù)的倍角公式以及兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)

是解決本題的關(guān)鍵.

8.答案：C

解析:

本題考查不等式恒成立問題，首先根據(jù)久的取值范圍，將參數(shù)a分離出來，即可將恒成立問題轉(zhuǎn)化為

求最值問題，再求導(dǎo)即可求最值，即可求解.

解：因?yàn)閒fxlil=??-整零書1,

遇，VV

所以，新'確=加，電

當(dāng)t,?；：家包工時(shí)，由遭?得,

令薊礴=多-J.點(diǎn)鮑R,

害需

則翻逆刨『?螭

'=V理應(yīng)

因?yàn)橛蛑?當(dāng)一彳=上暑,?G鯽；［

富安富

7埠1F工”1

當(dāng)如:雷Y—時(shí)，靖（礴海陲，憊1?礴=f-％在|顏臉?上為增函數(shù);

需“震；\工/‘

*1|埠T/I'A

當(dāng)—V需＜?時(shí)，式器j=W?-T在|帆15］上為減函數(shù);

鬟嘉:"案?,鼻f

,門,

所以，罌4對(duì):例=售|彳I=K-?=4二僦四4

當(dāng)-1＜?。碱D時(shí)，由甫（中（19得，

砌三鼻一&,令頸礴=鼻-4:茶缸T懶，則:碰足蜀魏旅

翦算，需蒐

R斗，用…整麻獸一毓-刊帚.

因?yàn)槌琹it砌?=-j-f=—―產(chǎn)圖-.iy?iii,

維?墨?屈?

顯然陶周粉?

vy

謝『斕二1一士在一工確上為減函數(shù)；：礴＜刎'臉''=漪一第=4!

綜上僦=4，

故選c.

9.答案：AD

解析：

先由題中條件，確定〃久)的圖象關(guān)于直線久=1對(duì)稱，且f(x)的周期為4,根據(jù)已知區(qū)間的解析式,

作出函數(shù)/(X)的圖象，根據(jù)函數(shù)基本性質(zhì)，由g(%)=|/(功+/(|久|)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于拔高題.

解:由/Q)=/(2—得f(l+x)=/(I-x),f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱;

???f(x)=f(2-久)，可得f(x+2)=f(-x),

???/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

?1?/(%+2)=/(-%)=-f(%),且函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

??.f(x)是周期為4的函數(shù).

當(dāng)xe［0,1］時(shí)，f(x)=2X-1,

所以根據(jù)函數(shù)〃久)的性質(zhì)作出函數(shù)f(x)在［-2,4］上的圖象如下：

因?yàn)間(x)=l〃x)l+〃|x|)，定義域?yàn)镽，

所以g(-x)=|/(-x)|+/(|-x|)=I-/(x)|+/(|x|)=|/(x)|+/(|x|)=g(x)，

所以g(x)為偶函數(shù)，即A正確；

當(dāng)%e[0,2]時(shí)，g(x)=i/(x)|+/(|x|)=/(%)+/(%)=2/(%),

當(dāng)xe[2,4]時(shí)，g(x)=|/(x)|+/(|x|)=~f(x)+f(x)=0,

即對(duì)于任意xe[2,4]＞都有g(shù)(x)=0,

所以方程g(x)=0在[0,4]上有無數(shù)實(shí)數(shù)根，即B錯(cuò)誤；

又當(dāng)xe[0,1]時(shí),g(x)=2/0)=2X+1-2G[0,2],

所以久6[0,4]時(shí),g(x)最大值為2,

當(dāng)x>。時(shí),g(x)=|/(x)|+/(|x|)=，(%)|+"%)，

所以g(x+4)=I"X+4)|+)(%+.4)=|/(x)|+/(x)=g(x)，

即函數(shù)g(x)在［0,+8)上以4為周期，因此當(dāng)x20時(shí)，g(x)最大值等于2；

又函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以x<0時(shí)，g(x)最大值也等于2,

綜上，。(久)最大值等于2,即。正確；

因?yàn)楫?dāng)x￡(0,1)時(shí)，g(x)=2f(x)=2X+1-2顯然單調(diào)遞增；

再由函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，可得g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤，

故選：AD.

10.答案：BC

解析：解：對(duì)于選項(xiàng)人?.?函數(shù)y=1.7,在R上單調(diào)遞增，且2.5<3,

1.725<1.73,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)8：(|)t=2-1>

?.?函數(shù)y=2、在R上單調(diào)遞增，且一|>一會(huì)

(|)t=2號(hào)>2總故選項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)C：1,703>1.7°=1,0<0.931<0.9°=1,

1.703>0.931,故選項(xiàng)C正確，

對(duì)于選項(xiàng)。?.?函數(shù)y=弓尸在R上單調(diào)遞減，且:>|，

343

???前<()

又???函數(shù)y=久1在(0,+8)上單調(diào)遞增，且|<:，

(|)3<(|是

???(1)*<(|放<(|)t故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,

故選：BC.

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和事函數(shù)的單調(diào)性求解.

本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是基礎(chǔ)題.

11.答案：BCD

解析：解：對(duì)于4：根據(jù)容器的傾斜程度，水面EFGH是不斷發(fā)生變化的，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由于〃平面EFGH,故2正確；

對(duì)于C：利用等體積得知：容器中水的高為BC不會(huì)發(fā)生變化，所以底面積不會(huì)發(fā)生變化，即BE-BF

為定值，故。正確；

由于水的體積的不變性，BE+BF為定值，故C正確；

故選：BCD.

直接利用幾何體的體積公式，線面平行的判定，等體積轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用判斷4、B、C、D的結(jié)論.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：幾何體的體積公式，線面平行的判定，等體積轉(zhuǎn)換法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案：AC

解析：解：???/0+2兀)=駕詈?=也竺=/(久),

sin(x+27r)sinx

???/(%)函數(shù)為周期函數(shù)，故A選項(xiàng)正確，

當(dāng)n=l時(shí)，/(x)=1,/(%)為偶函數(shù)，非奇函數(shù)，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤,

、［/「/、sin3xsin(x+2x)sinxcos2x+sin2xcosx?4.7八

當(dāng)幾=3日于，f(x)=——=：=-------：--------=cosz7x—smz7x+2cos"9%=3—=0,

'、，c7rlvyci-nY

si.nx=+.—V3，

-2

??1Xe(0,7T),

.?.%=?或當(dāng)，故C選項(xiàng)正確,

66

sinn%I嗎,sinnx

,/W-—-?7170-1-----=71，

xn

0不在定義域內(nèi),

f(x)的最大值不為71,故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

運(yùn)用周期函數(shù)、奇函數(shù)的性質(zhì)，即可求解4、B選項(xiàng)，根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和與二倍

角公式，可求解C選項(xiàng)，運(yùn)用極限思維，可直接求解。選項(xiàng).

本題考查了周期函數(shù)、奇函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)，以及極限知識(shí)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔

題.

13.答案：加

解析：試題分析：因?yàn)榻Y(jié)合指數(shù)幕與根式間的關(guān)系式可知舞二-戚書斌=墩一第

考點(diǎn)：本試題考查了根式的運(yùn)算性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng):,同時(shí)要理解根式的含義，靈活的運(yùn)用公式來求解。屬

于基礎(chǔ)題。

14.答案：V2

解析：解：由題意可知|MN|=|s譏a+cosa|=&|sin(a+$|,

則線段|MN|的最大值為近，

故答案為魚.

由題意可得|MN|=a|sin(a+)則可求得線段|MN|的最大值.

本題主要考查兩角和差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.

15.答案:6

解析：W：log3x+log9y=1,(x>0,y>0)

??-log3x+|log3y=1,

2

log3(xy)=2,

x2y—9,

x2+y>2^/x2-y=6,

(當(dāng)且僅當(dāng)x=?y=3時(shí)"=”成立),

故答案為：6.

求出/y=9,根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可.

本題考查了基本不等式性質(zhì)的應(yīng)用，注意滿足條件“一正二定三相等”，本題屬于基礎(chǔ)題.

16.答案：(—0°,3)U{4}

解析:解：設(shè)〃久)=一/+2|幻+3,

則/(%)=[—X2+2%+3,%之。

2

V—X—2%+3,%<0'

作出/(%)的圖象，如圖要使方程一支2+2|%|+3=k有兩個(gè)

不相等的實(shí)根，需使函數(shù)/(%)與y=k的圖象有兩個(gè)不同的

交點(diǎn)，由圖象可知，上＜3.或左=4

故答案為：(—8,3)U{4}.

根據(jù)題意作出y=-/+2|%|+3,y=k的圖象，從圖象

可知何時(shí)直線y=k與y=-x2+2\x\+3=k有兩個(gè)不相等的交點(diǎn)，從而可得結(jié)論.

考查學(xué)生會(huì)根據(jù)解析式作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，會(huì)根據(jù)直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)得到方程解的個(gè)

數(shù).注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題.

17.答案：解：(1)全集為R,集合4={制2比2—久—620}={幻尤=—|或久22},

B={x|log2x<2}={%|0<%<4]；

則aCB={x\2<x<4},

；.CRB={x\x<0或久>4),

(CRB)\JA={x\x<。或x>2}；

(2)C={x\a<x<a+1],且CUB,

.fa20

"ta+1<4'

解得0<a<3；

.??實(shí)數(shù)a的取值集合是{a|0<a<3}.

解析：(1)解不等式求出集合4B,根據(jù)集合的基本運(yùn)算寫出對(duì)應(yīng)的結(jié)果即可；

(2)根據(jù)CcB列出關(guān)于a的不等式組，求出解集即可.

本題考查了不等式的解法和集合的基本運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目.

18.答案:解:由g(x)

⑴當(dāng)/(%)=cosx+sinx,

可得g(%)=(cosx+sinx)[cos(x+])+sin(x+^)]

=(cosx+sinx^cosx—sinx)=cos2x—sin2%=cos2x.

°(%)的解析式為g(%)=cos2x.

(2)/(%)=\sinx\+cos%時(shí)，可得g(%)=(|smx|+cosx)(|cosx|-sinx)=

(cos2x,2kn

<%<-2+2/CTT

—sin2x—1,-+2kli<%<TT+2/CTT

“3TC，€Z?

—cos2x,n+2kn<%<—+2kli

1—sin2x,—+2kn<%<2kn

v22TT+

???存在%i，%2wR，對(duì)任意%wR，g(%i)<5(%)<g(%2)恒成立，

當(dāng)％i=+?；?k7+]時(shí)，可得一

當(dāng)％2=2k冗+r時(shí)，可得9(%)42.

那么：|%i—%2I=|2/C7T+7T-(2fc7T+—)|=—

或者：X-y—%2I=|2/C7T+——(2/CTT+-)|=—

???1%1-徹1的最小值為拳

解析：(1)根據(jù)9(%)=/(%)"(%+》當(dāng)/(%)=cos%+sig帶入化簡(jiǎn)可得g(%)的解析式;

(2)根據(jù)g(%)=/(%),/(%+］),當(dāng)/(%)=cosx+\sinx\,帶入化簡(jiǎn)可得gQr)的解析式；存在%「不eR，

對(duì)任意久cR,g(%i)<g(%)<g(%2)恒成立，根據(jù)象限去掉絕對(duì)值，討論g(%)的最大值和最小值可

得出一女1的最小值.

本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)以及分段函數(shù)最值的討論問題.屬于中檔題.

19.答案：解：(1)設(shè)/*(%)=「』+b,(々。0),

由條件得:檄2"=5,

(2b—(—k+b)=1

解得｛二2，

故/(%)=3%-2；

(2)由(/)知f(%)—x2=—x2+3%—2,

即g(%)=-J—X2+3%—2,

—x2+3%—2>0,

r1

1W比W2,04--+3刀_2<1

定義域?yàn)椋?,2］；值域?yàn)椋?,自

解析：(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求解，解方程組.(2)把/(?代入求解，得出g(x)=,_%2+3%_2,

解不等式—/+3x—220,得1W