工程流體力學：第三章 流體動力學

第三章流體動力學

(FluidDynamics)§3-1流體運動微分方程§3-2伯努利方程§3-3伯努利方程的應用§3-4積分形式動量方程第三章流體動力學

重點：伯努利方程及其應用、伯努利方程的幾何意義和能量意義、動量定理

難點：動量定理第三章流體動力學

雖然實際流體都具有粘性，但是在很多情況下粘性力影響很小，可以忽略，所以討論理想流體的運動規(guī)律不但具有指導意義，而且具有實際意義。

本章先建立理想流體動力學的基本方程——歐拉運動微分方程，然后在特定的條件下積分可以得到伯努利方程，介紹其實際應用，最后推導出動量，并舉例。同時在推導理想流體動力學的基本方程——歐拉運動微分方程時，也推導粘性流體動力學的基本方程——N-S方程。第三章流體動力學§3-1

流體運動微分方程

理想流體的運動微分方程，是牛頓第二定律在理想流體中的具體應用。這里采用微元體積法導出歐拉運動微分方程。一、理想流體的運動微分方程第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程

如圖，在流場中建立直角坐標系oxyz，任取一微元六面體，其邊長分別為dx、dy、dz。

平行六面體，頂點為處的速度是，壓強為。六面體平均密度為，作用在六面體上的力有表面力和質量力。以y方向為例進行受力分析。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程左面：故沿y方向表面力的合力是：右面：

1.y方向的表面力由于討論的流體是理想流體,作用在流體表面上的力只有法向力,其方向為內法線方向。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程2.y方向的質量力設作用在六面體上沿y軸的單位質量力為Y，則流體質量力在y方向的分力為。3.推導運動微分方程根據(jù)牛頓第二定律，作用在流體上的諸力在任一軸投影的代數(shù)和應等于流體的質量與該軸上加速度投影的乘積。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程故對y軸有：又：所以：第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程同理可得另外兩個方向的運動微分方程，寫在一起：第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程即為理想流體運動微分方程，也稱歐拉運動微分方程。三式綜合寫成矢量形式：

此式對可壓縮及不可壓縮或定常流及非定常流的理想流體均適用。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程二、粘性流體的運動微分方程(N-S方程)建立直角坐標系和選微平行六面體模型第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程受力分析頂點為A，邊長為:dx、dy、dz質量力:X、Y、Z表面力:x=xA面:(頂點A)x=xA+dx面:第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程同理可得其它面上表面力。從圖中，可以看出頂點A的應力張量為：切應力下標定義：第一個下標表示作用力所處表面的法線方向；第二個下標表示該作用力的方向。表面力方向的確定：當力的作用面的法線方向與坐標軸正向一致時，力的方向為正；反之，為負。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程共有9個分量?？梢宰C明，應力張量具有對稱性：實際上應力張量中只有六個分量是獨立的。建立運動方程第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程整理為應力形式的粘性流體運動微分方程：式中未知函數(shù):三個速度分量和六個應力分量，加上連續(xù)性方程，只有四個方程，方程組不封閉。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程補充應力與速度之間的關系：a:廣義牛頓內摩擦定律：b:粘性流體中法向應力的表達式：第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程整理，得到方程

將補充的切向應力和法向應力關系式代入應力形式的運動方程，得：這就是直角坐標系下的N-S方程。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程對于不可壓縮流體：矢量形式：運動微分方程簡化為：第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程

運動微分方程的三個分量式中有四個未知數(shù)、、和，再加上連續(xù)方程式共四個方程組，方程封閉，理論上可求解。當然還要滿足所提問題的邊界條件、初始條件，這一問題不是本課程的討論范圍。

但是對于復雜的流動很難得到問題的解析解，只有在一些特殊條件下，才能求出解析解，如歐拉運動微分方程的積分解——伯努利方程。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程方程為非定常的偏微分方程，求解時應給定邊界條件和初始條件。固體邊界條件采用固體無滑移條件(與理想流體不同？)。第三章流體動力學§3-1流體運動微分方程§3-2伯努利方程

介紹伯努利(D.Bernouli1700－1782)方程的推導和應用。

伯努利方程的推導：是歐拉方程對定常運動沿流線的積分。第三章流體動力學

§3-2伯努利方程伯努利方程的限制條件：(1)理想流體；(3)重力場中；(4)定常流動；(5)沿流線積分。一、伯努利方程的推導(2)不可壓縮流體；求解歐拉運動微分方程第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

推導過程主要將歐拉運動微分方程沿流線積分，再將積分號下的項變形為某個函數(shù)的全微分，得到積分方程。然后在質量力為重力的情況下，整理出要求的伯努利方程。歐拉運動微分方程：第三章流體動力學

§3-2伯努利方程其中dx、dy、dz為流線上的線元的分量。x方向y方向z方向第三章流體動力學

§3-2伯努利方程沿流線積分：首先，定常流動，有：以z方向為例：等式左邊：第三章流體動力學

§3-2伯努利方程等式簡化為：即：將左邊變形：流線方程第三章流體動力學

§3-2伯努利方程等式右邊變形：同理可得：所以等式變?yōu)椋篨方向y方向z方向第三章流體動力學

§3-2伯努利方程三式相加：整理：即：第三章流體動力學

§3-2伯努利方程此式即為歐拉運動微分方程的伯努利積分，它表明：對于不可壓縮理想流體，在有勢質量力作用下作定常流時，在同一條流線上值保持不變，該常數(shù)值稱為伯努利積分常數(shù)。對于不同的流線伯努利積分常數(shù)一般不相同。第三章流體動力學

§3-2伯努利方程通常寫為：或在流線上任意兩點上成立：上式即為理想流體定常、不可壓縮、重力場中沿流線的伯努利方程。

當流動定常且無旋時，積分常數(shù)Cl適用用于整個流場。12第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

：表示研究點相對某一基準面的幾何高度，稱位置水頭。二、伯努利方程的幾何意義和物理意義1.幾何意義

伯努利方程式每一項的量綱與長度相同，都表示某一高度。

：表示研究點處壓強大小的高度，表示與該點相對壓強相當?shù)囊褐叨?，稱壓強水頭。

：表示研究點處速度大小的高度,稱速度水頭。：稱總水頭。第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

：表示單位重量流體對某一基準具有的位置勢能。：表示單位重量流體具有的壓強勢能。：表示單位重量流體具有的動能。

伯努利方程表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動過程中三種形式的水頭可互相轉化，但位置水頭、壓力水頭和速度水頭之和為一常數(shù)，即總水頭線為一條水平線。

2.能量意義

伯努利方程也表明重力作用下不可壓縮理想流體定常流動過程中單位重量流體所具有的位能、動能和壓強勢能可互相轉化，但總機械能保持不變。Conservationofmechanicalenergy第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

如空氣低速流動，重力影響可忽略不計。流動在同一水平面內，即流線與基本面平行，伯努利方程寫為：三、忽略重力的伯努利方程

沿流線壓力越低，速度越大，壓力越大，速度越低。降壓提高流速，但液體，當壓力下降到汽化壓力以下時，液體汽化，先或氣泡，稱為空泡現(xiàn)象，上式不再成立。第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

若能求出了流場的速度分布(理論或實驗的方法)，就能用伯努利方程求流場的壓力分布，再將壓力分布沿固體表面積分，就可求出流體與固體之間的相互作用力。據(jù)此，可解釋許多重要的物理現(xiàn)象：如機翼產生升力的原因；兩艘并排行駛而又靠得很近的船舶為什么會產生互相吸引的“船吸現(xiàn)象”；以及在淺水航道行駛的船舶為什么會產生“吸底現(xiàn)象”等等。足球“香蕉球”同學畫。第三章流體動力學

§3-2伯努利方程第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

在流動的過程中，如果外界有能量輸入，如水泵，或流體向外界輸出能量，如水輪機，根據(jù)伯努利方程的能量意義，則伯努利方程應寫為：四、有能量輸入或能量輸出的伯努利方程E為單位重量流體與外界交換的機械能。輸入能量為“+”，輸出為“－”。第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

流束的極限為流線。為工程上的應用，現(xiàn)將伯努利方程推廣到有限大的流束(總流)。

漸變流動：流線近似平行，而且流線的曲率很小的流動。否則稱為急變流動。五、沿有限流束(總流)的伯努利方程

漸變流動的特點：在整個有效截面上為常數(shù)，即服從靜壓分布規(guī)律：第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

為簡單計，約定取有效截面形心處的數(shù)值。12345671212緩變流：1、3、5、71段有效截面上：7段有效截面上：第三章流體動力學

§3-2伯努利方程

由于圖中一維理想流體緩變流有效截面上的速度又處處相等，那么有下式成立：1234567121212此式即為理想流體總流的伯努利方程。說明在兩緩變流有效截面上三項之和相等，與中間流動無關。1、2點不在同一根流線上第三章流體動力學

§3-2伯努利方程一、小孔口出流

大容器內裝有液體，容器底部開一小孔，液體在重力作用下從小孔流出，求流量。

伯努利方程解題思路：判斷成立的條件是否滿足，確定基準面，然后選取合適的流線上兩點或者兩個緩變流有效截面建立伯努利方程，解出待求物理量。選取點或面的方法是選取自由面、無窮遠處或者物理量已知處，以及待求物理量處?！?-3伯努利方程的應用第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

設小孔面積為a，容器液面面積為A,A>>a，因此液面高度h近似認為不變(近似為定常流動)，粘性忽略不計，且此時流體的質量力只有重力，滿足伯努利方程的前提條件。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

從圖中可見，出流流束有一收縮截面(離開流出孔有一小段距離)，此截面上流速相互平行，為緩變流截面。取小孔軸線所在的水平面為基準面，把整個容器看成一個大流管。取容器的液面為流管第一個截面，出流流束截面收縮到最小處為第二截面，并列伯努利方程：第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用截面Ⅰ：截面Ⅱ：(近似)(表壓)(表壓)(待求)解出小孔理想出流的速度公式：

可以看出水位高為h時，小孔的出流速度與高度為h的流體的自由落體的末速度相同。實際上，因為粘性阻力的影響，出流速度小于此值，一般用一個流速系數(shù)來修正，則：由實驗確定，其值常在0.96～１之間。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用則實際流量是：其中，為流量系數(shù)。

在小孔出口,發(fā)生縮頸效應。設縮頸處的截面積為，收縮系數(shù)：

由實驗測定，例如圓形孔口，其值為0.61～0.63。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用二、畢托管(PitotTube)

畢托管是一種測定空間點流速的儀器。畢托管是彎成直角而兩端開口的細管。

如圖所示，測河道流速時，將畢托管一端迎向來流，另一端豎直向上。流體在管中上升，到達一定高度靜止，設高出液面h，求流速v。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用其中：

沿入口前流線列A、B兩點的伯努利方程：代入方程，解得：(B點稱為滯止點或駐點。)第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

如圖，若要測定管流液體中A點的流速v，在A點布置測壓管，可測出該點的靜壓，并在A點下游相距很近的地方放一根畢托管，一端的出口置于與A點相距很近的B點處，并正對來流，另一端向上。在B點處由于畢托管的阻滯，流速為0，動能全部轉化為壓能，畢托管與測壓管中液面高度差為h。

應用理想流體定常流沿流線的伯努利方程于A、B兩點，并取AB連線所在平面作為基準面(或如圖所示），則有：第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

對于實際液體在應用上式計算A點流速時，需考慮液體粘性對液體運動的阻滯作用，以及畢托管放入流場后對流動的干擾，應使用修正系數(shù)，對該式的計算結果加以修正。一般小于1，即式中為流速系數(shù)，其值一般由試驗率定。其中：代入方程，解得：第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用其中，為畢托管系數(shù)。

為了方便，可將測壓管和皮托管結合在一起，形成“聯(lián)合測管”，或稱普朗特管，如圖所示。

其原理為：第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

應用伯努利方程的原理可以制成各種測量流速或流量的儀器。文德利管就是其中的一種。三、文丘里管(VenturiTube)

為了測量管中的流速或流量，可以在管道中串聯(lián)一段由入口段、收縮段、喉部和擴散段組成管段，稱為文德利管，如圖所示。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

為了測量管中的流速或流量，可以在管道中串聯(lián)一段由入口段、收縮段、喉部和擴散段組成管段，稱為文德利管，如圖所示。在文丘里管入口斷面1和喉部處斷面2兩處測量壓差，設斷面1、2的平均速度、平均壓強和斷面面積分別為、、和、、，流體密度為，比壓計中流體密度為。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

列1、2兩緩變流有效截面的伯努利方程：移項，可得：又：

、

截面上為緩變流，壓強分布規(guī)律與U形管內靜止流體一樣，可得：則：第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用(1)所以：那么：等壓面：

一個方程解不出兩個未知數(shù)，添加連續(xù)性方程。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用(2)(3)將：連續(xù)性方程

：代入：解得：其中μ稱為流速系數(shù)：文丘里管的流量公式為：第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用(4)(5)四、虹吸管

如圖所示，為連接兩個水箱的一段虹吸管。已知管徑d=150mm,H1=3.3m,H2=1.5m,z=6.8m，設不計能量損失，求虹吸管中通過的流量及管道最高點Ｓ處的真空值。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用管道流量：解：取為基準面，列0截面和2截面的伯努利方程：解方程得：第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用真空度為：

列截面0和1的伯努利方程，可求得虹吸管頂點S處的真空度。故S點的真空度水柱高為：思考書上例題的應用?？磿?講解第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用

伯努利解題思路：判斷是否滿足伯努利方程成立的條件；取基準面；選流線上的兩點，或選兩個緩變流的有效截面；一般選在物理量已知、液面、無窮遠處以及待求物理量處；列伯努利方程，確定物理量的值；有時與連續(xù)性方程、測壓儀器聯(lián)立求解；解方程。

注意的問題：1.同一基準面,統(tǒng)一壓強形式(一般絕對或相對)；2.總流伯努利方程一定建立在緩變流有效截面。第三章流體動力學

§3-3伯努利方程的應用§3-4積分形式動量方程（TheoremofMomentum）

工程中常見流體和物體之間的相互作用問題——求作用力的合力(對這些力的具體作用過程、分布狀況不感興趣)。這時應用動量定理較為合適與方便。

動量定理是動量守恒定律在流體力學中的具體表達。本節(jié)討論流體作定常流動時的動量變化和作用在流體上的外力之間的關系。LawofConservationofMomentum第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程此動量定理是按拉格朗日觀點對質點系導出的，在流體力學中，需將其轉換成適合于控制體的形式(歐拉法)。一般力學中動量定理表述為：系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在該系統(tǒng)上的所有外力的矢量和。第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程

控制體：相對于所選坐標系，在流場中任意選取形狀、大小任意，固定不動的空間。

控制面：控制體的邊界(可以是流體，固體)流體經過控制面流入、流出。通過控制面一般有流體質量、動量、能量交換，控制體內與控制體外的流體(或固體)存在作用力與反作用力。第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程下面推導適合于控制體形式動量方程。t時刻，在流場中取一控制體，體積為,控制面面積為。經過時間dt以后，設內的流體質點系移動到了新的位置

(虛線所示)。第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程經過dt流體所產生的總動量變化為：第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程

對于定常運動時，公共區(qū)域Ⅱ內動量是不隨時間變化的，即

從物理意義上講，t+dt時刻體積Ⅲ所具有的動量等于經過dt時間從控制面的流出面

流出的流體所具有的動量，即：第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程

同樣地，t+dt時刻體積Ⅰ所具有的動量等于經過dt時間從控制面的流入面

流入的流體所具有的動量，即：則：上式中流入面的法線方向為控制面的內法線方向，將其改為外法線方向，則積分號前面加一負號“-”。第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程動量的變化率為：代入動量定理，得：為定常流動的動量方程，表明定常流動，控制面上流體動量的變化率等于作用于控制面內流體上的合外力。為矢量方程，在直角坐標系下分解：第三章流體動力學

§3-4積分形式動量方程應用動量方程應注意：1、矢量方程，將方程分解為坐標軸方向，便于求解。2、合外力包括：周圍固體和流體的表面壓力及表面粘性力、質量力等，不要漏掉。3、

用分解坐標軸下的動量方程求解時，應注