2023中考數(shù)學(xué)真題專項(xiàng)匯編特訓(xùn) 專題18矩形菱形正方形(共39題)(原卷版+解析)

專題18矩形菱形正方形（39題）一、單選題1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為，上的一點(diǎn)，且，連接．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）下列命題正確的是(

)A．正方形的對(duì)角線相等且互相平分 B．對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形C．矩形的對(duì)角線互相垂直 D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形4．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．1 C． D．5．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在四邊形中，．下列說(shuō)法能使四邊形為矩形的是（

）A． B． C． D．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，以鈍角三角形的最長(zhǎng)邊為邊向外作矩形，連結(jié)，設(shè)，，的面積分別為，若要求出的值，只需知道(

)

A．的面積 B．的面積 C．的面積 D．矩形的面積7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在矩形中，，與相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心 B．點(diǎn)O為線段的對(duì)稱中心C．直線為矩形的對(duì)稱軸 D．直線為線段的對(duì)稱軸8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．9．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為邊的中點(diǎn)，連結(jié)．若，則（

）

A．2 B． C．3 D．410．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（

）

A．2 B．4 C．5 D．611．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，為對(duì)角線的中點(diǎn)，．動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且始終保持．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．在整個(gè)過(guò)程中，四邊形形狀的變化依次是（

）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形12．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，連接并延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)F，連接，若，則的長(zhǎng)度為（

）

A．2 B． C．1 D．二、解答題13．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，．

(1)證明：；(2)連接、，證明：四邊形是菱形．14．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．15．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，其對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．

(1)是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證：四邊形是菱形．16．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，和相交于點(diǎn)，，．點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是矩形．17．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，分別是的平分線，且分別在邊上，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，的面積等于，求平行線與間的距離．18．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l分別與、所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）

(1)求證：；(2)當(dāng)直線時(shí)，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．19．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．20．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上的一點(diǎn)，且．

(1)尺規(guī)作圖（請(qǐng)用鉛筆）：作的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．21．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)己知，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)．的長(zhǎng)為__________．22．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且，，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求證：四邊形是菱形．23．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形．

(1)尺規(guī)作圖；作對(duì)角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；(2)若直線分別交，于，兩點(diǎn)，求證：四邊形是菱形24．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)?shù)膶?duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？25．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)連接，若，求證：四邊形是矩形．26．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在的邊上，，請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①；②；③，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使為矩形．

(1)你添加的條件是_________（填序號(hào)）；(2)添加條件后，請(qǐng)證明為矩形．27．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作，，分別交、于點(diǎn)E、F，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求點(diǎn)C到的距離．28．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，為對(duì)角線．

(1)證明：四邊形是平行四邊形．(2)已知，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．三、填空題29．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：______，使四邊形成為菱形．

30．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，為菱形的對(duì)角線，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_______________．31．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，則的長(zhǎng)為___________．

32．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，連接，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是________．

33．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則________．

34．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)O，連接，，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．若，，則四邊形的面積為______．

.35．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點(diǎn)，且，若菱形的面積等于24，，則___________________．

36．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）出入相補(bǔ)原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一，最早是由三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)建．“將一個(gè)幾何圖形，任意切成多塊小圖形，幾何圖形的總面積保持不變，等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內(nèi)容之一、如圖，在矩形中，，，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)F，G，則___________．

37．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為___________．

38．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為32，則的長(zhǎng)為___________．

39．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，．在邊上取一點(diǎn)E，使，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為________．

專題18矩形菱形正方形（39題）一、單選題1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形∴，∴，∵，∴,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握是菱形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為，上的一點(diǎn)，且，連接．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，然后結(jié)合得到，然后證明出，最后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵四邊形是正方形∴，∵∴，∴∴又∵，∴∴∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．3．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）下列命題正確的是(

)A．正方形的對(duì)角線相等且互相平分 B．對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形C．矩形的對(duì)角線互相垂直 D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形【答案】A【分析】根據(jù)正方形、平行四邊形、矩形、菱形的各自性質(zhì)和構(gòu)成條件進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分，描述正確；B、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形，只是內(nèi)接于圓，描述錯(cuò)誤；C、矩形的對(duì)角線不一定垂直，但相等，描述錯(cuò)誤；D、一組鄰邊相等的平行四邊形才構(gòu)成菱形，描述錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟悉掌握各類特殊四邊形的判定和性質(zhì)．4．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B．1 C． D．【答案】D【分析】連接與交于O．先證明是等邊三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，即可求得的長(zhǎng)度．【詳解】解：連接與交于O．

∵四邊形是菱形，∴，，，，∵，且，∴是等邊三角形，∵，∴，，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．5．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）在四邊形中，．下列說(shuō)法能使四邊形為矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可．【詳解】A：，為平行四邊形而非矩形故A不符合題意B：，為平行四邊形而非矩形故B不符合題意C：為矩形故C符合題意D：不是平行四邊形也不是矩形故D不符合題意故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，以鈍角三角形的最長(zhǎng)邊為邊向外作矩形，連結(jié)，設(shè)，，的面積分別為，若要求出的值，只需知道(

)

A．的面積 B．的面積 C．的面積 D．矩形的面積【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易得：，利用矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式，可得，再根據(jù)，得到，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵矩形，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，又，∴，∴只需要知道的面積即可求出的值；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，求三角形的面積．解題的關(guān)鍵是得到7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在矩形中，，與相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心 B．點(diǎn)O為線段的對(duì)稱中心C．直線為矩形的對(duì)稱軸 D．直線為線段的對(duì)稱軸【答案】A【分析】由矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，線段的對(duì)稱中心是線段的中點(diǎn)，矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線，從而可得答案．【詳解】解：矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，故A符合題意；線段的對(duì)稱中心是線段的中點(diǎn)，故B不符合題意；矩形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是過(guò)一組對(duì)邊中點(diǎn)的直線，故C，D不符合題意；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的含義，矩形的性質(zhì)，熟記矩形既是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，，在和中，，，，，，，又，，設(shè)，則，，，解得，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為邊的中點(diǎn)，連結(jié)．若，則（

）

A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】先由菱形的性質(zhì)得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解．【詳解】解：∵菱形，∴，，，∴由勾股定理，得，∵E為邊的中點(diǎn)，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（

）

A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半即可得到答案．【詳解】解：∵將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開后得到四邊形，∴，與互相平分，∴四邊形是菱形，∵，，∴菱形的面積為．故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，為對(duì)角線的中點(diǎn)，．動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且始終保持．點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為；點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．在整個(gè)過(guò)程中，四邊形形狀的變化依次是（

）A．菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形B．菱形→正方形→平行四邊形→菱形→平行四邊形C．平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形→平行四邊形D．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形→菱形【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別證明四邊形是菱形，平行四邊形，矩形，即可求解．【詳解】∵四邊形是矩形，∴，，∴，，∵、，∴∵對(duì)稱，∴，∴∵對(duì)稱，∴，∴，同理，∴∴∴四邊形是平行四邊形，如圖所示，

當(dāng)三點(diǎn)重合時(shí)，，∴即∴四邊形是菱形，如圖所示，當(dāng)分別為的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，，在中，，連接，，∵，∴是等邊三角形，∵為中點(diǎn)，∴，，∴，根據(jù)對(duì)稱性可得，∴，∴，∴是直角三角形，且，∴四邊形是矩形，

當(dāng)分別與重合時(shí)，都是等邊三角形，則四邊形是菱形

∴在整個(gè)過(guò)程中，四邊形形狀的變化依次是菱形→平行四邊形→矩形→平行四邊形→菱形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理與勾股定理的逆定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，連接并延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)F，連接，若，則的長(zhǎng)度為（

）

A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)正方形得到，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求得，再證明，求得，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半，即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，連接，

四邊形是正方形，，，，，，，平分，，，在與,，，，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形特征，作出正確的輔助線，求得是解題的關(guān)鍵．二、解答題13．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)作的垂線，分別交，于點(diǎn)，．

(1)證明：；(2)連接、，證明：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)是的中點(diǎn)，可得，即可證明；（2）根據(jù)可得，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，即可得證．【詳解】（1）證明：如圖所示，

∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在與中，∴；（2）∵∴，又∵∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)3【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形分析推理；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求得的面積，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵矩形中，，∴平行四邊形是菱形；（2）解：矩形的面積為，∴的面積為，∴菱形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的判定，屬于中考基礎(chǔ)題，掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法，正確推理論證是解題關(guān)鍵．15．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，其對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．

(1)是直角三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證：四邊形是菱形．【答案】(1)是直角三角形，理由見解析．(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可求證．【詳解】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴是直角三角形．（2）證明：由（1）可得：是直角三角形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)角線互相平分，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．16．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，和相交于點(diǎn)，，．點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）直接證明，得出，根據(jù)、分別是、的中點(diǎn)，即可得證；（2）證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)，推導(dǎo)出是等邊三角形，進(jìn)而可得，即可證明四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：在與中，∴，∴，又∵、分別是、的中點(diǎn)，∴；（2）∵，∴四邊形是平行四邊形，，∵為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形中，分別是的平分線，且分別在邊上，．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，的面積等于，求平行線與間的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證，再證，從而四邊形是平行四邊形，又，于是四邊形是菱形；（2）連接，先求得，再證，，于是有，得，再證，從而根據(jù)面積公式即可求得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵分別是的平分線，∴，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：連接，

∵，，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，，∴，即，∴，∵，∴，∵的面積等于，∴，∴平行線與間的距離．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離，熟練掌握平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定，角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角函數(shù)的應(yīng)用以及平行線間的距離等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l分別與、所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）

(1)求證：；(2)當(dāng)直線時(shí)，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析；(2)四邊形為菱形；理由見解析【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）連接、，根據(jù)，得出，根據(jù)，證明四邊形為平行四邊形，根據(jù)，證明四邊形為菱形即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵，∴，，在和中，，∴；（2）解：四邊形為菱形，理由如下：連接、，如圖所示：

根據(jù)解析（1）可知，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，即，∴四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)的三角形全等即可證明．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可推出度數(shù)，再根據(jù)第一問(wèn)的三角形全等和直角三角形的性質(zhì)可求出和度數(shù)，從而求出度數(shù)，證明了等邊三角形，即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：菱形，，又，．在和中，，．．（2）解：菱形，，，．又，．由（1）知，．．，等邊三角形．．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等的方法和菱形的性質(zhì)．20．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E是矩形的邊上的一點(diǎn)，且．

(1)尺規(guī)作圖（請(qǐng)用鉛筆）：作的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析；(2)四邊形是菱形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合尺規(guī)作角平分線的方法作圖即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合角平分線的定義可得，則，然后根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）四邊形是菱形；理由：∵矩形中，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作角平分線，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定以及菱形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．21．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)己知，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)．的長(zhǎng)為__________．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）由題意可知易得，即，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；（2）如圖，在中，由角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對(duì)角線平分對(duì)角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可知，，，，四邊形地平行四邊形；（2）如圖，在中，，，，，，四邊形是菱形，平分，，，，，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對(duì)等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)綜合求解．22．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且，，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判定證明即可；（2）方法一：利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出，又，再由菱形的判定證明即可；方法二：利用（1）中結(jié)論得出，結(jié)合菱形的判定證明即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，即在和中，，∴∴，∴（2）方法一：在和中，，∴∴，又，∴四邊形是平行四邊形∵，∴是菱形；方法二：∵，∴∴，又，∴四邊形是平行四邊形∵，∴是菱形．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．23．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形．

(1)尺規(guī)作圖；作對(duì)角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；(2)若直線分別交，于，兩點(diǎn)，求證：四邊形是菱形【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的作圖方法進(jìn)行作圖即可；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，證明，得到，得到四邊形為平行四邊形，根據(jù)，即可得證．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，如圖：設(shè)與交于點(diǎn)，

∵是的垂直平分線，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖—作垂線，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定．熟練掌握菱形的判定定理，是解題的關(guān)鍵．24．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．

(1)試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)?shù)膶?duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？【答案】(1)平行四邊形，見解析；(2)且【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．（2）根據(jù)對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可．【詳解】（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：∵的對(duì)角線交于點(diǎn)，∴，∵以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，∴∴四邊形是平行四邊形．（2）∵對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，∴且時(shí)，四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)連接，若，求證：四邊形是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析；【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出，然后利用“角角邊”證明三角形全等，再由全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴；∴，∵，∴；（2）證明：，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．26．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)在的邊上，，請(qǐng)從以下三個(gè)選項(xiàng)中①；②；③，選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使為矩形．

(1)你添加的條件是_________（填序號(hào)）；(2)添加條件后，請(qǐng)證明為矩形．【答案】(1)答案不唯一，①或②；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行選??；（2）通過(guò)證明可得，然后結(jié)合平行線的性質(zhì)求得，從而得出為矩形．【詳解】（1）解：①或②（2）添加條件①，為矩形，理由如下：在中，，在和中，∴∴，又∵，∴，∴，∴為矩形；添加條件②，為矩形，理由如下：在中，，在和中，∴∴，又∵，∴，∴，∴為矩形【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)和矩形的判定方法（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）是解題關(guān)鍵．27．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D為邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)D作，，分別交、于點(diǎn)E、F，連接．

(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求點(diǎn)C到的距離．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)證明，再利用四邊形內(nèi)角和為，證明，即可由矩形判定定理得出結(jié)論；（2）先由勾股定理求出，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．（2）解：∵，，∴設(shè)點(diǎn)C到的距離為h，∵∴∴答：點(diǎn)C到的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定，平行線的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握矩形的判定定理和利用面積法求線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．28．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，，為對(duì)角線．

(1)證明：四邊形是平行四邊形．(2)已知，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上（保留作圖痕跡，不要求寫作法）．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）先證明，再證明，即，從而可得結(jié)論；（2）作對(duì)角線的垂直平分線交于，交于，從而可得菱形．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，即．∴．∴四邊形是平行四邊形．（2）如圖，

四邊形就是所求作的菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，作線段的垂直平分線，菱形的判定，熟練的利用菱形的判定進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．三、填空題29．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，于點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：______，使四邊形成為菱形．

【答案】（荅案不唯一）【分析】根據(jù)題意，先證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)，可得四邊形成為菱形．【詳解】解：添加條件∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．添加條件∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．添加條件∵，∴∵，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．添加條件在與中，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．故答案為：（或或等）．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．30．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，為菱形的對(duì)角線，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_______________．【答案】【分析】根據(jù)題意得出是等邊三角形，進(jìn)而得出，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵在菱形中，為菱形的對(duì)角線，∴，，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，中位線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．31．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，則的長(zhǎng)為___________．

【答案】10【分析】由菱形中，，易證得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記菱形的性質(zhì)并推出等邊三角形是解題的關(guān)鍵．32．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，連接，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)是________．

【答案】或【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方時(shí)，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵四邊形為菱形，，∴，連接，①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A上方時(shí)，如圖，∵，，∴，②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方時(shí)，如圖，∵，，∴，故答案為：或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對(duì)角線平分內(nèi)角；等腰三角形兩底角相等，三角形的內(nèi)角和為；三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．33．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，，，，垂足分別為，，若，則________．

【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，及三角函數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】解：在菱形中，，，，，，在中，，同理，，，，在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，及三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．34．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)O，連接，，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．若，，則四邊形的面積為______．

.【答案】24【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定可推得四邊形為菱形，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求得四邊形的面積．【詳解】∵，∴，∵的