矩陣的初等變換和秩

例題線性方程組增廣矩陣解:②+(-3)*①,③+(-2)*①,④+2*①,④+1*②,(-1/5)*③,②<->③,③+7*②,(-1/6)*③,梯形方程組行階梯形矩陣回代得解，行最簡(jiǎn)形矩陣初等行變換：交換兩行()；以數(shù)乘某一行的所有元素()；把某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上去()。同樣可以定義初等列變換：行列(r->c)。矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱初等變換。初等變換是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換：的逆變換就是其本身；的逆變換是；的逆變換是。矩陣之間的等價(jià)關(guān)系：矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣B，稱A與B行等價(jià)()；矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣B，稱A與B列等價(jià)()；矩陣A經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B，稱A與B列等價(jià)()。等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：反身性：；對(duì)稱性：；傳遞性：。注：1.任何矩陣行梯形或行最簡(jiǎn)形矩陣；2.任意矩陣標(biāo)準(zhǔn)形，其中r=行梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)。初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。注：1.初等矩陣都是可逆的，且逆矩陣都是同一類型的初等矩陣：性質(zhì)1設(shè)A是矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣；性質(zhì)2方陣A可逆<==>存在有限個(gè)初等矩陣，使得。定理1設(shè)A和B是矩陣，則<==>存在m階可逆矩陣P，使得PA=B;<==>存在n階可逆矩陣Q，使得AQ=B;<==>存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B;推論方陣A可逆<==>求逆矩陣的初等變換法：設(shè)A可逆，也可逆，則求解矩陣方程AX=B，其中A是可逆矩陣：例1設(shè)，證明A可逆，并求.解因，故A可逆，且.例2求解矩陣方程AX=A+2X，其中.解由AX=A+X得(A-2E)X=A.若A-2E可逆，則X=(A-2E)-1A.這里.矩陣的秩子式：在矩陣A中，任取k行k列（），位于這些行列交叉處的個(gè)元素按照原來順序組成的一個(gè)k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。矩陣的秩：設(shè)在矩陣A中存在一個(gè)k階子式D，而所有k+1階子式（若存在）=0，則稱D為A的最高階非零子式，數(shù)k稱為A的秩，記為R(A)=k，r(A)=k或秩(A)=k。例題注：1.；2.對(duì)于一般的矩陣，應(yīng)用定義求秩很麻煩。然而行梯形矩陣的秩=非零行的個(gè)數(shù)；例題3.我們注意到初等變換可以把矩陣化為行梯形矩陣。定理2若，則，即初等變換不改變矩陣的秩.推理若存在可逆矩陣P，Q使得PAQ=B,則.注：利用初等變換把矩陣化為行梯形矩陣并求得行梯形矩陣的秩，從而確定原矩陣的秩。例1設(shè)，求A的秩，并求A的一個(gè)最高階非零子式.解.所以R(A)=3.矩陣中存在一個(gè)3階非零子式：.今計(jì)算A的第一、二、四行構(gòu)成的子式.因此這個(gè)子式為A的一個(gè)最高階非零子式.定理n階方陣A可逆<==>R(A)