29.1 幾何問題的處理方法(1)

鶴壁市第四中學(xué) 王永傳 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書華東師大版 2 例 1：如圖所示，直線 a / b， 1=50 ，求 2的度數(shù)。 abc43213 例題 2.如圖 .已知 BC 3， ABC和 ACB的平分線相交于點 O， OE AB， OF AC，求 OEF的周長。 A B C E F O 解 ： OB平分 ABC 1 2 OE AB 1 3 2 3 BE EO 同理 CF OF OEF的周長 OE EF OF BE EF CF BC 3 1 2 3 4 例 3: 如右圖 ， 在四邊形 ABCD中 ，已知 B=60 ， C=120 ， AB與CD平行嗎 ？ AD與 BC平行嗎 ？ 解 ：本題中直線 AB與 CD平行 ， 但根據(jù)題目的已知條件 ， 無法判定 AD與 BC平行 。 B=60 ， C=120 （ 已知 ） B+ C = 180 AB CD （ 同旁內(nèi)角互補 ， 兩直線平行 ） 5 例 4如圖：一束平行光線 AB和 DE射向一個水平鏡面后被發(fā)射，此時 1= 2 ， 3= 4 。 1 2 3 4 B E A C D F （ 1 ） 1， 3的大小有什么關(guān)系？ 2與 4呢？ AB DE 1= 3 相等 你知道理由嗎？ 兩直線平行 同位角相等 （ 2 ）反射光線 BC與 EF也平行嗎？ 2= 4 BC EF 平行 同位角相等 兩直線平行 1= 3 且 1= 2 ， 3= 4 2= 4 6 例 5： 1、 在等腰 ABC中 ， AB=3， AC=4， 則 ABC的周長 =_ 2、 在等腰 ABC中 ， AB=3， AC=7， 則 ABC的周長 =_ 此例題的重點是運用等腰三角形的定義，以及等腰三角形腰和底邊的關(guān)系。仔細(xì)比較以上兩個例題，并強調(diào)在沒有明確腰和底邊之前，應(yīng)該分兩種情況討論。而且在討論后還應(yīng)該思考一個問題 : 10或 11 17 就是這樣的三條邊能否夠成三角形 ! 7 例 6： 1 、 在等腰 ABC 中 ， AB=AC, B=50 , 則 A=_， C =_ 此例題的重點是運用等腰三角形 “ 等邊對等角 ” 這一性質(zhì)，突出頂角和底角的關(guān)系。強調(diào) 等腰三角形中頂角和底角的取值范圍： 0 頂角 180 , 0 底角 90 在等腰三角形中，已知一個角就可以求出另外兩個角 。 2、在等腰 ABC中， A =100 , 則 B=_， C=_ 仔細(xì)比較以上兩個例題，得出結(jié)論一個經(jīng)驗： 50 80 40 40 8 例 7: 在等腰 ABC中， A=40 , 求 B 度數(shù)。 此題是一道陷阱題 ， 可以先讓學(xué)生進行分析 ，和例二的 2小題比較 ， 估計會出一些狀況 ， 大多數(shù)學(xué)生會按照 “ 兩種情況 ” 討論 ， 得到“ 兩個答案 ” 。 C B A A C B B C A 給學(xué)生畫出圖形進行分析，分 “ 兩種情況 ”討論，得到卻的是 “ 三個答案 ” 。強調(diào)需要自己畫圖解題時，一定要三思而后行！ 此時 B=40 此時 B=100 此時 B=70 9 此題的目的在于等腰三角形 “ 等邊對等角 ” 和“ 三線合一 ” 性質(zhì)的運用 .以及怎么書寫解答題，強調(diào) “ 三線合一 ” 的表達過程。 解：在 ABC中， AB =AC， B = 50 ， B = C=50 又 A+ B+ C=180 , A=80 在 ABC中， AB =AC，點 D是 BC的中點 AD是底邊上的中線 根據(jù)等腰三角形 “ 三線合一 ” 知： AD是 BAC的平分線 ， 即 BAD = CAD = 40 例 8：在 ABC中， AB =AC，點 D是 BC的中點， B = 50 ，求 BAD的度數(shù)？ A C B D 10 例 9.如圖，已知在 ABC中， AB=AC， BD AC于 D， CE AB于 E， BD與 CE相交于 M點。 求證： BM=CM。 證明： AB=AC ABC= ACB（等邊對等角） BD AC于 D， CE AB于 E BEC= CDB=90 1+ ACB=90， 2+ ABC=90（直角三角形兩個銳角互余） 1= 2（等角的余角相等） BM=CM（等角對等邊） AB CD1 2EM說明：本題易習(xí)慣性地用全等來證明，雖然也可以證明，但過程較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。 11 例 10.已知：如圖， A=90， B=15， BD=DC. 求證： AC= BD. 證明： BD=DC， B=15 DCB= B=15（等角對等邊） ADC= B+ DCB=30 （三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） A=90 AC= DC AC= BD 2121AB CD1212 例 11.如圖，已知 ABC中， AB=AC， BD=BC， AD=DE=EB.求 A的度數(shù) . 分析：本題有較多的等腰三角形的條件，最好用列方程組的方法來求解，應(yīng)當(dāng)在圖形上標(biāo)出各未知數(shù)，可使解題過程清晰明了。 解：設(shè) A=x ， EBD=y， C=z AB=AC ABC= C=z BD=BC C= BDC=z BE=DE EBD= EDB=y AD=DE A= AED=x 又 BDC= A+ ABD， AED= EBD+ EDB （三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） A+ ABC+ ACB=180 （三角形內(nèi)角和為 180 ） 解得 x=45 即： A=45 2180xyz x yx z z AB CDExyzxyz13 例 12.已知：如圖， C=90， BC=AC， D、 E分別在 BC和 AC上，且 BD=CE， M是 AB的中點 . 求證： MDE是等腰三角形 . 分析：要證 MDE是等腰三角形，只需證 MD=ME。連結(jié)CM，可利用 BMD CME得到結(jié)果。 證明：連結(jié) CM C=90 ， BC=AC A= B=45 M是 AB的中點 CM平分 BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合） MCE= MCB= BCA=45 B= MCE= MCB CM=MB（等角對等邊） 在 BDE和 CEM中 BDM CEM（ SAS） MD=ME MDE是等腰三角形 CMBMMC EBCEBDABCDEM14 例 13.如圖，在等邊 ABC中， AF=BD=CE， 求證： DEF也是等邊三角形 . 證明： ABC是等邊三角形 AC=BC， A= C CE=BD BC BC=AC CE CD=AE 在 AEF和 CDE中 AEF CDE（ SAS） EF=DE 同理可證 EF=DF EF=DE=DF DEF是等邊三角形 CEAFCACDAEAB CDEF說明：證明等邊三角形有三種思路： 證明三邊相等 證明三角相等 證明三角形是有一個角為 60 的 等腰三角形。 具體問題中可利用不同的方式進行求解。 15 例 14 如圖 2-8-1,中， AB=AC， D為 AB上一點， E為 AC延長線上一點，且BD=CE， DE交 BC于 G 求證： DG=EG 思路 因為 GDB和 GEC不全等，所以考慮在 GDB內(nèi)作出一個與 GEC全等的三角形。 證明：過 D作 DH AE，交 BC于 H AB=AC DB=DH 又 DB=CE DH=CE 又 DG=EG. 說明 本題易明顯得出 DG和 EG所在的 DBG和 ECG不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作 EF BD，交 BC的延長線于 F，證明 DBG EFG，同學(xué)們不妨試一試。 16 例 15. 如圖 2-8-6，在 ABC中， AB=AC=CB， AE=CD， AD、 BE相交于 P，BQ AD于 Q. 求證： BP=2PQ 思路 在 RtBPQ中，本題的結(jié)論等價于證明 PBQ=30 證明 AB=CA， BAE= ACD=60 ， AE=CD， BAE ACD ABE= CAD BPQ= ABE+ BAP = CAD+ BAP=60 又 BQ AD PBQ=30 BP=2PQ 說明 本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問題的方法值得同學(xué)們細(xì)心體會。 17 練 習(xí) 題 ： 1.如圖，在四邊形 ABCD中，已知 AD / BC， A = 60 ，求 B的度數(shù)， A BDC解： AD / BC ( 已 知 ) A+ B = 180 又 A = 60 B = 120 （ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ） 能否求得 C的度數(shù)？ 18 綜合測試 C 2、如圖，已知下列條件可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的根據(jù)是什么？ A B D E 3 1 2 （ 1） A= C （ 2） 1 + B= 180 （ 3） 2= 3 F 19 3、選做題 已知：如圖，在 ABC中， AB=AC,E在 AC上， D在 BA的延長線上， AD=AE，連結(jié) DE。請問：DE BC成立嗎？ B C E A D 20 4.如圖，在 ABC中， AB=AC， DB=DC。 求證：（ 1） 1= 2；（ 2） AD BC 拓展提高 21（第 1 題）EDCBA21 5.如圖 ,C是線段 AB上一點 , ACD 和 BCE是等邊三角形 ,AE交 CD于 M BD交 CE于 N,交 AE于 O. 求證 :(1) AOB=120 (2)CM=CN (3)MN/AB A B C D E M N O 22 6.已知 ,在 ABC中 ACB=900,CD, CE三等分 ACB,CD AB 求證 :(1)AB=2BC (2)CE=AE=EB A B C D E 23 7.如圖 ,點 D在 AC上 ,點 E在 AB上 , 且 AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE. 求 A