2019年山東專升本(數(shù)學(xué))真題試卷(題后含答案及解析)

2019年山東專升本（數(shù)學(xué)）真題試卷(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題4.綜合題5.證明題一、選擇題在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．函數(shù)f(x)=xsinxA．當(dāng)x→∞時為無窮大B．在(一∞，+∞)內(nèi)為周期函數(shù)C．在(一∞，+∞)內(nèi)無界D．當(dāng)x→∞時有有限極限正確答案：C解析：采用排除法。當(dāng)x→∞時，xsinx極限不存在，且不為無窮大，故排除選項A與選項D；顯然xsinx非周期函數(shù)，故排除選項B；從而選項C正確。2．己知∫f(x)dx=xsinx2+C，則∫xf(x2)dx=A．xcosx2+CB．xsinx2+CC．x2sinx4+CD．x2cosx4+C正確答案：C解析：由∫f(x)dx=xsinx2+C，兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得f(x)=sinx2+2x2+cosx2，進一步可知∫xf(x)2dx的導(dǎo)數(shù)為xf(x)2=x(sinx4+2x4cosx2)，只需要將四個選項中的函數(shù)分別求導(dǎo)即可確定選項C正確。3．下列各平面中，與平面x+2y一3z=6垂直的是A．2x+4y一6z=1B．2x+4y一6z=12C．=1D．一x+2y+z=1正確答案：D解析：由平面方程x+2y一3z=6可知該平面的法向量為(1，2，一3)。由兩平面垂直的條件是它們的法向量互相垂直，從而對應(yīng)法向量內(nèi)積為零。不難驗證四個選項中只有選項D所表示平面的法向量(一1，2，1)與(1，2，一3)內(nèi)積為零，故選項D正確。4．有些列關(guān)于數(shù)項級數(shù)的命題(1)若≠0，則必發(fā)散；(2)若un≥0，un≥un+1(n=1，2，3，…)且必收斂；(3)若收斂，則必收斂；(4)若收斂于s，則任意改變該級數(shù)項的位置所得到的新的級數(shù)仍收斂于s．其中正確的命題個數(shù)為A．0B．1C．2D．3正確答案：B解析：由級數(shù)收斂的必要條件，即若級數(shù)un收斂，則=0，逆否命題為若≠0，則級數(shù)必發(fā)散。所以(1)正確；取un=可推出(2)錯誤；取un=(一1)n可推出(3)錯誤；交錯級數(shù)收斂，若調(diào)整為則發(fā)散，所以(4)錯誤，所以選項B正確。5．己知F(x，y)=ln(1+x2+y2)+f(x，y)dxdy，其中D為xoy坐標(biāo)平面上的有界閉區(qū)域且f(x，y)在D上連續(xù)，則F(x，y)在點(1，2)處的全微分為A．B．C．D．正確答案：A解析：因為二重積分為一常數(shù)，進而和所以F(x，y)在點(1，2)的全微分為，故選項A正確。二、填空題6．函數(shù)f(x)=的定義域為__________．正確答案：解析：由取交集得答案為7．設(shè)函數(shù)f(x)=在x=0處連續(xù)，則a=__________．正確答案：-2解析：由題意知f(x)=f(0)，即a==－28．無窮限積分∫-∞0xexdx=__________．正確答案：一1解析：∫-∞0xexdx=∫a0xexdx=(xex?a0－∫a0exdx)=(xex?a0－ex?a0)=9．設(shè)函數(shù)f(x，y，z)=exyx2，其中z=z(x，y)是由三元方程x+y+z+xyz=0確定的函數(shù)，則f＇x(0，1，一1)=___________．正確答案：110．己知函數(shù)y=y(x)在任意點處的增量△y=+α，且當(dāng)△x→0時，α是△x的高階無窮小，若y(0)=π，則y(1)=_________.正確答案：三、解答題解答時應(yīng)寫出推理、演算步驟。11．求極限正確答案：兩次利用洛必達法則，得12．求曲線在t=2處的切線方程與法線方程正確答案：當(dāng)t=2時，由參數(shù)方程可得曲線上相應(yīng)點的坐標(biāo)為(2，4)曲線在該點的切線的斜率為=4故所求的切線方程為y一4=4(x一2)，即y=4x一4法線方程為y一4=一(x一2)，即y=一13．(1)驗證直線L1：與直線L2：平行；(2)求經(jīng)過L1與L2的平面方程正確答案：(1)L1的方向向量={1，2，一2}×{5，一2，一1}=-3{2，3，4)，這與L2的方向向量{2，3，4}方向相同，所以L1L2(2)法1：利用平面束方程(x+2y－2z－5)+λ(5x一2y—z)=0，以L2上的點(一3，0，1)代入，得λ=一于是得平面方程為17x一26y+11z+40=0或法2：在L1上任取一點，如，它與L2上的點(－3，0，1)連接成向量，所求平面的法向量n={2，3，4}×由點法式得平面方程為(z一1)=0，即17x一26y+11z+40=014．設(shè)z=f(2x—y)+g(x，xy)，其中函數(shù)f(w)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(u，v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求正確答案：=2f＇+g＇u+yg＇y，=一2f＂+x·g＂uy+g＇y+xy·g＂yy15．判別級數(shù)的斂散性.正確答案：因由=e＞1由正項級數(shù)的比值審斂法，原級數(shù)是發(fā)散的16．已知y=ex(C1cos√2+C2sin√2)(C1，C2為任意常數(shù))是某二階常系數(shù)線性微分方程的通解，求其對應(yīng)的方程正確答案：利用通解表達式可知，特征根為λ1,2=1±于是特征方程為(λ一1一)(λ一1+)=λ2—2λ+3=0故所求方程為y＂一2y＇+3y=017．計算二重積分，其中D由x2+y2≤a2(a＞0)，y=x及x軸在第一象限所圍成的區(qū)域正確答案：利用極坐標(biāo)，積分區(qū)域D表示如下D={(r，θ)?0≤θ≤，0≤r≤a}于是，綜合題18．計算由y2=9一x，直線x=2及y=一1所圍成的平面圖形上面部分(面積大的那部分)的面積A正確答案：所圍成圖形的面積A=∫-1√7(9一y2)dy一2×(√7+1)=或A=∫-1√7(9一y2—2)dy=19．求二元函數(shù)f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的極值正確答案：由fx＇(x，y)=2x(2+y2)=0，fy＇(x，y)=2x2y+lny+1=0得駐點為(0，)又因為f＂xx(x，y)=2(2+y2)，f＂xy(x，y)=4xy，f＂yy(x，y)=2x2+則A==e于是，A＞0，AC—B2＞0，故存在極小值證明題20．證明當(dāng)x＞0時，ln(1+x)＞正確答案：證明：令函數(shù)f(x)=(1+x)ln(1+x)一arctanx當(dāng)x＞0時，f＇(x)=ln(1+x)+＞0故f(x)在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，因此f(x)＞f(0)=0，即(1+x)ln(1+x)一arctanx＞0即原不等式成立21．設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上可微，當(dāng)0≤x≤1時0＜f(x)＜1且f＇(x)≠1，證明有且僅有一點X∈(0，1)，使得f(x)=x正確答案：證明：令函數(shù)F(x)=f(x)一x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，又由0＜f(x)＜1知，F(xiàn)(0)=f(0)一0＞