異面直線所成的角的求法

關(guān)于異面直線所成的角的求法問題一：異面直線的判定第2頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例1.已知m、n為異面直線，m?平面α，n?平面β，α∩β＝l，則l(

)A．與m、n都相交B．與m、n中至少一條相交C．與m、n都不相交D．與m、n中的一條直線相交第3頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例2.已知點P、Q、R、S分別是正方體的四條棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是 (

)第4頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例3．如圖，已知α∩β＝a，b?α，c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線．第5頁,共42頁，2024年2月25日，星期天[證明]

假設(shè)b與c不是異面直線，則b∥c或b與c相交．(1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b與a∩b＝A矛盾．(2)若b與c相交，設(shè)b∩c＝B，∵a∥c，∴B?a，即A、B兩點不重合，這樣直線b上有兩點A、B∈β，∴b?β，又b?α，∴b是α與β的公共直線，又α∩β＝a，∴b與a重合，這與b∩a＝A矛盾，∴b與c是異面直線．第6頁,共42頁，2024年2月25日，星期天異面直線的證明:(1)反證法，假設(shè)兩直線共面，隨后導(dǎo)出矛盾，故兩直線異面．(2)過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線(異面直線判定定理)．第7頁,共42頁，2024年2月25日，星期天問題二：求異面直線所成的角第8頁,共42頁，2024年2月25日，星期天預(yù)備知識角的知識正弦定理a=2RsinAa=2RsinAS

ABC=bcsinA余弦定理ABCbcacosA=ABCbca第9頁,共42頁，2024年2月25日，星期天二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟：解決空間角的問題涉及的數(shù)學(xué)思想主要是化歸與轉(zhuǎn)化，即把空間的角轉(zhuǎn)化為平面的角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得。2.方法：3.步驟：求異面直線所成的角：①作（找）②證③點④算1.數(shù)學(xué)思想：平移構(gòu)造可解三角形第10頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為4(1)求直線BA1和CC1所成的角的大小(2)若M，N分別為棱A1B1和B1B的中點，求直線AM與CN所成的角的余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQBQ=1BN=2QN=QC=NC=Cos∠QNC=第11頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

例

5、在正方體ABCD-A’B’C’D’中，棱長為a，E、F分別是棱A’B’，B’C’的中點，求：①異面直線AD與EF所成角的大??；②異面直線B’C與EF所成角的大??；③異面直線B’D與EF所成角的大小.第12頁,共42頁，2024年2月25日，星期天②異面直線B’C與EF所成角的大??；第13頁,共42頁，2024年2月25日，星期天OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D與EF所成的角即為AC與OG所成的角,即為∠AOG或其補(bǔ)角.平移法補(bǔ)形法第14頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例6空間四邊形SABC中，SA=SB=SC=AB=BC=CA，E、F分別是SA、BC中點，則異面直線EF與SC所成的角900第15頁,共42頁，2024年2月25日，星期天S是正△ABC所在平面外一點，SA=SB=SC且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，M，N分別是AB和SC的中點，求異面直線SM與BN所成的角。ASBCMNPMABCPNPBaaa例7.第16頁,共42頁，2024年2月25日，星期天三例8.第17頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第18頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第19頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例9．如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為________第20頁,共42頁，2024年2月25日，星期天[解析]

折起后，空間圖形如圖．A、B、C三點重合為一點A′，在△BDE中，IJ∥BD，在△ADF中，GH∥DF，∴折起后，IJ∥A′D，∴直線DF與A′D所成的角就是HG與IJ所成的角，在正△A′DF中，∠A′DF＝60°.第21頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

例、10

由四個全等的等邊三角形圍成的封閉幾何體稱為正四面體．如圖，正四面體ABCD中，E、F分別是棱BC、AD的中點，CF與DE是一對異面直線，在圖形中適當(dāng)?shù)倪x取一點作出異面直線CF、DE的平行線，找出異面直線CF與DE所成的角．第22頁,共42頁，2024年2月25日，星期天[解析]

思路1：選取平面ACD，該平面有以下兩個特點：①該平面包含直線CF，②該平面與DE相交于點D，伸展平面ACD，在該平面中，過點D作DM∥CF交AC的延長線于M，連結(jié)EM.可以看出：DE與DM所成的角，即為異面直線DE與CF所成的角．如圖1.第23頁,共42頁，2024年2月25日，星期天思路2：選取平面BCF，該平面有以下兩個特點：①該平面包含直線CF，②該平面與DE相交于點E.在平面BCF中，過點E作CF的平行線交BF于點N，連結(jié)ND，可以看出：EN與ED所成的角，即為異面直線FC與ED所成的角．如圖2.思路3：選取平面ADE，該平面有如下兩個特點：①該平面包含直線DE，②該平面與CF相交于點F.在平面ADE中，過點F作FG∥DE，與AE相交于點G，連結(jié)CG，可以看出：FG與FC所成的角，即為異面直線CF與DE所成的角．如圖3.第24頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第25頁,共42頁，2024年2月25日，星期天思路4：選取平面BCD，該平面有如下特點：①該平面包含直線DE，②該平面與CF相交于點C，伸展平面BCD，在該平面內(nèi)過點C作CK∥DE與BD的延長線交于點K，且DK＝BD，連結(jié)FK，則CF與CK所成的角，即為異面直線CF與DE所成的角．如圖4.第26頁,共42頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)評述：(1)上面四個思路的共同點是：由兩條異面直線中的一條與另一條上一個點確定一個平面，在該平面內(nèi)過該點作該直線的平行線，從而找出兩條異面直線所成的角，這是立體幾何“化異為共”“降維”的基本思想．第27頁,共42頁，2024年2月25日，星期天(2)求兩條異面直線所成角的關(guān)鍵是作出這兩條異面直線所成的角，作兩條異面直線所成的角的方法是：將其中一條平移到某個位置使其與另一條相交或是將兩條異面直線同時平移到某個位置使它們相交，然后在同一平面內(nèi)求相交直線所成的角．值得注意的是：平移后相交所得的角必須容易算出，因此平移時要求選擇恰當(dāng)位置．一般提倡像思路2、思路3那樣作角，因為此角在幾何體內(nèi)部，易求．第28頁,共42頁，2024年2月25日，星期天(3)找出異面直線所成的角后求角的大小．一般要?dú)w到一個三角形中，通過解三角形求出角的大小，如本題思路1中可歸結(jié)為解△DEM.思路2中可歸結(jié)為解△DEN等等，由于本例中三角形是斜三角形，待我們學(xué)過解斜三角形后，即可計算．(4)實際問題中，若含有“中點”“比例點”常利用中位線，比例線段進(jìn)行平移．第29頁,共42頁，2024年2月25日，星期天10．A為正三角形BCD所在平面外一點，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分別是棱AD、BC的中點，連結(jié)AF、CE，如圖所示，求異面直線AF、CE所成角的余弦值。

ABCDEFG解：連結(jié)DF，取DF的中點G，連結(jié)EG，CG，又E是AD的中點，故EG//AF，所以∠GEC（或其補(bǔ)角）是異面直線AF、CE所成的角?！喈惷嬷本€AF、CE所成角的余弦值是

第30頁,共42頁，2024年2月25日，星期天11．A為正三角形BCD所在平面外一點，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分別是棱AD、BC的中點，連結(jié)AF、CE，如圖所示，求異面直線AF、CE所成角的余弦值。

ABCDEFP另解:延長DC至P,使DC=CP，E為AD中點，∴AP//EC。

故∠PAF(或其補(bǔ)角)為異面直線AF、CE所成的角。

∴異面直線AF、CE所成角的余弦值是

第31頁,共42頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)1：如圖，P為ΔABC所在平面外一點，PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分別為PA和BC的中點。

（1）求證：EF與PC為異面直線；（2）求EF與PC所成的角；（3）求線段EF的長。ABCPEF假設(shè)EF與PC不是異面直線,則EF與PC共面由題意可知其平面為PBC這與已知P為ΔABC所在平面外一點矛盾第32頁,共42頁，2024年2月25日，星期天PABCMN12、空間四邊形P-ABC中，M，N分別是PB，AC的中點，PA=BC=4，MN=3，求PA與BC所成的角？E第33頁,共42頁，2024年2月25日，星期天ADCBA1D1C1B1變題:已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a.O為底面中心，F(xiàn)為DD1中點E在A1B1上,求AF與OE所成的角OEFN第34頁,共42頁，2024年2月25日，星期天ADCBA1D1C1B12、若M為A1B1的中點，N為BB1的中點，求異面直線AM與CN所成的角；NMFE第35頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例14、如圖，在三棱錐D－ABC中，

DA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠ABD=30°，AC=BC，求異面直線AB與CD所成的角的余弦值。ABCD第36頁,共42頁，2024年2月25日，星期天四面體A—BCD的棱長均為a,E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點，

（1）求異面直線CF和BD所成的角的余弦值。

（2）求CF與DE所成的角。思考題ABCDEFPQ第37頁,共42頁，2024年2月25日，星期天異面直線所成的角的求法:

典例剖析例1：如圖正方體AC1，①求異面直線AB1和CC1所成角的大?、谇螽惷嬷本€AB1和A1D所成角的大小

D1D1CB1A1ADD1BC1〖分析〗1、做異面直線的平行線

2、說明哪個角就是所求角

3、把角放到平面圖形中求解

解:①∵CC1//BB1∴AB1和BB1所成的銳角是異面直線AB1和CC1所成的角

∵在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450∴異面直線AB1和CC1所成的角是450。第38頁,共42頁，2024年2月25日，星期天異面直線所成的角的求法:

典例剖析例1：如圖正方體AC1，①求異面直線AB1和CC1所成角的大?、谇螽惷嬷本€AB1和A1D所成角的大小

D1D1CB1A1ADD1BC1〖分析〗1、做異面直線的平行線

2、說明哪個角就是所