異方差時(shí)間序列模型

關(guān)于異方差時(shí)間序列模型Contents第一節(jié)問(wèn)題的提出第二節(jié)ARCH模型第三節(jié)GARCH模型第四節(jié)其他GARCH模型第2頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天第一節(jié)

問(wèn)題的提出

在自回歸移動(dòng)平均模型中，我們主要討論平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問(wèn)題，由于針對(duì)平穩(wěn)序列，實(shí)際上假定任一時(shí)點(diǎn)的隨機(jī)誤差項(xiàng)的期望值是相同的，一般為0，同時(shí)假定任一隨機(jī)誤差項(xiàng)平方的期望值就是隨機(jī)誤差的方差，即同方差。但是在金融市場(chǎng)上，金融資產(chǎn)報(bào)酬序列具有這樣的特性，大的報(bào)酬緊連著大的報(bào)酬，小的報(bào)酬緊連著小的報(bào)酬，稱為波動(dòng)集群性(Mandelbrot,1963、Fama,1965)。波動(dòng)集群性表明股票報(bào)酬波動(dòng)是時(shí)變的，表明是異方差。異方差雖然不會(huì)影響回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)的無(wú)偏性，但是將影響到回歸系數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差和置信區(qū)間。例如，匯率，股票價(jià)格常常用隨機(jī)游走過(guò)程描述，第3頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中ut為白噪聲過(guò)程。1995-2000年日元兌美元匯率時(shí)間序列及差分序列見(jiàn)圖1和圖2。圖1日元兌美元匯率序列JPY(1995-2000)

圖2日元兌美元匯率差分序列(收益)D(JPY)第4頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天圖3收益絕對(duì)值序列(1995-2000)圖4D(JPY)的平方(1995-2000)

這種序列的特征是（1）過(guò)程的方差不僅隨時(shí)間變化，而且有時(shí)變化得很激烈。（2）按時(shí)間觀察，表現(xiàn)出“波動(dòng)集群”（volatilityclustering）特征，即方差在一定時(shí)段中比較小，而在另一時(shí)段中比較大。（3）從取值的分布看表現(xiàn)的則是“高峰厚尾”（leptokurtosisandfat-tail）特征，即均值附近與尾區(qū)的概率值比正態(tài)分布大，而其余區(qū)域的概率比正態(tài)分布小。圖5給出高峰厚尾分布示意圖。圖6給出一個(gè)高峰厚尾分布實(shí)例。第5頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天第6頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天顯然現(xiàn)期方差與前期的“波動(dòng)”有關(guān)系。描述這類關(guān)系的模型稱為自回歸條件異方差（ARCH）模型（Engle1982年提出）。使用ARCH模型的理由是：（1）通過(guò)預(yù)測(cè)xt或ut的變化量評(píng)估股票的持有或交易對(duì)收益所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)有多大，以及決策的代價(jià)有多大；（2）可以預(yù)測(cè)xt的置信區(qū)間，它是隨時(shí)間變化的；（3）對(duì)條件異方差進(jìn)行正確估計(jì)后可以使回歸參數(shù)的估計(jì)量更具有有效性。第7頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天為了說(shuō)得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：如果ut的均值為零，對(duì)yt取基于(t-1)時(shí)刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關(guān)系：由于yt的均值近似等于式（1）的估計(jì)值，所以式（1）也稱為均值方程。(1)(2)第8頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天假設(shè)在時(shí)刻(t1)所有信息已知的條件下，擾動(dòng)項(xiàng)ut的條件分布是：

也就是，ut遵循以0為均值，(

0+1u2t-1

)為方差的正態(tài)分布。由于(3)中ut的方差依賴于前期的平方擾動(dòng)項(xiàng)，我們稱它為ARCH(1)過(guò)程：(3)通常用極大似然估計(jì)得到參數(shù)

0,

1,

2,

,

k,

0,

1的有效估計(jì)。第9頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)ARCH模型一、ARCH模型的定義若一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)變量xt可以表示為AR(p)形式，其隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差可用誤差項(xiàng)平方的q階分布滯后模型描述，（1）（2）則稱ut

服從q階的ARCH過(guò)程，記作ut

ARCH(q)。其中(1)式稱作均值方程，(2)式稱作ARCH方程。第10頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)和(2)式還應(yīng)滿足如下條件。對(duì)于(1)式，為保證平穩(wěn)性，特征方程的根應(yīng)在單位圓之外。xt的條件期望是xt

的無(wú)條件期望（T

時(shí)）是對(duì)于(2)式，由于

的非負(fù)性，對(duì)

i應(yīng)有如下約束，當(dāng)全部

i=0,i=1,2,…,q時(shí)，條件方差

。因?yàn)榉讲钍欠秦?fù)的，所以要求

0>0。為保證

是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，(2)式的特征方程第11頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天的根應(yīng)在單位圓之外。對(duì)

i,i=1,2,…,q的另一個(gè)約束是對(duì)（2）式求期望的：則無(wú)條件方差為：可見(jiàn)若保證是一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，應(yīng)該有約束0

(

1+

2+…+

q)<1。因?yàn)閂ar(xt)=Var(ut)=

，所以上式可以用來(lái)預(yù)測(cè)xt的方差。當(dāng)T→∞時(shí)：第12頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

二、ARCH模型的極大似然估計(jì)ARCH模型經(jīng)常應(yīng)用在回歸模型中。其中

=(

0

1,…,

k-1)‘,xt=(1x1,…,xk-1)’（xt的分量也可以包括yt的滯后變量），ut

ARCH(q)。為計(jì)算方便，假定已知yt,xt的T+q組觀測(cè)值，從而保證估計(jì)參數(shù)所用的樣本容量為T。ut

ARCH(q)可以表示為：其中vt

IID(0,1)，vt與xt相互獨(dú)立，所以有

，E(ut)=0。yt服從正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為第13頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天其中：用參數(shù)

和

=(

0

1

2…

q)'組成參數(shù)向量

，對(duì)數(shù)似然函數(shù)是:求

的極大似然估計(jì)量就是求使logL(

)在

=處獲得極大值。求logL(

)對(duì)

的偏導(dǎo)數(shù)，第14頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天第15頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天在上式為零條件下求到的即是

的極大似然估計(jì)量。具有一致性。第16頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

三、ARCH模型檢驗(yàn)在均值方程（回歸模型或時(shí)間序列模型）的誤差項(xiàng)中是否存在自回歸條件異方差應(yīng)該進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)ARCH可以使用F、LM、LR、W統(tǒng)計(jì)量。下面介紹F、LM檢驗(yàn)。1、自回歸條件異方差的LM檢驗(yàn)。①建立原假設(shè)H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）H1：

1,

2,…,

q不全為零在原假設(shè)成立條件下，OLS估計(jì)量是一致的、有效的；在備擇假設(shè)成立條件下，OLS估計(jì)量是一致的，但不是有效的。先介紹使用LM統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)H0。因?yàn)橛?jì)算LM統(tǒng)計(jì)量的值，只需估計(jì)原假設(shè)成立條件下的方程。具體步驟是：第17頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天②估計(jì)，求，計(jì)算。③估計(jì)輔助回歸式④用第3步得到的可決系數(shù)R2構(gòu)成統(tǒng)計(jì)量LM=TR2。其中T表示輔助回歸式的樣本容量。在原假設(shè)成立條件下有若LM<，接受H0。若LM>

，接受H1。注意：輔助回歸式中要有常數(shù)項(xiàng)

0。第18頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、自回歸條件異方差的F檢驗(yàn)。①建立原假設(shè)

H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）

H1：

1,

2

,…,

q不全為零②估計(jì)yt=xt‘

+ut，求，計(jì)算。③用估計(jì)2個(gè)輔助回歸式④構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量，在原假設(shè)成立條件下有注意：輔助回歸式中要有常數(shù)項(xiàng)

0。

若F<F,(q,T–q-1)，接受H0。若F>F,(q,T-q-1)，接受H1。（約束模型，同方差）（非約束模型，存在ARCH）第19頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天3、自回歸條件異方差的LR檢驗(yàn)。①建立原假設(shè)

H0：

1=

2=…=

q=0（不存在ARCH）

H1：

1,

2

,…,

q不全為零②估計(jì)yt=xt‘

+ut，求，計(jì)算。③用估計(jì)2個(gè)輔助回歸式，并計(jì)算極大似然函數(shù)值LogLr和LogLu④用LogLr和LogLu構(gòu)造LR統(tǒng)計(jì)量，在原假設(shè)成立條件下有（約束模型，同方差）（非約束模型，存在ARCH）

若，接受H0。若，接受H1。如果結(jié)論是應(yīng)該建立ARCH模型，則進(jìn)一步應(yīng)該對(duì)ARCH模型的階數(shù)q進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)此可采用t檢驗(yàn)。第20頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天4、自回歸條件異方差的Q檢驗(yàn)。殘差平方意味著方差，若存在自相關(guān)，說(shuō)明存在自回歸條件異方差。第21頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天四、ARCH模型檢驗(yàn)（EViews操作案例）1995.1-2000.8日元兌美元匯率值（1427個(gè)）序列（JPY）見(jiàn)圖。極小值為81.12日元，極大值為147.14日元。其均值為112.93日元，標(biāo)準(zhǔn)差是13.3日元。1995年4月曾一度達(dá)到81.12日元兌1美元。1998年8月達(dá)到147.14日元兌1美元。JPY顯然是一個(gè)非平穩(wěn)序列。JPY的差分序列D(JPY)表示收益，見(jiàn)圖9.2。因?yàn)镈(JPY)是平穩(wěn)序列，用D(JPY)建立時(shí)間序列模型。第22頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天通過(guò)相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖分析，應(yīng)該建立AR(3)或MA(3)模型。建立AR(3)模型如下：(2.0)(-3.3)R2=0.01，DW=1.91，Q(15)=8.6第23頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

方法1：通過(guò)Q檢驗(yàn)考察AR(3)模型中是否存在自回歸條件異方差。第24頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

方法2：ARCH的LM檢驗(yàn)。在均值方程估計(jì)窗口，選ARCH的LM檢驗(yàn)。用1階檢驗(yàn)式檢驗(yàn)。(9.4)(9.9)R2=0.0643,T=1423第25頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

方法3、4：自回歸條件異方差的F檢驗(yàn)和LR檢驗(yàn)。用參差平方序列1階自回歸檢驗(yàn)式做參數(shù)約束的F檢驗(yàn)和LR檢驗(yàn)第26頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例中國(guó)CPI模型的ARCH檢驗(yàn)

本例建立CPI模型，因變量為中國(guó)的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應(yīng)量M1的增長(zhǎng)率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月～2007年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對(duì)cpit和m1rt進(jìn)行了調(diào)整，結(jié)果如下：t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)R2=0.99對(duì)數(shù)似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12第27頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

這個(gè)方程的統(tǒng)計(jì)量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動(dòng)的“成群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一些時(shí)期內(nèi)較小，在其他一些時(shí)期內(nèi)較大，這說(shuō)明誤差項(xiàng)可能具有條件異方差性。第28頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應(yīng)。再進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗(yàn)，得到了在滯后階數(shù)p=1時(shí)的ARCHLM檢驗(yàn)結(jié)果：

因此計(jì)算殘差平方?t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：第29頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應(yīng)。因此利用ARCH(1)模型重新估計(jì)模型，結(jié)果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99對(duì)數(shù)似然值=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH項(xiàng)的系數(shù)是統(tǒng)計(jì)顯著的，并且對(duì)數(shù)似然值有所增加，同時(shí)AIC和SC值都變小了，這說(shuō)明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。第30頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

再對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗(yàn)，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時(shí)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：此時(shí)的相伴概率為0.69，接受原假設(shè)，認(rèn)為該殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，說(shuō)明利用ARCH(1)模型消除了殘差序列的條件異方差性。殘差平方相關(guān)圖的檢驗(yàn)結(jié)果為：自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個(gè)結(jié)果也說(shuō)明了殘差序列不再存在ARCH效應(yīng)。

第31頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天第三節(jié)GARCH模型一、GARCH模型定義擾動(dòng)項(xiàng)ut的方差常常依賴于很多時(shí)刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。因此必須估計(jì)很多參數(shù)，而這一點(diǎn)很難精確的做到。但是如果我們能夠意識(shí)到方差方程不過(guò)是

t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個(gè)或兩個(gè)

t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(GeneralizedAutoRegressiveConditionalHeteroscedasticitymodel，簡(jiǎn)記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個(gè)不同的設(shè)定：一個(gè)是條件均值，另一個(gè)是條件方差。第32頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在標(biāo)準(zhǔn)化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：方差方程：其中：xt是(k+1)×1維外生變量向量，

是(k+1)×1維系數(shù)向量。均值方程是一個(gè)帶有擾動(dòng)項(xiàng)的外生變量函數(shù)。由于

t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測(cè)方差，所以它被稱作條件方差，也被稱作條件方差方程。第33頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天條件方差方程是下面三項(xiàng)的函數(shù)：

1．常數(shù)項(xiàng)（均值）：

2．用均值方程的擾動(dòng)項(xiàng)平方的滯后來(lái)度量從前期得到的波動(dòng)性的信息：ut-12（ARCH項(xiàng)）。

3．上一期的預(yù)測(cè)方差：

t2-1

（GARCH項(xiàng)）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項(xiàng)（括號(hào)中的第一項(xiàng)）和階數(shù)為1的ARCH項(xiàng)（括號(hào)中的第二項(xiàng)）。一個(gè)普通的ARCH模型是GARCH模型的一個(gè)特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預(yù)測(cè)方差

t2-1的說(shuō)明。第34頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

在EViews中ARCH模型是在擾動(dòng)項(xiàng)是條件正態(tài)分布的假定下，通過(guò)極大似然函數(shù)方法估計(jì)的。例如，對(duì)于GARCH(1,1)，t時(shí)期的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：其中這個(gè)說(shuō)明通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋，因?yàn)榇砩袒蛸Q(mào)易商可以通過(guò)建立長(zhǎng)期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（GARCH項(xiàng)）和在以前各期中觀測(cè)到的關(guān)于變動(dòng)性的信息（ARCH項(xiàng)）來(lái)預(yù)測(cè)本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會(huì)增加對(duì)下期方差的預(yù)期。這個(gè)模型還包括了經(jīng)?？梢栽谪?cái)務(wù)收益數(shù)據(jù)中看到的變動(dòng)組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進(jìn)一步的巨大變化。第35頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

有兩個(gè)可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個(gè)模型：

1．如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代方差方程的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動(dòng)項(xiàng)平方的加權(quán)平均：我們看到GARCH(1,1)方差說(shuō)明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動(dòng)項(xiàng)的加權(quán)條件方差。第36頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．設(shè)vt=ut2

t2。用其替代方差方程中的方差并整理，得到關(guān)于擾動(dòng)項(xiàng)平方的模型：因此，擾動(dòng)項(xiàng)平方服從一個(gè)異方差A(yù)RMA(1,1)過(guò)程。決定波動(dòng)沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個(gè)根非常接近1，所以沖擊會(huì)逐漸減弱。第37頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

高階GARCH(p,q)模型高階GARCH模型可以通過(guò)選擇大于1的p或q得到估計(jì)，記作GARCH(p,q)。其方差表示為：

這里，p是GARCH項(xiàng)的階數(shù)，q是ARCH項(xiàng)的階數(shù)，p>0并且,

(L)和

(L)是滯后算子多項(xiàng)式。第38頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

為了使GARCH(q,p)模型的條件方差有明確的定義，相應(yīng)的ARCH(∞)模型的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要

(L)和

(L)沒(méi)有相同的根并且

(L)的根全部位于單位圓外，那么當(dāng)且僅當(dāng)

0=

0/(1-

(L))，

(L)=

(L)/(1-

(L))的所有系數(shù)都非負(fù)時(shí)，這個(gè)正數(shù)限定條件才會(huì)滿足。例如，對(duì)于GARCH(1,1)模型這些條件要求所有的3個(gè)參數(shù)都是非負(fù)數(shù)。第39頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天

GARCH模型的檢驗(yàn)當(dāng)原假設(shè)H0是ARCH(0)時(shí)，顯然備擇假設(shè)H1有兩個(gè)。一個(gè)是ARCH(r)，一個(gè)是GARCH(r,0)。若原假設(shè)H0是ARCH(1)，則備擇假設(shè)H1可以是ARCH(1+r)，也可以是GARCH(r,1)。同理若原假設(shè)H0是ARCH(q)，備擇假設(shè)H1可以有兩個(gè)。ARCH(q+r)和GARCH(r,q)。LM統(tǒng)計(jì)量無(wú)法區(qū)別這兩個(gè)備擇假設(shè)。但仍然可以做LM檢驗(yàn)。在實(shí)際應(yīng)用中，備擇假設(shè)既可以是ARCH，也可以是GARCH。對(duì)于q值很大的ARCH模型，建議使用GARCH模型。在實(shí)際應(yīng)用中，GARCH(1,1)和GARCH(2,1)一般足以滿足對(duì)自回歸條件異方差的描述。第40頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天第四節(jié)

其他GARCH模型一、IGARCH模型

對(duì)于ARCH(p)

模型和GARCH(p,q)

模型，在實(shí)際應(yīng)用中，條件有時(shí)不能得到滿足。下面以GARCH(1,1)模型為例進(jìn)行討論。（保證可以轉(zhuǎn)換成無(wú)限階的ARCH過(guò)程）（保證GARCH過(guò)程平穩(wěn)）第41頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天用分別表示對(duì)

1,

1的估計(jì)。有時(shí)會(huì)出現(xiàn)甚至，。例如Engle-Chowdury（1992）對(duì)IBM收益率序列估計(jì)時(shí)，得如下結(jié)果，第42頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．回推在計(jì)算GARCH模型的回推初始方差時(shí)，首先用系數(shù)值來(lái)計(jì)算均值方程中的殘差，然后計(jì)算初始值的指數(shù)平滑算子（6.1.30）其中：是來(lái)自均值方程的殘差，是無(wú)條件方差的估計(jì)：（6.1.31）平滑參數(shù)λ為0.1至1之間的數(shù)值。也可以使用無(wú)條件方差來(lái)初始化GARCH過(guò)程：（6.1.32）第43頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天6.1.6GARCH模型的殘差分布假設(shè)在實(shí)踐中我們注意到，許多時(shí)間序列，特別是金融時(shí)間序列的無(wú)條件分布往往具有比正態(tài)分布更寬的尾部。為了更精確地描述這些時(shí)間序列分布的尾部特征，還需要對(duì)誤差項(xiàng)ut的分布進(jìn)行假設(shè)。GARCH模型中的擾動(dòng)項(xiàng)的分布，一般會(huì)有3個(gè)假設(shè)：正態(tài)（高斯）分布、學(xué)生t-分布和廣義誤差分布（GED）。給定一個(gè)分布假設(shè)，GARCH模型常常使用極大似然估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)。下面分別介紹這3種分布，其中的

代表參數(shù)向量。

1．對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)服從正態(tài)分布的GARCH(1,1)模型，它的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為（6.1.33）這里的

t2是ut的條件方差。第44頁(yè),共49頁(yè)，2024年2月25日，星期天2．如果擾動(dòng)項(xiàng)服從學(xué)生t分布，GARCH(1,1)模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)的形式就是

（6.1.34）這樣，參數(shù)的估計(jì)就變成了在自由度k>2的約束下使對(duì)數(shù)似然函數(shù)（6.1.34）最大化的問(wèn)題。當(dāng)k

時(shí)，學(xué)生t-分布接近于正態(tài)分布。