三角函數(shù)的的圖像與性質(zhì)

關(guān)于三角函數(shù)的的圖像與性質(zhì)121.會用“五點法”畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，理解A、ω、φ的物理意義.2.掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與y=sinx圖象間的變換關(guān)系.3.會由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象或圖象特征求函數(shù)的解析式.第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天3

1.用五點法畫y=Asin(ωx+φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點.如下表所示.

0

-A

0

A

0

x0第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天42.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)

的圖象的步驟如下:各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天5各點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天6以上兩種方法的區(qū)別:方法一先平移再伸縮;方法二先伸縮再平移.特別注意方法二中的平移量.3.當(dāng)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(0,+∞))

表示一個振動時，A叫做

，叫做

，叫做

，ωx+φ叫做

，

φ叫做

.振幅周期相位初相頻率第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天74.三角函數(shù)模型的應(yīng)用

(1)根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象.(2)將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型.(3)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點圖，并根據(jù)散點圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型.第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天8題型一作y=Asin(ωx+φ)的圖象已知函數(shù)

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象；

(3)說明的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.

(1)由振幅、周期、初相的定義即可解決.(2)五點法作圖，關(guān)鍵是找出與x相對應(yīng)的五個點.(3)只要看清由誰變換得到誰即可.題型分類深度剖析第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天9解（1）的振幅A=2,周期XX“五點法作圖”應(yīng)抓住四條：①化為y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式；②求出振幅A和周期T=;③列出一個周期內(nèi)的五個特殊點；④作出指定區(qū)間上的圖象時，應(yīng)列出該區(qū)間的特殊點.第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天10方法一把y=sinx的圖象上所有的點向左平移個單位,得到的圖象,再把的圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖象,最后把上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到的圖象.第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天11方法二將y=sinx的圖象上每一點的橫坐標(biāo)x縮短為原來的倍,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=sin2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移個單位；得到的圖象；再將的圖象上每一點的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象.第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天12（1）作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應(yīng)向兩端伸展一下，以示整個定義域上的圖象；（2）變換法作圖象的關(guān)鍵是看x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用來確定平移單位.第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天13題型二求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b的解析式如圖為y=Asin（ωx+φ）的圖象的一段，求其解析式.

首先確定A.若以N為五點法作圖中的第一個零點，由于此時曲線是先下降后上升（類似于y=-sinx的圖象），所以A<0；若以M點為第一個零點,由于此時曲線是先上升后下降（類似于y=sinx的圖象），所以A>0.而可由相位來確定.第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天14解

方法一以N為第一個零點，方法二由圖象知A=，①②第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天15

(1)①與②是一致的，由①可得②，事實上同樣由②也可得①.(2)由此題兩種解法可見，在由圖象求解析式時，“第一個零點”的確定是重要的,應(yīng)盡量使A取正值.(3)已知函數(shù)圖象求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0）的解析式時，常用的解題方法是待定系數(shù)法，由圖中的最大值或最小值確定A,由周期確定ω，由適合解析式的點的坐標(biāo)來確定φ,但由圖象求得的y=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范圍，才能得出惟一解，否則φ的值不確定，解析式也就不惟一.第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天16（4）將若干個點代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A，ω，φ，這里需要注意的是，要認(rèn)清選擇的點屬于“五點”中的哪一個位置點，并能正確代入式中.依據(jù)五點列表法原理，點的序號與式子的關(guān)系是：“第一點”（即圖象上升時與x軸的交點）為ωx+φ=0；“第二點”（即圖象曲線的最高點）為；“第三點”（即圖象下降時與x軸的交點）為ωx+φ=π；“第四點”（即圖象曲線的最低點）為；“第五點”為ωx+φ=2π.第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天17

1.如圖是y=Asin(ωx+φ)的圖象的一段，試確定其解析式.知能遷移第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天18因為A=,ω>0,T=16ω=.所以y=2sin(x+φ).將N(6,0)視為“五點法”中的第一點，所以×6+φ=0φ=-,所以y=sin(x-).給出圖象確定解析式，A由最值確定，ω由周期確定，φ由最高或最低點確定，當(dāng)由平衡位置點確定時，根據(jù)變化趨勢確定“五點中的第一點”，簡化運算.第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天192.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<）的一段圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)y=f(x)的解析式；（2）將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移個單位，得到y(tǒng)=g(x)的圖象，求直線y=與函數(shù)y=f(x)+g(x)的圖象在(0,π)內(nèi)所有交點的坐標(biāo).第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天20解（1）由題圖知A=2，T=π，于是將y=2sin2x的圖象向左平移個單位長度，得y=2sin(2x+φ)的圖象.第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天21第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天22題型三函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用（12分）在已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),

x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為且圖象上一個最低點為

(1)求f(x)的解析式；

(2)當(dāng)時，求f(x)的值域.

易知T=π，A=2，利用點M在曲線上可求φ，第（2）問由函數(shù)圖象易解，關(guān)鍵是將

ωx+φ看成一個整體.第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天23解1分3分5分6分第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天24認(rèn)識并理解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離即為半個周期.在求函數(shù)值域時,由定義域轉(zhuǎn)化成ωx+φ的范圍.即把ωx+φ看作一個整體.8分10分12分第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天25方法與技巧1.五點法作函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變換問題

(1)當(dāng)明確了函數(shù)圖象基本特征后，“描點法”是作函數(shù)圖象的快捷方式.運用“五點法”作正、余弦型函數(shù)圖象時，應(yīng)取好五個特殊點，并注意曲線的凹凸方向.(2)在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握,無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角”變化多少.思想方法感悟提高第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天262.由圖象確定函數(shù)解析式由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象確定A、ω、φ

的題型，常常以“五點法”中的第一零點作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一零點的位置.要善于抓住特殊量和特殊點.3.對稱問題函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與x軸的每一個交點均為其對稱中心,經(jīng)過該圖象上坐標(biāo)為(x,±A)

的點與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對稱軸，這樣的最近兩點間橫坐標(biāo)的差的絕對值是半個周期（或兩個相鄰平衡點間的距離）.第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天27失誤與防范1.由函數(shù)y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，在具體問題中，可先平移變換后伸縮變換，也可以先伸縮變換后平移變換，但要注意：先伸縮，后平移時要把x

前面的系數(shù)提取出來.2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)是本節(jié)考查的重點，也是高考熱點，復(fù)習(xí)時盡可能使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，如求解對稱軸、對稱中心和單調(diào)區(qū)間等.第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天283.注意復(fù)合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0,ω>0）的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把ωx+φ看做一個整體.

在單調(diào)性應(yīng)用方面，比較大小是一類常見的題目，依據(jù)是同一區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性.第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天291.為了得到函數(shù)x∈R的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx,x∈R的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）

B.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）

C.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）

D.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）基礎(chǔ)自測第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天30解析將y=2sinx的圖象向左平移個單位得到y(tǒng)=2sin的圖象，將y=2sin圖象上各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），則得到的圖象，故選C.答案

C第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天312.將函數(shù)y=sin4x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)=sin(4x+φ)的圖象，則φ等于（）

A.B.C.D.

解析將函數(shù)y=sin4x的圖象向左平移個單位后得到的圖象的解析式為C第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天323.為了得到函數(shù)y=sin(2x-)的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象()DA.向左平移個單位長度B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度D.向右平移個單位長度第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天33

y=cos2x=sin(2x+)=sin［2(x+)］，而y=sin(2x-)=sin［2(x-)］,此時(x+)-=x-，所以只需將y=cos2x的圖象向右平移+=個單位長度.第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期天344.（2009·山東文，3）將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，所得圖象的函數(shù)解析式是（）A.y=2cos2xB.y=2sin2xC.

D.y=cos2x

解析將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)

即的圖象，再向上平移1個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y