人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-3全冊同步測控知能訓(xùn)練題集含答案

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3

全冊知能訓(xùn)練

目錄

第1章Li知能優(yōu)化訓(xùn)練

第1章1.2.1第一課時(shí)知能優(yōu)化訓(xùn)練

第1章1.2.1第二課時(shí)知能優(yōu)化訓(xùn)練

第1章122第一課時(shí)知能優(yōu)化訓(xùn)練

第1章1.2.2第二課時(shí)知能優(yōu)化訓(xùn)練

紡

第1章1.3.1知能優(yōu)化訓(xùn)

笏

第1章1.3.2知能優(yōu)化訓(xùn)

紡

第2章2.1.1知能優(yōu)化訓(xùn)

笏

第2章2.L2知能優(yōu)化訓(xùn)

紡

第2章221知能優(yōu)化訓(xùn)

綺

第2章知能優(yōu)化訓(xùn)

2.2.2笏

第章知能優(yōu)化訓(xùn)

22.2.3紡

第2章231知能優(yōu)化訓(xùn)笏

第2章232知能優(yōu)化訓(xùn)

第2章2.4知能優(yōu)化訓(xùn)練

第3章3.1知能優(yōu)化訓(xùn)練

第3章3.2知能優(yōu)化訓(xùn)練

人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3知能訓(xùn)練

知能優(yōu)化訓(xùn)練

??同步測控??

1.從/地到8地要經(jīng)過C地和。地，從/地到C地有3條路，從C地到。地有2條

路，從。地到8地有4條路，則從4地到8地不同走法的種數(shù)是（）

A.34-2+4=9B.1

C.3X2X4=24D.1+1+1=3

解析：選C.由題意從A地到B地需過C、。兩地，實(shí)際就是分三步完成任務(wù)，用乘法

原理?

2.某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中一本，則購買方式共有（）

A.3種B.6種

C.7種D.9種

解析：選C.分3類：買1本書，買2本書和買3本書，各類的購買方式依次有3種、3

種和1種，故購買方式共有3+3+1=7（種）.

3.（2011年高考課標(biāo)全國卷）有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組,

每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（）

F4

解析：選A.甲、乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性有3X3=9（種），其中甲、乙兩

31

人參加同一個(gè)小組的情況有3（種）.故甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率尸=§=].

4.將3封信投入6個(gè)信箱內(nèi)，不同的投法有種.

解析：第1封信有6種投法，第2、第3封信也分別有6種投法，因此共有6X6X6=

216種投法.

答案：216

??譚時(shí)訓(xùn)練??

一、選擇題

1.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一

套，則不同的配法種數(shù)為（）

A.7B.12

C.64D.81

解析：選B.要完成配套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種

不同選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法.故共有4X3=12

種不同的配法.

2.從力地到8地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，如果一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火

車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法為（）

A.1+1+1=3B.3+4+2=9

C.3X4X2=24D.以上都不對

答案：B

3.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有不同的行車路線（）

A.24種B.16種

C.12種D.10種

解析：選C.完

成該任務(wù)可分為四類，從每一個(gè)方向入口都可作為一類，如圖：從第1個(gè)人口進(jìn)入時(shí),

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有3種行車路線；同理，從第2個(gè)，第3個(gè)，第4個(gè)人口進(jìn)入時(shí)，都分別有3種行車路線,

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有3+3+3+3=12種不同的行車路線，故選C.

4.從集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)。,6組成復(fù)數(shù)。+歷，其中虛數(shù)有（）

A.30個(gè)B.42個(gè)

C.36個(gè)D.35個(gè)

解析：選C.第一步取6的數(shù)，有6種方法，第二步取。的數(shù)，也有6種方法，根據(jù)乘

法計(jì)數(shù)原理，共有6X6=36種方法.

5.從集合｛1,2,3,4,5｝中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為直線圾=0的系數(shù)，則形成不同

的直線最多有（）

A.18條B.20條

C.25條D.10條

解析：選A.第一步取/的值，有5種取法，第二步取2的值有4種取法，其中當(dāng)4=1,

8=2時(shí)，與/=2,8=4時(shí)是相同的；當(dāng)/=2,8=1時(shí)，與/=4,8=2時(shí)是相同的，故

共有5X4—2=18（條）.

6.用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相

鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）

A.36個(gè)B.18個(gè)

C.9個(gè)D.6個(gè)

解析：選B.分3步完成，1,2,3這三個(gè)數(shù)中必有某一個(gè)數(shù)字被使用2次.

第1步，確定哪一個(gè)數(shù)字被使用2次，有3種方法；

第2步，把這2個(gè)相同的數(shù)字排在四位數(shù)不相鄰的兩個(gè)位置上有3種方法；

第3步，將余下的2個(gè)數(shù)字排在四位數(shù)余下的兩個(gè)位置上，有2種方法.

故有3X3X2=18個(gè)不同的四位數(shù).

二、填空題

7.加工某個(gè)零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有

4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有種.

解析：選第一、第二、第三道工序各一人的方法數(shù)依次為5、6、4,由分步乘法計(jì)數(shù)原

理知，選法總數(shù)為N=5X6X4=120.

答案：120

祚'舍區(qū)

操餐

場教學(xué)區(qū)

廳

8.如圖是某校的校園設(shè)施平面圖，現(xiàn)用不同的顏色作為各區(qū)域的底色，為了便于區(qū)分,

要求相鄰區(qū)域不能使用同一種顏色.若有6種不同的顏色可選，則有種不同的著色

方案.

解析：操場可從6種顏色中任選1種著色；餐廳可從剩下的5種顏色中任選1種著色;

宿舍區(qū)和操場、餐廳顏色都不能相同，故可從其余的4種顏色中任選1種著色；教學(xué)區(qū)和宿

舍區(qū)、餐廳的顏色都不能相同，故可從其余的4種顏色中任選1種著色.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理，共有6X5X4X4=480種著色方案.

答案：480

9.從1,2,3,4,7,9六個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)作對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所有不同的對數(shù)的值

的個(gè)數(shù)為.

解析：（1）當(dāng)取1時(shí)，1只能為真數(shù)，此時(shí)對數(shù)的值為0.

（2）不取1時(shí)，分兩步：

①取底數(shù)，5種；

②取真數(shù)，4種.

其中Iog23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93,

.?.N=1+5X4-4=17.

答案：17

三、解答題

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10.8張卡片上寫著0,1,2,…，7共8個(gè)數(shù)字，取其中的三張卡片排放在一起，可組成

多少個(gè)不同的三位數(shù)？

解：先排放百位，從1,2,…，7共7個(gè)數(shù)中選一個(gè)有7種選法；再排十位，從除去百

位的數(shù)外，剩余的7個(gè)數(shù)(包括0)中選一個(gè)，有7種選法；最后排個(gè)位，從除前兩步選出的

數(shù)外，剩余的6個(gè)數(shù)中選一個(gè)，有6種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共可以組成7X7X6=

294個(gè)不同的三位數(shù).

11.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土

地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法？

解：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3X2X1=6種不同種植方法.同理，黃瓜種在第

二塊、第三塊土地上，均有3X2X1=6(種).故不同的種植方法共有6X3=18(種).

12.某校學(xué)生會由高一年級5人，高二年級6人，高三年級4人組成.

(1)選其中一人為學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？

(2)若每年級選1人為校學(xué)生會常委成員，有多少種不同的選法？

(3)若要選出不同年級的兩人分別參加市里組織的兩項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？

解：(1)分三類：第一類，從高一年級選一人，有5種選擇；第二類，從高二年級選一

人，有6種選擇；第三類，從高三年級選一人，有4種選擇.由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5

+6+4=15種選法.

(2)分三步完成：第一步，從高一年級選一人，有5種選擇；第二步，從高二年級選一

人，有6種選擇；第三步，從高三年級選一人,有4種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5X6X4

=120種選法.

(3)分三類：高一、高二各一人，共有5X6=30種選法；高一、高三各一人，共有5X4=20

種選法；高二、高三各一人，共有6X4=24種選法；由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有30+20+

24=74種選法.

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知能優(yōu)化訓(xùn)練

??同步測控??

1.用1,2,345這5個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有（）

A.30個(gè)B.36個(gè)

C.40個(gè)D.60個(gè)

解析：選B.分2步完成：個(gè)位必為奇數(shù)，有A；種選法；從余下的4個(gè)數(shù)中任選2個(gè)排

在三位數(shù)的百位、十位上，有蜀種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A：x/=36個(gè)無重復(fù)

數(shù)字的三位奇數(shù).

2.6人站成一排，甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為（）

A.720B.144

C.576D.684

解析：選C.（間接法）甲、乙、丙三人在一起的排法種數(shù)為A1XA；;不考慮任何限制，6

人的全排列有A1

，符合題意的排法種數(shù)為：A^-A：XAl=576.

3.某班新年聯(lián)歡會原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果

將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法種數(shù)為（）

A.42B.30

C.20D.12

解析：選A.分兩類：①兩個(gè)新節(jié)目相鄰的插法有6A:種；②兩個(gè)新節(jié)目不相鄰的插法有

A看種.故N=6X2+6X5=42.

4.將紅、黃、藍(lán)、白、黑5種顏色的小球，分別放入紅、黃、藍(lán)、白、黑5種顏色的

小口袋中，若不允有空袋，且紅口袋中不能裝入紅球，則有種不同的放法.

解析：先裝紅球，且每袋一球，所以有AjXA：=96（種）.

答案：96

??課時(shí)訓(xùn)練??

一、選擇題

1.高三（1）班需要安排畢業(yè)晚會的4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出

順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）

A.1800B.3600

C.4320D.5040

解析：選B.利用插空法，先將4個(gè)音樂節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目全排列有A1種，然后從6

個(gè)空中選出2個(gè)空將舞蹈節(jié)目全排列有點(diǎn)種，所以共有A^A1=3600（種）.故選B.

2.某省有關(guān)部門從6人中選4人分別到4、B、C、。四個(gè)地區(qū)調(diào)研卜二五規(guī)劃的開局

形勢，要求每個(gè)地區(qū)只有一人，每人只去一個(gè)地區(qū)，且這6人中甲、乙兩人不去Z地區(qū)，

則不同的安排方案有（）

A.300種B.240種

C.144種D.96種

解析：選B"地區(qū)有3種方法，其余地區(qū)有A券中方法，共有A；A=240（種）.

3.用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比20000大的五位偶數(shù)共有（）

A.48個(gè)B.36個(gè)

C.24個(gè)D.18個(gè)

解析：選B.個(gè)位數(shù)字是2的有3A==18（個(gè)），個(gè)位數(shù)字是4的有3A：=18（個(gè)），所以共

有36個(gè).

4.8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為（）

A.ARAQB.AgAio

C.A爾D.A爾

解析：選A.運(yùn)用插空法，8名學(xué)生間共有9個(gè)空隙（加上邊上空隙），先把老師排在9個(gè)

空隙中，有A；種排法，

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再把8名學(xué)生排列，有A。種排法，共有A；XA：種排法.

5.五名男生與兩名女生排成一排照相，如果男生甲必須站在中間，兩名女生必須相鄰，

符合條件的排法共有（）

A.48種B.192種

C.240種D.288種

解析：選B.（用排除法）將兩名女生看作1人，與四名男生一起排隊(duì)，有A，種排法，而

女生可互換位置，所以共有A^XA；種排法，男生甲插入中間位置，只有一種插法；而4男

2女排列中2名女生恰在中間的排法共有A；XA：（種），這時(shí)男生甲若插入中間位置不符合題

意，故符合題意的排列總數(shù)為AiXAi-A：XA^=192.

6.由1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、2都不與5相鄰的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.36B.32

C.28D.24

解析：選A.分類：①若5在首位或末位，共有2A；XA*24（個(gè)）；②若5在中間三位，

共有A；XA；XA江12（個(gè)）.故共有24+12=36（個(gè)）.

二、填空題

7.5人站成一排，甲必須站在排頭或排尾的不同站法有種.

解析：2/=48.

答案：48

8.3個(gè)人坐8個(gè)位置，要求每人的左右都有空位，則有種坐法.

解析：第一步：擺5個(gè)空位置，OOOOO;第二步：3個(gè)人帶上凳子插入5個(gè)位置之

間的四個(gè)空，有苗=24（種），故有24種不同坐法.

答案：24

9.5名大人要帶兩個(gè)小孩排隊(duì)上山，小孩不排在一起也不排在頭、尾，則共有

種排法（用數(shù)字作答）.

解析：先讓5名大人全排列有AW種排法，兩個(gè)小孩再依條件插空有A彳種方法，故共有

內(nèi)儲=1440種排法.

答案：1440

三、解答題

10.7名班委中有4、8、C三人，有7種不同的職務(wù)，現(xiàn)對7名班委進(jìn)行職務(wù)具體分

工.

（1）若正、副班長兩職只能從4、B、C三人中選兩人擔(dān)任，有多少種分工方案？

（2）若正、副班長兩職至少要選/、B、C三人中的一人擔(dān)任，有多少種分工方案？

解：（1）先排正、副班長有A：種方法，再安排其余職務(wù)有A1種方法，依分步計(jì)數(shù)原理，

共有A；A*720種分工方案.

（2）7人中任意分工方案有A；種，4、B、C三人中無一人任正、副班長的分工方案有用

A]種，因此/、B、C三人中至少有一人任正、副班長的方案有A；—儲屋=3600（種）.

11.用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字：

（1）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？

（3）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的比1325大的四位數(shù)？

解：（D符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：

第一類：0在個(gè)位時(shí)，有Ag個(gè)；

第二類：2在個(gè)位時(shí)，首位從1,3,4,5中選定1個(gè)有A：種，十位和百位從余下的數(shù)字中

選，有與種，于是有用義蜀（個(gè)）；

第三類：4在個(gè)位時(shí)，與第二類同理，也有A]XA：（個(gè)）.

由分類加法計(jì)數(shù)原理得：

共有A；+2AlXAi=156（個(gè)）.

（2）為5的倍數(shù)的五位數(shù)可分為兩類：

第一類：個(gè)位上為0的五位數(shù)有A?個(gè)；

第二類：個(gè)位上為5的五位數(shù)有A；XA；（個(gè)），

故滿足條件的五位數(shù)共有A?+A】XA：=216（個(gè)）.

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（3）比1325大的四位數(shù)可分為三類：

第一類：形如2口口口，3口口口，4口口口，5口口口，共有A1XA]

（個(gè)）；

第二類：形如14口口，15口口，共有A；XA；（個(gè)）；

第三類：形如134口，135口，共有A；XA；（個(gè)）.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，比1325大的四位數(shù)共有：

A：XA?+A；XA：+A；><A；=270（個(gè)）.

12.7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男學(xué)生4人，女學(xué)生2人，在下列情

況下，各有多少種不同站法？

（1）兩名女生必須相鄰而站；

（2）4名男生互不相鄰；

（3）若4名男生身高都不等，按從高到低的順序站；

（4）老師不站中間，女生不站兩端.

解：（1）2名女生站在一起有站法A；種，視為一種元素與其余5人全排，有魔種排法，

所以有不同站法A1X收=1440（種）.

（2）先站老師和女生，有站法與種，再在老師和女生站位的間隔（含兩端）處插入男生，

每空一人，則插入方法解種，所以共有不同站法A1XA；=144（種）.

（3）7人全排列中，4名男生不考慮身再順序的站法有A：種，而由高到低有從左到右和從

右到左的不同，所以共有不同站法2X*420（種）.

（4）中間和兩側(cè)是特殊位置，可分類求解如下：

①老師站在兩側(cè)之一，另一側(cè)由男生站，有A；XA：XA?種站法；

②兩側(cè)全由男生站，老師站除兩側(cè)和正中的另外4個(gè)位置之一，有AjXAiXA：種站法,

所以共有不同站法A；XA：XA?+A：XA；XA：

=960+1152=2112（種）.

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知能優(yōu)化訓(xùn)練

??同步測控＞?

1.5Ag+4A：=（）

A.107B.323

C.320D.348

解析：選D.原式=5X5X4X3+4X4X3=348.

2.4X5X6X…等于（）

A.B.A；；-4

C.n!-4!D.A"3

解析：選D.原式可寫成〃0-1）?…X6X5X4,故選D.

3.6名學(xué)生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數(shù)為（）

A.36B.120

C.720D.240

解析：選C.排法種數(shù)為A*720.

4.下列問題屬于排列問題的是.

①從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；

②從10個(gè)人中選2人去掃地；

③從班上30名男生中選出5人組成?個(gè)籃球隊(duì)：

④從數(shù)字5,6,7,8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作幕運(yùn)算.

解析：①選出的2人有不同的勞動(dòng)內(nèi)容，相當(dāng)于有順序.②選出的2人勞動(dòng)內(nèi)容相同,

無順序.③5人一組無順序.④選出的兩個(gè)數(shù)作為底數(shù)或指數(shù)其結(jié)果不同，有順序.

答案：①④

??課時(shí)訓(xùn)練??

一、選擇題

I.甲、乙、丙三地客運(yùn)站，需要準(zhǔn)備在甲、乙、丙三地之間運(yùn)行的車票種數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.6

解析：選D.A；=6.

2.已知A、1一A：=10,則〃的值為（）

A.4B.5

C.6D.7

解析：選B.由A常一A^=10,得（〃+1加一〃（〃-1）=10,解得〃=5.

3.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué)，每人一本，則不同的送法種數(shù)是（）

A.5B.10

C.20D.60

解析：選C.A：=20.

4.將3張不同的電影票分給10人中的3人，每人一張，則不同的分法種數(shù)是（）

A.2160B.720

C.240D.120

解析：選B.A：o=lOX9X8=72O.

5.某段鐵路所有車站共發(fā)行132種普通車票，那么這段鐵路共有車站數(shù)是（）

A.8B.12

C.16D.24

解析：選B.設(shè)車站數(shù)為〃，則A解132,如-1）=132,

二.〃=12.

6.S=l!+2!+3!+-+99!,則S的個(gè)位數(shù)字為（）

A.0B.3

C.5D.7

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人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3知能訓(xùn)練

解析：選B..1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720,???

.'.5=1!+2!+3!+-+99!的個(gè)位數(shù)字是3.

二、填空題

7.若A*=10X9X…X5,則加=.

解析：10—w+1=5,得，“=6.

答案：6

8.A^3+Af'=.

〃+3W2〃，

解析：由J_N,得〃=3,

“+1W4,

.■,A^3+A^H=6!+4!=744.

答案：744

9.甲、乙、丙、丁四人輪讀同一本書，則甲首先讀的安排方法有種.

解析：甲在首位，相當(dāng)于乙、丙、丁全排，

即3!=3X2X1=6.

答案：6

三、解答題

10.解不等式：A>6A72.

9!6-9!

解：原不等式可化為(9—x)!>(9—x+2)!，

其中2WxW9,x￡N*,

.■.(ll-x)(10-x)>6,ERX2-21X+104>0,

.\(x—8)(x—13)>0,.,.x<8或x>13.

又二二式工式九x6N*,..2<xv8,x€N*.

故x=2,3,4,5,6,7.

11.解方程3At=4A/.

行」tLI『3X8!4X9!

解：由3A8=4A9何(8一幻！=(1。一》)!.

.3X8!4X9X8!

,(8-x)!=(10-x)(9-x)(8-x)!,

2

化簡得：x—19x+78=0,解得xi=6,x2=13.

,「xW8,且x—1W9,原方程的解是x=6.

12.判斷卜列問題是否為排列問題.

(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同);

(2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；

(3)選2個(gè)小組去種菜；

(4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；

(5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；

(6)某班40名學(xué)生在假期相互通信.

解：(1)中票價(jià)只有三種，雖然機(jī)票是不同的，但票價(jià)是一樣的，不存在順序問題，所

以不是排列問題；

(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題；

(3)、(4)不存在順序問題，不屬于排列問題；

(5)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于

排列問題；

(6)4給3寫信與8給/寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題.

所以在上述各題中(2)、(5)、(6)屬于排列問題.

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人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3知能訓(xùn)練

知能優(yōu)化訓(xùn)練

??同步測控??

1.編號為1、2、3、4、5、6、7的七盞路燈，晚上用時(shí)只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈

不相鄰，則不同的開燈方案有（）

A.60種B.20種

C.10種D.8種

解析：選C.四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個(gè)空檔中放入3盞亮燈，即C：=10.

2.某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益勞動(dòng)，若男生甲和女生乙不能同

時(shí)參加，則不同的選派方案共有（）

A.25種B.35種

C.820種D.840種

解析：選A.分3類完成：男生甲參加，女生乙不參加，有Cg種選法；男生甲不參加，

女生乙參加，有C5種選法；兩人都不參加，有點(diǎn)種選法.所以共有2仁+仁=25（種）不同的

選派方案.

3.（2010年高考大綱全國卷I）某校開設(shè)，類選修課3門，8類選修課4門，一位同學(xué)

從中共選3門.若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）

A.30種B.35種

C.42種D.48種

解析：選A.法一：可分兩種互斥情況：4類選1門，8類選2門或Z類選2門，8類選

1H,共有C；戢+C紀(jì)［=18+12=30種選法.

法二:總共有?=35種選法，減去只選/類的武=1（種），再減去只選8類的C：=4（種）,

故有30種選法.

4.（2011年高考江蘇卷）從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另

一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是.

解析：從1,2,3,4中任取兩個(gè)數(shù)的組合個(gè)數(shù)為C；=6,滿足一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)兩倍的組合

21

為{1,2},{2,4},故尸=%=?.

答案：I

??課時(shí)訓(xùn)練??

一、選擇題

1.9名會員分成三組討論問題，每組3人，共有不同的分組方法種數(shù)為（）

A.C；燥B.AQ4

C.甯D.

解析：選C.此為平均分組問題，要在分組后除以三組的排列數(shù)A；.

2.5本不同的書全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同的分法種數(shù)有（）

A.480B.240

C.120D.96

解析：選B.先把5本書中兩本捆起來，再分成4份即可，

.,?分法數(shù)為CiAl=240.

3.某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1

名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（）

A.14B.24

C.28D.48

解析：選A.6人中選4人的方案有C￡=15（種），沒有女生的方案只有一種，所以滿足要

求的方案總數(shù)有14利1

4.已知圓上9個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)連一線段，所有線段在圓內(nèi)的交點(diǎn)有（）

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A.36個(gè)B.72個(gè)

C.63個(gè)D.126個(gè)

解析：選D.此題可化歸為：圓上9個(gè)點(diǎn)可組成多少個(gè)四邊形，每個(gè)四邊形的對角線的

交點(diǎn)即為所求，所以，交點(diǎn)有C：=126（個(gè)）.

5.（2010年高考大綱全國卷H）將標(biāo)號為12,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，

若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有（）

A.12種B.18種

C.36種D.54種

解析：選B.先將1,2捆綁后放入信封中，有C；種方法，再將剩余的4張卡片放入另外

兩個(gè)信封中，有C久;種方法，所以共有C；C；C=18種方法.

6.如圖所示的四棱錐中，頂點(diǎn)為P,從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)，使它們和點(diǎn)

P在同一平面內(nèi)，不同的取法種數(shù)為（）

A.40B.48

C.56D.62

解析：選C.滿足要求的點(diǎn)的取法可分為3類：

第1類，在四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有4d種取法；

第2類，在兩個(gè)對角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn)，有2甫種取法；

第3類，過點(diǎn)P的四條棱中，每?,條棱上的兩點(diǎn)和與這條棱異面的兩條棱的中點(diǎn)也共

面，有4c種取法.

所以，滿足題意的不同取法共有4d+20+4?=56（種）.

二、填空題

7.在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有

種.

解析：分兩類，有4件次品的抽法為C；C：6（種）；有三件次品的抽法有C：C：6（種），所以

共有C：Ci6+CM=4186種不同的抽法.

答案：4186

8.某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有5對老搭檔運(yùn)動(dòng)員，現(xiàn)抽派4個(gè)運(yùn)動(dòng)員參加比賽，則這4人都不是老搭

檔的抽派方法數(shù)為.

解析：先抽取4對老搭檔運(yùn)動(dòng)員，再從每對老搭檔運(yùn)動(dòng)員中各抽1人，故有

=80（種）.

答案：80

9.2011年3月10日是第六屆世界腎臟日，某社區(qū)服務(wù)站將5位志愿者分成3組，其

中兩組各2人，另一組1人，分別去三個(gè)不同的社區(qū)宣傳這屆腎臟日的主題：“保護(hù)腎臟，

拯救心臟”，不同的分配方案有_______種.（用數(shù)字作答）

解析：分配方案有里之右」°義尸6=90（種）

答案：90

三、解答題

10.四個(gè)不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？

解：恰有一個(gè)空盒，則另外三個(gè)盒子中小球數(shù)分別為1,1,2,實(shí)際上可轉(zhuǎn)化為先將四個(gè)

「10102

不同的小球分為三組，兩組各1個(gè)，另一組2個(gè)，分組方法有依T種），然后將這

三組再加上一個(gè)空盒進(jìn)行全排列，即共有筆產(chǎn)?A：=144（種）.

11.要從7個(gè)班中選10人參加數(shù)學(xué)競賽，每班至少1人，共有多少種不同的選法？

解：法一：共分三類：

第一類：一個(gè)班出4人，其余6個(gè)班各出1人，有C；種；

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第二類：有2個(gè)班分別出2人，3人，其余5個(gè)班各出1人，有A：種；

第三類:有3個(gè)班各出2人，其余4個(gè)班各出1人，有C]種,故共有C；+A]+@=8%種）.

法二：將10人看成10個(gè)元素，這樣元素之間共有9個(gè)空（兩端不計(jì)），從這9個(gè)空中任

選6個(gè)（即這6個(gè)位置放入隔板，將其分為七部分），有C$=84種放法.故共有84種不同的

選法.

12.如圖，

在以AB為直徑的半圓周上，有異于A,B的六個(gè)點(diǎn)G、G、C3、G、C6,直徑

上有異于/、8的四個(gè)點(diǎn)。卜功、。3、

（1）以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形可作出多少個(gè)？其中含Ci點(diǎn)的有多少個(gè)？

（2）以圖中的12個(gè)點(diǎn)（包括/、8）中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？

解：（1）可分三種情況處理：

①C|、C2、…、C6這六個(gè)點(diǎn)任取三點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形；

②G、。2、…、。6中任取一點(diǎn)，。2、。3、D.中任取兩點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形；

③G、C2、…、C6中任取兩點(diǎn)，。2、4、中任取一點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)三角形.

二爆+Cd+CfiCi=116（個(gè)）.

其中含G點(diǎn)的三角形有C：+C；?C；+C：=36（個(gè)）.

（2）構(gòu)成一個(gè)四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無三點(diǎn)共線，

二共有〈+C出+C紀(jì)看=360（個(gè)）.

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??同步測控??

1.計(jì)算C：+或+C；等于（）

A.120B.240

C.60D.480

解析：選A.原式=C；+C；=C：（）=120.

2.若C1i-C=C3則〃等于（）

A.12B.13

C.14D.15

解析:選C.c3Y=C*即C3=d+C=C%,所以〃+1=7+8,即〃=14.

3.某校一年級有5個(gè)班，二年級有8個(gè)班，三年級有3個(gè)班，分年級舉行班與班之間

的籃球單循環(huán)賽，總共需進(jìn)行比賽的場數(shù)是（）

A.C5+CI+C3B.CiCsCl

c.A；+A：+A；D.C：6

解析：選A.分三類：一年級比賽的場數(shù)是C：,二年級比賽的場數(shù)是C：,三年級比賽的

場數(shù)是6,再由分類加法計(jì)數(shù)原理可求.

4.把8名同學(xué)分成兩組，一組5人學(xué)習(xí)電腦，一組3人做生物實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方

法有種.

解析：Cg=56.

答案：56

??課時(shí)訓(xùn)練?.

一、選擇題

1.下面幾個(gè)問題中屬于組合問題的是（）

①由1,2,3,4構(gòu)成的雙元素集合；②5個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)足球比賽的分組情況；③由1,2,3

構(gòu)成兩位數(shù)的方法；④由1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的方法.

A.①③B.②④

C.①②D.①②④

答案：C

2.已知平面內(nèi)A、B、C、D這4個(gè)點(diǎn)中任何3點(diǎn)均不共線，則由其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂

點(diǎn)的所有三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4

C.12D.24

解析：選B.C：=4.

3.C?+C：+C升戌+…+的值為（）

A.C21B.C20

C.doD.&

解析：選D.原式=（C：+C：）+C：+或+…+C；］

=（c）+c］）+c5“+cX

=（（4+式）+…+c^=c；；=c$,7=d,.

4.若A”12%則〃等于（）

A.8B.5或6

C.3或4D.4

解析：選A.A：=〃（〃-1）（〃-2）,1）,

1）（〃-2）=6〃（〃一1）,

又且〃23.解得〃=8.

5.從6位同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會，要求張、王兩人中至多有一個(gè)人參加，則

不同選法的種數(shù)為（）

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A.9B.14

C.12D.15

解析：選A.法一：直接法：分兩類，第一類張、王兩人都不參加，有C：=l種選法；

第二類張、王兩人只有1人參加，有C：Ci=8種選法.故共有C：+C；XC彳=9種選法.

法二：間接法：燥一a=9(種).

6.把三張游園票分給10個(gè)人中的3人，分法有()

A.A：()種B.品種

C.C；oA；o種D.30種

解析：選B.三張票沒區(qū)別，從10人中選3人即可，即C：°.

二、填空題

7.若C>=C]則Cj『=.

解析：".-C,I/=C^,13=w—7,.'.?=20,

??.C^=C^o=19O.

答案：190

8.C]+C；+C；+…+C：o=.

解析：原式=或+禺+戲4—PCio

=C：+C：+…+C；o=C：+C：+,,,+Cio=C]i=165.

答案：165

9.從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)任奧運(yùn)志愿者，若選出的4人中既有男生又有

女生，則不同的選法共有

種.

解析：(間接法)共有C；—禧=34種不同的選法.

答案：34

三、解答題

10.若C〉C需求〃的取值集合.