2022-2023學(xué)年寧夏達標(biāo)名校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的,

請將正確答案涂在答題卡上.)

1.函數(shù)/(x)=Tog5%—x+3的零點所在區(qū)間為()

A.(l,2)B.(2,3)

C.(3,4)D.(4,5)

2.在四面體P-ABC的四個面中，是直角三角形的至多有

A.0個B.2個

C.3個D.4個

3.若函數(shù)/(x)=ox+l在區(qū)間(-M)上存在零點，則實數(shù)〃的取值范圍是

A.(1,+<?)B.(f1)

C.U(1,+<?)D.(-l,l)

4.已知函數(shù)/(%)=2同+爐，貝懷等式/(2cosx)<3,xe的解集為()

71（7171~\「乃乃）「乃乃

C.——D.——，——U—

L26八62」L23）132」

5.圓（%-2）2+丁2=4過點網(wǎng)1,6）的切線方程是。

A.x+V§y-2=0B.x+Gy-4=0

C.x-0y+4=0D.x-y/3y+2=0

6.已知函數(shù)/（力=爐—2x+ln|x—1],若實數(shù)。滿足/（a—1）〉/（2a—1）,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.[o,1JB.（-oo,0）

C.^|jD.(o,l)叫

7.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)的是()

A./(x)=-3xB./(%)=3x

x

c/(x)=log3A:D./(x)=3

8.如圖(l)四邊形ABC。為直角梯形，動點P從B點出發(fā)，由3-C.￡>fA沿邊運動，設(shè)點P運動的路程為

尤，△ABP面積為了(x).若函數(shù)V=/(x)的圖象如圖(2),則AABC的面積為()

“7

圖Q)

A」0B.16

C.18D.32

9.若函數(shù)y+3,(。>0且awl),則該函數(shù)過的定點為()

A.(l,3)B.(0,1)

C.(l,o)D.(2,4)

10.下列函數(shù)中與函數(shù)y=尤是同一個函數(shù)的是()

A.=(A/X)2B.y=(也甘

LY2

="D.y=一

x

11.設(shè)。、b、c依次表示函數(shù)=f-x+1,g(x)=logjx—x+l,-x+1的零點，則。、b、

c的大小關(guān)系為O

\.a<b<cB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

12.已知定義在尺上的偶函數(shù)/(尤)，在(-8,0］上為減函數(shù)，且/(3)=0,則不等式(尤+3)/(%)<0的解集是()

A.(TO,—3)u(3,+oo)B.E—3)U(0,3)

C.(-3,0)o(0,3)D.(—8,—3)U(—3,3)

二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.)

x2+2x-1,x,,0

13.函數(shù)y=<的零點個數(shù)為一

lg%+2%-3,%>0

14.如果直線(2a+5)x+(a—2)y+4=0與直線(2—a)x+(a+3)y—1=0互相垂直，則實數(shù)。=

15.若角a的終邊經(jīng)過點打一3,4),貝?。輘in2a=.

16.正方體AC1中，E,尸分別是。。，8。的中點，則直線與所所成角的余弦值是.

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(1)寫出下列兩組誘導(dǎo)公式：

①關(guān)于乃-a與a的誘導(dǎo)公式；

②關(guān)于-a與a的誘導(dǎo)公式.

(2)從上述①②兩組誘導(dǎo)公式中任選一組，用任意角的三角函數(shù)定義給出證明.

Y-U1

18.已知函數(shù)/(x)=log“——,(a>0且a/1)

x-1

(1)判斷函數(shù)的奇偶性；

⑵判斷函數(shù)/(x)在(L+8)上的單調(diào)性，并給出證明;

(3)當(dāng)尤—2)時，函數(shù)/'(X)值域是(1,+8),求實數(shù)。與自然數(shù)”的值

19.已知2sina=cosa

(1)若a在第三象限,求cos(?—a)的值

(2)求的值

s?m2a-cos2a

20.已知在第一象限，若A。/),B(5,l),ZA=60°,求:

(1)邊AB所在直線的方程；

21.已知直線/經(jīng)過點(2,1)和點(4,3).

(I)求直線/的方程；

(II)若圓C的圓心在直線/上，并且與V軸相切于(0,3)點，求圓C的方程

22.已知函數(shù)/（；0=七一是定義在尺上的奇函數(shù).

l+eA

（1）求函數(shù)/⑴的解析式，判斷并證明函數(shù)y=/（尤）的單調(diào)性；

（2）若存在實數(shù)re[l,4],使/（/+2f+左）+/（-2/+2f-5）>0成立，求實數(shù)上的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的,

請將正確答案涂在答題卡上.）

1、B

【解析】由零點存在定理判定可得答案.

【詳解】因為/（%）在（0,+8）上單調(diào)遞減，

且"2）=-log52+l>0,/（3）=-log53<0,

所以/（%）=—logs%—x+3的零點所在區(qū)間為（2,3）

故選：B

2、D

【解析】作出圖形，能夠做到取與A5,AC垂直，5c與R4,5P垂直，得解

【詳解】如圖，口，平面A3C,

CBLAB,

貝！ICB±BP,

故四個面均為直角三角形

故選O

p

B

【點睛】本題考查了四面體的結(jié)構(gòu)與特征，考查了線面的垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】由函數(shù)的零點的判定定理可得/(-1)/(1)<0,解不等式求得實數(shù)。的取值范圍

【詳解】由題,函數(shù)/(x)=依+1單調(diào)，又在區(qū)間(-1,1)上存在一個零點，則<0,即(1

-a)(1+a)<0,解得aV-1或a>l

故選C

【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

4、D

【解析】由題可得函數(shù)/(尤)為偶函數(shù)，且在(0,+。)上為增函數(shù)，可得12cos乂<1,然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】???函數(shù)/(%)=2.+%2,定義域為R,

/./(-%)=2H+(-X)2=2H+X2=f(x),

二函數(shù)/Xx)為偶函數(shù)，且在(0,+。)上為增函數(shù)，/⑴=3,

■:/(2cosx)=/(|2cosx|)<3=/(I),,

/.|2cosx|＜1,即—；＜cosx＜；,又xen7t

故選：D.

5、D

【解析】先求圓心與切點連線的斜率，再利用切線與連線垂直求得切線的斜率結(jié)合點斜式即可求方程.

【詳解】由題意知，圓C：(X-2)2+/=4,圓心C(2,o),在圓上，

所以切線的斜率為且，

3

所以在點P(1,上)處的切線方程為y-6=#(X-1)，

即x-島+2=0.

故選：D.

6、D

【解析】由題可得函數(shù)—2x+ln|x—1|關(guān)于l=1對稱，且在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,1)上單調(diào)遞減，

]tz-l-l|＞|2tz-l-l|

進而可得”1/1，即得.

2a—1/1

【詳解】???函數(shù)"%)=犬—2%+1川%—1|,定義域為xe(F』)U(L”)，

又/(2-x)=(2-x『-2(2-x)+ln|2-x-l|=x2-2x+ln|x-l|=/(%),

所以函數(shù)/(%)=f—2x+ln|x-1|關(guān)于尤=1對稱，

當(dāng)xe(l,+8)時，y=*一2蒼丁=1川%-1|單調(diào)遞增，故函數(shù)/(x)=f-2x+ln|x-l|單調(diào)遞增，

二函數(shù)/(%)=%2—2%+山上—1|在(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-8,1)上單調(diào)遞減，

由/(a-1)〉/(2Q-1)可得，＜o(jì)-l^i,

2a—Iwl

4

解得0＜。＜一，且awl.

3

故選：D.

7、A

【解析】根據(jù)對數(shù)、指數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷BCD,根據(jù)定義判斷/(%)=-3x的奇偶性.

【詳解】因為/(x)=log3%,/(%)=3x,/(x)=3、在定義域內(nèi)都是增函數(shù),所以BCD錯誤；因為/(-%)=3%=-/(%),

所以函數(shù)/(幻=-3》為奇函數(shù)，且在(-8,+oo)上單調(diào)遞減，A正確.

故選：A

8、B

【解析】由題意，當(dāng)P在上時，S^ABP^^\AB\Xi

當(dāng)「在8上時，S^ABP=^\AB\\BC\

圖（2）在x=4,x=9時圖象發(fā)生變化，由此可知|3C|=4,|CD|=5,|DA|=5

根據(jù)勾股定理，可得|A卻=5+J5—42）=8,

所以心房=3人卻忸C|=gx8x4=16

本題選擇B選項.

9、D

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu),（。>0,。。1）的圖像經(jīng)過定點坐標(biāo)是（0,1）,利用平移可得到答案.

【詳解】因為指數(shù)函數(shù)y=",（a>0,a。1）的圖像經(jīng)過定點坐標(biāo)是（0,1）,

函數(shù)》=優(yōu)圖像向右平移2個單位，再向上平移3個單位，得到了=。1+3,

函數(shù)尸a-+3的圖像過的定點（2,4）.

故選：D.

【點睛】本題主要考查的是指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的理解，是基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】根據(jù)同一函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，函數(shù)y=（、6）2的定義為［0,+8）,因為函數(shù)的定義域為R,

所以兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

對于B中，函數(shù)y=（五了=x與函數(shù)，=尤的定義域和對應(yīng)法則都相同，所以是同一函數(shù)；

對于C中，函數(shù)丁=行=兇與函數(shù)丁=%的對應(yīng)法則不同，不是同一函數(shù)；

一

對于D中，函數(shù)y='的定義域為（―8,0）U（0,+8）,因為函數(shù)y=x的定義域為R,

x

所以兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).

故選：B.

11、D

-1

【解析】根據(jù)題意可知，、=尤2?=108］羽丁=（3），的圖象與、=尤-1的圖象的交點的橫坐標(biāo)依次為“,仇。，作圖可

22

求解.

-1_

【詳解】依題意可得,y=尤2,y=log］尤,y=（5『的圖象與y=x-l的圖象交點的橫坐標(biāo)為a,b,c,

22

作出圖象如圖:

由圖象可知，b<c<a,

故選：D

【點睛】本題主要考查了塞函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象，函數(shù)零點，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.

12、D

【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出解集

%+3<0x+3>0

【詳解】由題意，畫出Ax）的圖象如圖，（x+3）/（x）<0等價于/(%)>01或,意）<0,由圖可知，不等式的

解集為(—8,—3)U(—3,3)

二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）

13、2

【解析】當(dāng)xWO時，令函數(shù)值為零解方程即可；當(dāng)x>0時，根據(jù)零點存在性定理判斷即可.

【詳解】當(dāng)xWO時，x2~\~2x—1—0=>x1——5/2—1,x,=\/2—1,

；々>0，故此時零點為七=一加一1;

當(dāng)x>0時，y=lgH2x-3在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=l時，j<0,當(dāng)x=2時，j>0,故在(1,2)之間有唯一零點；

綜上，函數(shù)y在R上共有2個零點.

故答案為：2.

14、—2或2

【解析】分別對兩條直線的斜率存在和不存在進行討論，利用兩條直線互相垂直的充要條件，得到關(guān)于。的方程可求

得結(jié)果

【詳解】設(shè)直線(2a+5)x+(a—2)y+4=0為直線加；直線(2—a)x+(a+3)y—1=0為直線〃，①當(dāng)直線機率不

存在時，即a—2=0,a=2時，直線”的斜率為0,

故直線〃［與直線〃互相垂直，所以a=2時兩直線互相垂直

②當(dāng)直線冽和〃斜率都存在時，鼠=-一二q要使兩直線互相垂直，

a—2a+3

即讓兩直線的斜率相乘為-1,故a=-2

③當(dāng)直線〃斜率不存在時，顯然兩直線不垂直，綜上所述：。=2或。=-2,

故答案為a=2或a=—2.

【點睛】本題主要考查兩直線垂直的充要條件，若利用斜率之積等于-1,應(yīng)注意斜率不存在的情況，屬于中檔題.

24

15、——

25

【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sine和cosa的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.

【詳解】因為角a的終邊經(jīng)過點尸(-3,4),

所以x=—3,y=4,則,耳=’(—3)2+42=5，

16、逅

3

【解析】結(jié)合異面直線所成角的找法，找出角，構(gòu)造三角形，計算余弦值，即可

【詳解】

連接3。，而3,平行EF,所以直線與所所成角即為設(shè)正方體邊長為1,則4〃=)=A/3，

所以余弦值為42=卒=逅

BD[G3

【點睛】考查了異面直線所成角的計算方法，關(guān)鍵得出直線A，與所所成角即為NAZ)d，難度中等

三、解答題(本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17、(1)詳見解析(2)詳見解析

【解析】(1)按要求寫出對應(yīng)公式即可.(2)利用任意角定義以及對稱性即可證明對應(yīng)公式.

【詳解】(1)①sin(%-a)=sin。，cos(乃一。)=一cosa,tan(乃一a)=Tana.

@sin(-a)=-sina,cos(-a)=coscr,tan(-?)=-tancir.

(2)①證明：設(shè)任意角a的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為片(x,y).

由于角n一a的終邊與角a的終邊關(guān)于》軸對稱，

因此角n-a的終邊與單位圓的交點P2與點R關(guān)于》軸對稱，

所以點鳥的坐標(biāo)是(-羽力

由任意角的三角函數(shù)定義得，

.V

sincr=y,cosa=x,tana=—；

x

sin(?-a)=y,cos(乃一o)=-x,tan(^-6z)=--.

所以sin—a)=sine,cos(〃一a)=-cosa,tan(一。)二一tana.

②證明：設(shè)任意角a的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為片(x,y).

由于一a角的終邊與角a的終邊關(guān)于x軸對稱，

因此角一。的終邊與單位圓的交點￡與點耳關(guān)于x軸對稱，

所以點￡的坐標(biāo)是(乂-y).

由任意角的三角函數(shù)定義得，

si.ncr=y,cosa=x,tana=—V；

x

sin(-a)=-y,cos(rz)=x,tan(-cif)=--.

x

所以sin(-a)=-sina,cos(-cr)=cos?,tan(-iz)=-tana.

【點睛】主要考查對誘導(dǎo)公式的掌握以及推導(dǎo)過程，熟練運用任意角三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

18、(1)奇函數(shù)，證明見解析；

(2)答案見解析，證明見解析；

(3)n=l,a=2+^3?

【解析】(1)利用奇偶性定義判斷/'(x)奇偶性.

(2)利用單調(diào)性定義，結(jié)合作差法、分類討論思想求/Xx)的單調(diào)性.

(3)由題設(shè)得a>〃+2且“eN,結(jié)合(2)有了。)在(1,+8)上遞減，結(jié)合函數(shù)的區(qū)間值域，求參數(shù)心〃即可.

【小問1詳解】

V-I-1

由題設(shè)有一->0,可得函數(shù)定義域為(-8,-1)口(1,+8),

x-1

,一%+1x—1%+1

/(一%)=log]-----=log]—-二—log]--=-/(X)，

-x-1x+1x-1

所以/(%)為奇函數(shù).

【小問2詳解】

,//、//\1M+11%+11xx?+x?-x]

令為〉％〉1，貝二（石）一…log.Rzplog.==log”X1-X；；X1

八X[X>+x-x,-1

貝（|0<——Z9——!一<1,

又XxX2+X2-Xl-1-（王冗2—尤2+玉—1）=2（X2-%!）<0,

'X{X2-X2+%1-1

當(dāng)0<”1時，/(x1)-/(x2)>0,即/(石)〉/(々)，則/■(》)在(L+8)上遞增.

當(dāng)。>1時，f(Xl)-f(X2)<0,即/(西)</(>2),則/(X)在(1,+8)上遞減.

【小問3詳解】

由〃EN,則。一2>〃20,即〃>〃+2,

結(jié)合(2)知：f(x)在(1,+8)上遞減且值域為(L+8)，

要使/'⑴在(〃,。一2)值域是(1,+8),貝！|〃=1且-2)=1,即4a+i=o,

所以。=2±6，又a>〃+2=3,故。=2+6.

綜上，n—1,a=2+A/3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，注意。-2>〃20,即有/'(X)在(1,+8)上遞減，再根據(jù)區(qū)間值域求參數(shù).

19、(1)(2)-3.

5

【解析】(1)直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果

(2)直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果

［詳解】(1)由于2sina=cosa

所以tana=!，

2

又a在第三象限，

函.百26

改：sina=----，cosa=------，

55

貝!I：cos(7i-a)=-cosa=~~~

(2)由于：tana=~,

l

2—+1

_(sina+cosa)_sina+cosa_2_

“I?；■~~22-—-~~22———―—T

sina-coHsasina-cosasina-cosa

2-

【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式應(yīng)用和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

20、(1)y=1；

(2)y-l=V3(x-l)^,y-l=-73(x-l).

【解析】(1)直接寫出直線方程得解；

(2)求出直線AC的斜率即得解.

小問1詳解】

解：因為4(1,1),5(5,1),

所以直線AB所在直線方程為y=L

【小問2詳解】

解：當(dāng)點C在直線y=l上方時，由題得直線AC的斜率為石，

所以邊AC所在直線點斜式方程為y-l=0(x-1)；

當(dāng)點C在直線y=l下方時，由題得直線AC的斜率為-6，

所以邊AC所在直線的點斜式方程為y-l=-石(x-1).

綜合得直線AC的方程為y~l=石(x—1)或y—1=-瓜x-1).

21、(I)x-y-1=0；(II)(x+2)2+(y-3)2=4

【解析】(I)由兩點式，可得直線1的方程；(II)利用圓C的圓心在直線1上，且與y軸相切于(0,3)點，確定圓心

坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程

試題解析：(I)由已知，直線/的斜率左=3=1,

4-2

所以，直線/的方程為x-y-1=0.

(II)因為圓C的圓心在直