中科院歷年高數(shù)A 03-10真題

中國科學(xué)院-----中國科技大學(xué)

2010年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)(A)

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、選擇題(每題只有一個(gè)答案是正確的，每小題5分，共25分)

(1)當(dāng)X.0時(shí)，工5111’是()

XX

A.無窮小量B.無窮大量

C.有界且非無窮小量D.無窮且非無窮大量

(2)設(shè)/⑴可微且滿足物”一則曲線y=/(x)在(0J(0))

處的切線斜率為()

A.-2B.2CD.-

22

(3)二元函數(shù)f(x,y)在(%,%)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是f(x,y)在(%,%)處

可微的()

A.充分條件B.必要條件

C.充分必要條件D,既非充分也非必要條件

00

(4)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分條件是()

n=l

A.也＜1(neN)B.(neN)

CO00

c.E(??+??+1)收斂D.收斂

n=ln=l

(5)下列廣義積分中發(fā)散的是()

xlnx7

A.------Tr^-dxB.

(l+x)-X

Inx7

---z---ax

2

c「x(x-1)X

二、填空題(每小題5分，共25分)

x12

(1)lim\——J=o

%-。x-sinx

(2)曲線y=sinx(0<x<和x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體

的體積是o

(3)二重積分ff2sinX+3sinydxdy=________。

xVvtismx+smy

22

(4)平面x+2y+z=1與橢圓柱面三+二=1相交所成的橢圓的面積為

23

_________O

(5)向量場西;:+…的旋度為__________0

-y=/(x,z)

三、(8分)設(shè)二元函數(shù)/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，關(guān)系式j(luò)/=yz可確定函

數(shù)y=y(x)及z=z(x)求電及

axax

四、(8分)設(shè)/⑴滿足條件/(x)=/(x)-1,f(0)=2o

(1)求:(尤);

(2)求不定積分J(7(x)-l)ln/(x)dx。

8

五、(8分)求哥級(jí)數(shù)￡(-1)"」巳/+1的收斂半徑和函數(shù)。

〃=0〃+1

六、(8分)求微分方程y〃+2y，+y=ef的通解。

七、(12分)設(shè)/(x)在［0,1］中有連續(xù)二階導(dǎo)函數(shù)。

(1)證明：x(l-x)f(x)dx=/(0)+/(I)-2f{x}dx；

(2)當(dāng)/(0)=l,/⑴=-1且『(x)歸"時(shí)，試證：絲。

八、(12分)計(jì)算曲線積分［(e*siny-y)dx+e*cosydy,其中L是以(0,0)為起

點(diǎn)，以(2,0)為終點(diǎn)的上半圓周(x-l)2+y2=i。

九、(12分)計(jì)算曲面積分口(丁-x)dydz+zdxdy,其中S是有向曲面

z=x2+y2(0<z<l),其法向量與z軸正方向夾角為銳角。

十、(12分)設(shè)/(x)是以27為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0Wx4萬時(shí)，f(x)=l-x2o

(1)將/(x)在［-7上展開成傅里葉級(jí)數(shù)；

(2)根據(jù)⑴求之又丁和￡占。

n=l〃n=l〃

H-一>(10分)設(shè)函數(shù)/(x)在［0,+00)上連續(xù),在(0,+oo)上可微，/(0)=0。當(dāng)x〉0

時(shí)，0<f\x)<f(x),證明/(x)恒等于0。

十二、(10分)設(shè)/(%)在(0,1)上一致連續(xù)，證明/(x)在(0,1)上有界.舉例說明

逆命題不成立。

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2009年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)(A)

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、單項(xiàng)選擇題(每題5分，共25分)

1.如果函數(shù)/(x),g(x)在點(diǎn)x=a附近有定義，下列四個(gè)論斷正確的是()

A.若/3)=1,則存在5〉0,使得/(x)在(a-b,a+R上嚴(yán)格單調(diào);

B.若/(%)在x=a點(diǎn)取到極大值，則/(%)在x=a點(diǎn)左側(cè)單調(diào)增、右側(cè)單

調(diào)減；

C.若/(a)=0,/(%)在x=a點(diǎn)處可導(dǎo)，則在x=a點(diǎn)處可導(dǎo)的充要

條件是廣3)=0;

D.若/(x)和g(x)都在x=a點(diǎn)取到極大值，則函數(shù)/(x)g(x)在x=a點(diǎn)

必取到極大值。

2.當(dāng)X-0時(shí)，下列四個(gè)無窮小量階數(shù)最高的是()

1,p2--

A.ln(l+x)-x+—xB.1e，dt

414

C.x—(———cosx)sinxD.cx—1

3?1n

3.設(shè)/(x)=<''inx'X*,則/(x)在％=0處()

0,x=0

A.不連續(xù);B.連續(xù)，但不可導(dǎo);

C.可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)；D.可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)連續(xù)。

4.設(shè)/(0,0)=0,當(dāng)(x,y)w(0,0)時(shí)/(x,y)為如下四式之一,則/(x,y)在點(diǎn)

(0,0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的是()

5.下列四個(gè)論斷正確的是()

A.若對(duì)所有自然數(shù)〃，％〉0滿足聯(lián)<1,則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；

an“=1

了00

B.若對(duì)所有自然數(shù)"，明〉0滿足瘋<1,則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；

n=l

C.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，貝(Jlim2=0；

n->co

n=\"n

+co+001

D.若%>0單調(diào)減，且級(jí)數(shù)￡(-1)"4發(fā)散，則級(jí)數(shù)￡(，)"收斂。

“=i?=i??+i

、填空題(每題5分，共25分)

6.方程y"-2y'+y=e'的通解為。

81

7.級(jí)數(shù)￡(〃+—*的和為

n=l"

8.設(shè)/(x,y)是連續(xù)函數(shù)，。是由直線x+y=l與x軸、y軸所圍成的平面域。

已知關(guān)系式^f(x,y)dxdy+f(x,y')+e^yr=0成立，則積分

D

jjf(X,y)dxdy=。

D

-7uc-2m

9.積分r幺=-dx=

10.積分fJw(-x2)"dx=o

三、解答題(每題8分，共40分)

U/^y=y(x)是由lnF7=arctan2確定的隱函數(shù)，求◎和嗯。

xdxdx

12.計(jì)算^zdxdydz,其中V是球面/+/+名？=2az和/+/+名？=〃z所圍

v

成的空間區(qū)域，。〉0為常數(shù)。

13.(1)將)1=arcsinx展開成帶皮亞諾余項(xiàng)的三階麥克勞林公式；

(2)對(duì)0<b<l,證明：存在Je(O,b),使得J1—《arcsinbnb；

(3)求極限liml,其中I由(2)確定。

8-0+b~

14.利用歐拉積分及r函數(shù)的余元公式r(5)r(i-5)=-^―

sin(s?)

(0<S<l)計(jì)算積分，(曰)“，其中常數(shù)「滿足。<"1。

小x-a

15.設(shè)第二型曲線積分］(/'(x)y2+/(0)y+ye孫)dx+(x2y+x+xe，u)dy與路徑

無關(guān)。

(1)求/(x);

小23)

(2)求］(/'(x)y2+/(0)y+”孫)dx+(/y+1+初)辦。

*0,0)

四、解答與證明題(每題12分，共60分)

16.求點(diǎn)(7,7-1)到曲面Z=/+寸的最短距離，并作幾何解釋。

17.設(shè)/(x)是二次連續(xù)可微函數(shù)，并設(shè)向量場

三|/(0)z+(尸⑴+/(%))0+卜+/(0)z|]+(1+y)1是無旋場。

(1)求未知函數(shù)/(%)所滿足的微分方程初值問題;

(2)求解(1)中的初值問題。

18.^P=—_,_—

v=Pi+Qj+Rko求第二型曲面積分J］Pdydz+Qdzdx+Rdxdy,其中S由球面

S

x2+y2+z2=l與拋物面z=x2+產(chǎn)—1所圍成的有界區(qū)域，外側(cè)。

19.設(shè)/(x)=x(0<x<l)o

(1)將/(x)展開成以2為周期的傅里葉余弦級(jí)數(shù);

（2）利用（1）中結(jié)果求積分rlln—67x；

x2-x

+001

（3）利用⑴中結(jié)果求級(jí)數(shù)和￡與。

n=l幾

20.設(shè)/（x）在區(qū)間[a,同上有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試證明：

（1）（〃。）一/（a））?4s_幻f（尸（初2公；

（2）max{/（x）|a<x<b]<1—j/（x）|dx+f。

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2008年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)(A)

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共25分)

1.以下說法中正確的是()

A.無窮小量是比任何數(shù)都要小的數(shù)；

B.任意多無窮小量之積仍為無窮小量；

C.兩個(gè)無窮大之和仍為無窮大量；

D.無窮大量與有界量之乘積未必是無窮大量。

2.設(shè)［0,1］在上/〃(x)<0,貝IJ1(0),尸⑴，/⑴-〃0)間的大小順序?yàn)?)

A.f(l)-/(0)>/,(0)>f，(l)B./X0)>f(D-f(0)>f,(l)

C.f,(0)>f，(l)>f(l)-/(0)D.fXl)>/W>/(l)-f(0)

3.已知函數(shù)/(x,y)滿足/(x+y,x—y)=/一y2,貝汁+=()

dxdy

A.2x—2yB.2x+2y

4.下列級(jí)數(shù)或積分中收斂是(

ooioo/i\n

A.￡—B.

n=2〃In〃n=l(]+

n

5.設(shè)m,-q都是正數(shù)，則，/-(I-/).公等于()

A.B.c.-r(-)r(^)D.lr(-)r(^)

mmnnmmnn

二、填空題(每小題5分，共25分)

1n

6.lim—V[ln(i+〃)-In〃]=_____

gnJZ=1

7.設(shè)。是圓域V+y2<4,則行,+1dxdy=o

+ey+2

x=t

8.在曲線Iy=-r的切線方程中，與平面3x+3y+z=4平行的切線方程是

9.級(jí)數(shù)￡2字的和為o

n=02

10.設(shè)/(幻可微且滿足等式f(2/Q)-1)力=則f(x)=o

三、解答題(每小題8分，共40分)

11.設(shè)y=y(x)是由方程組卜=3產(chǎn)+253所確定的隱函數(shù)，求◎及

/sinr-y+l=0dx

d2y

2-0

dxt=()

12.求不定積分172X+x~dxa

13.設(shè)容器底面在水平面Oxy上，z軸豎直向上，其側(cè)面是由。xz平面曲線

x=z2-z+1繞z軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面。今以1米3/秒的速率向容器內(nèi)灌水。試

問當(dāng)容器內(nèi)水面高度為/?米時(shí)，容器內(nèi)水面上升的速率是多少米/秒？

14.設(shè)/(y)是連續(xù)函數(shù)，試將累次積分fdx『cos(x-y)/(y)力化成一個(gè)定積

分。

15.試將函數(shù)/(x)=一一在x=1處展開成基級(jí)數(shù)，寫出展開式成立的區(qū)

x-x-6

間，并求/㈤(1)。

四、解答與證明題(每小題12分，共60分)

16.(1)求函數(shù)7+/+1的極值；

(2)求在條件x+y-3=0之下函數(shù)z=/+y2+1的條件極值；

(3)說明幾何意義。

17.設(shè)曲面S的方程z=Ja?-X?-y?,cosa,cos/?,cos/是此曲面下側(cè)法

向量的方向余弦，計(jì)算jj[xz2cosa+(x2y-z3)cos+(2xy+y2z)cosy\lS。

s

18.設(shè)0(x),〃(x)都是二次可微函數(shù)，9(0)=0,"(0)=2,〃(0)=2,

P(x,y)=[2x0，(x)+〃(x)]y2一2yi//(x)tan2x,Q(x,y)=[°'(x)+4x/(x)]y+〃(x)

(1)求出0(x)與〃(x),使空間曲線積分JP(X,y)dx+Q(x,y)dy+(p{z}y/{z}dz

c

與路徑無關(guān)；

(2)求平面曲線積分-')P(x,y)dx+Q(x,y)dy的值。

40,0)

19.設(shè)a數(shù)滿足0<a<1,又設(shè)在0<x<7T_h,/(x)=cosax。

(1)在[0z]上，試將/(x)展開成以2萬為周期的余弦級(jí)數(shù)；

1co11

(2)求級(jí)數(shù)l+￡(—1)"(—二+―L)的和；

u〃=i〃+〃a—n

(3)寫出與(1)中展開式相應(yīng)的巴塞瓦爾等式。

20.證明題

(1)設(shè)/(x)二次可導(dǎo)，f(0)=f,(0)=f(D=0,試證存在Je(0,l),使

得于"?+4-蔗)+(4-+2—0；

(2)設(shè)/(x)在[0,1]上可積且j/(x)dx〉0,試證存在子區(qū)間[a,b]u[0,1],

對(duì)Vxe[a,b],有/(x)〉0。

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2007年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)(A)

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、填空題(本題5小題，每小題5分，滿分25分)

1?設(shè)a>Q9貝!JJJ.2+乙2dx=o

2.設(shè)P是曲面z=/+盯+V上的一點(diǎn),曲面在P點(diǎn)處的切平面平行于平面

x—y+3z+79=0,貝點(diǎn)的坐標(biāo)為。

3.設(shè),-l<y<1,則二重積分-sin'dxdy的值等于

O

4.方程y"+y'+y=0的通解為o

二、單項(xiàng)選擇題(本題共5小題，每小題5分，滿分25分)

l.limjf(x(2-x))"t/x=()

2./(x)=g-5)(-山(

A.有極值點(diǎn)5和拐點(diǎn)6；B.有極值點(diǎn)6和拐點(diǎn)5；

C.5和6都是/(x)的極值點(diǎn);D./(x)沒有拐點(diǎn)。

3.積分「為子公=

X

sinx,

-ax

rx

4.設(shè)二元函數(shù)/(x,y)可微，/(x,x2)=2%2,/二(%,*2)=2*,則/：0,/)等于()

A.xB.1C.0D.無法確定

5.設(shè)曲線L：卜+V+Z2=7,則()

x+y+z=3

22

A.^xdl=6兀B.^ydl=5兀

LL

C.Jzd/=4〃D.^xdl=3〃

LL

三、(本題5小題，每小題8分，滿分40分)

1.求積分f君*公。

2.設(shè)曲面塊S是上半球面x2+y2+z2=l(z>0)被柱面x2+產(chǎn)=%所截下的部

分,S上有一物質(zhì)分布其密度為2+y,求曲面上該物質(zhì)的重量。

3.設(shè)z(x,y)=fe""故+fye(w%,向量，=j+j,其中"j是x,y軸上指

向正方向的單位向量，求當(dāng)(0,1)。

81

4.將R—展開成(x-l)的塞級(jí)數(shù)，并求它的收斂域。

/+3x+2

5.設(shè)。<b,試將積分f/1dx用歐拉積分表示,并根據(jù)「函數(shù)的

工J(x-a)(b-x)i

余元公式r(x)r(l-x)=-^―,(0<x<1)算出以上積分的值。

sin(7zx)

四、(本題5小題，每小題12分，滿分60分)

1.設(shè)函數(shù)M(X,y)=6xy,求a(x,y)在平面閉區(qū)域(x-y)2+3y2<1上的最大值與

最小值。

2.計(jì)算積分］(y2_y)dx+(z2-Z)dy+(x2-x)dz,其中L是球面x2+y2+z2=a2

與平面x+y+z=0的交線，L的方向與z軸正向成右手系。

3.(1)試構(gòu)造一個(gè)齊次的二階線性微分方程y〃+p(x)V+q(x)y=0,使它以x,

e'為基本解組；

(2)求出相應(yīng)的非齊次方程y〃+p(x)V+q(x)y=x-l的一個(gè)特解，并寫出該

非齊次方程的通解。

4.將7-2忖(OVxW乃)展開成以24為周期的Fourier級(jí)數(shù)，并求出數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

￡3與之_i_的和。

M〃-占(2〃-

5.(1)設(shè)/"(x)在閉區(qū)間以㈤上連續(xù)，證明存在使得

,所”加0一”(竽)+早

(2)設(shè)在[a,“上處處有1(x)存在，利用費(fèi)馬定理證明達(dá)布定理：存在

ce[a,b],使得廣(c)=g[f'(a)+f'(b)]。

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2006年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)(A)

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、填空題(本題共5小題，每小題5分，滿分25分)

1.jtanxln(cosx)dx=

2.已知z=/(±+21ny),/為可微函數(shù)，貝I」/包+丁生=_______________

xdxdy

3.平面3x+4y-3z+16=0與橢圓球面3/+y2+z2=16相切，貝！

4.設(shè)。為圓域/+,2??,則jjarctane^dxdy=。

D

5.微分方程y'+-y=—的通解為________________________。

xx(l+x2)

二、單項(xiàng)選擇題(本題共5小題，每小題5分，滿分25分)

1.設(shè)/(x)在毛的某鄰域內(nèi)有三階導(dǎo)數(shù)，且1而小=1,貝U()

X。X-Xo

A./(%)是/(x)的極小值；

B./(%)是/(x)的極大值；

C.(%,/(%))是曲線y=/(x)的拐點(diǎn)；

D./(%)不是極值，(/,/(%))也不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn)。

2.設(shè)/。)=『，廠6一嗎力，則()

A./(x)是以2萬為周期的偶函數(shù);

B./(x)是以2乃為周期的奇函數(shù);

C./(x)是以乃為周期的偶函數(shù);

D./(x)是以〃為周期的奇函數(shù)。

d-COSX2ri.

3./(x)=j(e「一l)dt,g(x)=x，+/,貝!J當(dāng)x-0時(shí)，/(x)是g(x)的()

A.低階無窮小B.高階無窮小

C.等價(jià)無窮小D.同階但不等價(jià)的無窮小

00

4.級(jí)數(shù)()

n=l-

3449

A.In-B.In-C.-D.-

4394

5.已知q=3￡cos(2"1)￡(一萬WxW乃)。為常數(shù)，貝()

冗n=l(2〃-1)

TC

A.B.-C.-7iD.n

~22

三、(本題共5小題，每題8分，滿分40分)

x=ln(l+r)求"yd2y

1.已知一

y=t-arctantdxdx1

2.設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，且/(x)<l,證明方程2x-17⑺力=1在(0,1)上只有

唯一解。

3.設(shè)/(x)在(0,+oo)上連續(xù)，且lim/(x)=A(AwO),求limf/(〃x)dx。

x—>+oon—>00J)

4.利用歐拉積分計(jì)算『在1公o

5.將“M士在“一展開成辱級(jí)數(shù),并求收斂域。

四、(本題共3小題，每小題12分，滿分36分)

1.設(shè)y=/(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且曲線積分

j(y2+2yf(x)~6xye~x)dx+(/r(x)-/(%)+2xy+2e~x)dy=0,L是平面上任意一條

L

方向?yàn)槟鏁r(shí)針的封閉曲線。

(1)已知/(0)=0,廣(0)=0,求y=/(x);

(2)計(jì)算,f(x)dxo

2.求二元函數(shù)/(x,y)=xy(2x+y-1)在由x軸、y軸和直線x+y=1所圍成的

閉區(qū)域。上的最大值和最小值。

3.設(shè)s是單位球面產(chǎn)+儼+22=1的外側(cè)，y=——

(a2x2+b2y2+c2z2

(1)求dz'W；

(2)求曲面積分［史隹士2幽士學(xué),

s(a2x2+b2y2+c2z2)A

五、(本題共2小題，每小題12分，滿分24分)

1.將/(%)=乃2一%2(-乃＜xW乃)展開成周期為24的Fourier級(jí)數(shù)，并求

§(_］嚴(yán)CO1

,於。

Z?〃2

2.設(shè)/(x)在［0同上二階可導(dǎo)，\f(x)\<M,又/(0)<0,/(a)<0,

max/(x)=0,

0<x<a

證明：

(1)『(o)|+『(小M

(2)￡|f(X)|t/x<y(73o

中國科學(xué)院——中國科技大學(xué)

2005年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)(A)

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、填空題(本題共5小題，每小題5分，滿分25分)

1.已知廣(%)=3,則lim/(Xo)-/(X°-2x)=o

2.設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)是J,則\xf'(x)dx=o

3.數(shù)量場M=/+2/+3z?在點(diǎn)的最大方向微商值為

002n

4?級(jí)數(shù)￡］二的收斂半徑為o

n=l2+3

5.微分方程y--y=l的通解為o

X

二、單項(xiàng)選擇題(本題共5小題，每小題5分，滿分25分)

1.設(shè)/(0)=0,則/(x)在點(diǎn)x=0可導(dǎo)的充要條件為()

A.存在B.存在

C.lim』/(ln(l+t))存在D.Iim1［/(2t)—/?)］存在

一。t一0t

2

2.設(shè)曲面f+y2一?=1在點(diǎn)(U⑵處的法線為L,又設(shè)4：

——-=—―-=-~~-,n：x+y+4z=l,貝!J()

210

A.L與L］相交，且L平行于萬；B.乙與乙相交，且L垂直于萬；

C.L與4異面，且L平行于下；D.L與4異面，且L垂直于萬。

3.設(shè)S是柱面x2+y2=R2(Q<z<R)的外側(cè)，則jj(x2+y2)dxdy的值為()

s

A.2成3B.2成&C.成4D.0

00

4.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則下列結(jié)論中正確的是()

n=l

0000

A.級(jí)數(shù)收斂B.級(jí)數(shù)收斂

n=ln=l

C.級(jí)數(shù)收斂D.級(jí)數(shù)￡魚絕對(duì)收斂

n=lV"n=l〃

5.設(shè)f(x)=x-L(0<x<2L),則其以2L為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=-g收

斂于()

AL。3L丁L八3L

A.B.C.—D.—

2222

三、(本題共5小題，每小題8分，滿分40分)

1.計(jì)算極限lim辿上粵皿。

2.計(jì)算廣義積分「----dxo

上(2+X2)V17X7

3.利用歐拉積分計(jì)算，

dxo

Vl-x6

4.設(shè)/(a,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=/(xy2,2),求當(dāng)，包￡

xdxoxdy

5.計(jì)算二重積分fdxjcos/dy。

四、(本題共3小題，每小題12分，滿分36分)

1.設(shè)/(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(0)=1,r(0)=1,且曲線積分

J(e*siny+2yf'(x)+2xy)dx+(1(x)+/(x)+2x+e*cosy)dy與路徑無關(guān)。

L

(1)求)(無);

(2)當(dāng)L是從(0,0)沿曲線y=/到(ij)的有向曲線段時(shí)，求以上曲線積分

的值。

2.將函數(shù)曠=xarctanx-gln(l+%2)在x=0處展開成泰勒級(jí)數(shù)，并求收斂域及

y(-D，!

M(2〃+1)(2〃+2)°

3.將函數(shù)/(x)=|〃一展開成周期為2萬的傅里葉級(jí)數(shù)(說明收

萬一x0<x<^r

81

斂情況)，并求z昌區(qū)。

〃=i(2〃—1)

五、(本題共2小題，每小題12分，滿分24分)

1.設(shè)/(X)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0)=0,/(l)=2o

證明：(1)存在會(huì)(0,1),使/?=1;

(2)存在0<玉</<1，使+=

■f(^1)/(0)

2.(1)求歹(x)=f卜-乂故(常數(shù)a>0)在［0同上的最小值；

(2)設(shè)/(x)在［0,a］(a〉0)上連續(xù)，且f/(x)dx=0,/燈'(x)dx=1。求證:

存在一點(diǎn)e［0,司，使|/(%)|23。

中國科學(xué)院——中國科技大學(xué)

2004年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、填空題（本題共5題，每小題5分，滿分25分）

l.limJsin1+sin—H—+sin—=_____________。

8\2n

2.設(shè)y—esiny=x（常數(shù)￡￡（01）），則=。

dx

3.積分廣皿/）二的收斂域?yàn)閛

4.曲面z=arctanl在點(diǎn)（1,1,2）處的切平面方程為。

x4

5.微分方程y"-3y'+2y=cosx的通解為。

二、單項(xiàng)選擇題（本題共5題，每小題5分，滿分25分）

1.設(shè)S為球面/+y2+z?=氏2夕卜側(cè)，貝!］亞％26々+產(chǎn)改公+22公6=（）

A.0B.成4C.2成4D.4成4

2.曲線x-1的漸近線的條數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.給定嚴(yán)格遞增數(shù)列{A“},且A=a,lim4=+oo。函數(shù)/（x）在［a,+Q0）上連

n—><x）

oo,

續(xù)且非負(fù)，則積分「/（x）dx收斂是級(jí)數(shù)收斂的（）

n=ln

A.充分條件但非必要條件B.必要條件但非充分條件

C,充分必要條件D.既非充分條件又非必要條件

8riv

4.如果級(jí)數(shù)￡lnl+g-5〉0)條件收斂，則()

n=2_〃—

A.0<p<1B.p>1C.p<1D.<p<1

5.設(shè)/(x,y)=J'+則下歹u選項(xiàng)正確的是()

0(x,y)=(0,0)

A./(x,y)在(0,0)處不可微，g,或在(0,0)處連續(xù)；

oxoy

B./(x,y)在(0,0)處不可微，g,笠在(0,0)處不連續(xù);

exdy

CJ(x,y)在(0,0)處可微，g,更在(0,0)處連續(xù);

exoy

DJ(x,y)在(0,0)處可微，工，笠在(0,0)處不連續(xù)。

oxdy

三、(本題共5題，每小題8分，滿分40分)

rtanx

^(tant-t)dt

1.計(jì)算極限limJ---o

x-?0產(chǎn)nx.%

Ism/2tdt

2.計(jì)算積分(2尸Tdxo

3.利用歐拉積分計(jì)算j(tanx)%dx。

4.利用Stokes公式計(jì)算j(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,其中L：

,222_2

X,~a(a>0),從x軸正向看L為逆時(shí)針走向。

x+y+z=0

j_1

5.設(shè)〉0。證明：當(dāng)y>x>0時(shí)，有(優(yōu)+//尸〉(。，+匕，)>。

四、(本題共3題，每小題12分，滿分36分)

1.求由曲面/+y2=az和z=2"Jx?+y2(°〉0)所圍立體的體積。

co1

2.求級(jí)數(shù)￡n(n+l)-一”的和函數(shù)，并求收斂域。

n=l〃(〃+1)

3.求人的取值范圍，使得關(guān)于X的方程8+%2=1有唯一正根。

X

五、（本題共2題，每小題12分，滿分24分）

1.將函數(shù)/（%）=-"NX"。展開成傅里葉級(jí)數(shù)（說明收斂情況），并求

〔依0<x<^

YY2

2.確定常數(shù);I,使得三（/+//公一二S+y2ady=0在。=My）|y〉O｝內(nèi)

yy

為一全微分方程，并利用曲線積分求此全微分方程的通解。

中國科學(xué)院——中國科技大學(xué)

2003年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試卷

試卷名稱：高等數(shù)學(xué)（A）

考生須知：

1.本試卷滿分150分，全部考試時(shí)間總計(jì)180分鐘。

2.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷紙或草稿紙上一律無效。

一、填空題（本題共5小題，每小題5分，滿分25分）

(「Vtanx-1

1.lim----------

2sinx-1

4

x=IuInudu》

2.設(shè)」Q0),貝ljg=

2x

y=^2uInudu

0011_9r

3.級(jí)數(shù)