人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2同步練習(xí)

一、選擇題(本大題共7小題,每小題5分，共35分)

1.用S表示圖中陰影部分的面積，貝氏的值是()

第8度圖

【答案】D

【解析】

b

試題分析：先將陰影部分的面積用定積分表示/Jf(x)dx-/Bf(x)dx,然后根據(jù)定積分

的意義進行選擇即可.

詳解：

由定積分的幾何意義知

區(qū)域內(nèi)的曲線與X軸的面積代數(shù)和.

h

即JJf(x)dx-faf(x)dx

選項D正確.

故選：D.

點睛：本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用，解題是要注意分割，關(guān)健是要注意在x軸下方的

部分積分為負(fù)(積分的幾何意義強調(diào)代數(shù)和)，屬于基礎(chǔ)題.注意積分并不等于面積，當(dāng)被積

函數(shù)為正時積分和面積相等，當(dāng)被積函數(shù)為負(fù)時積分等于面積的相反數(shù).

2.一物體以速度2t(y的單位:m/s)做直線運動，則它在t與s到力4s時間段內(nèi)的位移

是（）

A.31mB.36m

C.38mD.40m

【答案】B

【解析】

【分析】

利用定積分的物理意義解答即可.

3

【詳解】由題意物體在t=0s到t=3s時間段內(nèi)的位移是：J(3t2+2t)dt=(t3+1510=36.

o

故選：B.

【點睛】本題考查了定積分的物理意義；變速直線運動的物體在時間段內(nèi)的位移可以利用定

積分計算，屬于基礎(chǔ)題.

3.以初速度40m/s豎直向上拋一物體，t秒時刻的速度v=40—lOt',則此物體達(dá)到最高時的

高度為().

160804020

A.—mB.—mC.—mD.-m

3333

【答案】A

【解析】

試題分析：物體達(dá)到最高時速度為o,^v=40-10t2=0.貝I」t=2,則所求高度應(yīng)該為J(40T0t2)dt.

o

考點：積分的意義.

4.如圖陰影部分的面積是()

【答案】C

【解析】

試題分析：陰影部分的面積為

—e~~底=[exdx—e~xdx=ex|Q+e~x|Q=e—1+——l=e+——2.

考點：定積分的應(yīng)用.

5.做直線運動的質(zhì)點在任意位置x處，所受的力尸(x)=l+e',則質(zhì)點沿著與Mx)相同的方向,

從點為=0處運動到點吊=1處，力尸(x)所做的功是()

A.1+eB.e

C.-D.e-1

p

【答案】B

【解析】

d^^d+eO(x+e?1=(1+e)—l=e.選B.

6.由曲線y=*和直線y=x+2圍成的封閉圖形的面積是()

107913

A.—B.-C.—D.—

3626

【答案】c

【解析】

【分析】

首先求出曲線與直線的交點，然后利用定積分表示圍成封閉圖形的面積，最后計算定積分.

【詳解】由題意，曲線y=I和直線y=x+2的交點為(-1,1),(2,4),如圖

所以圍成封閉圖形的面積為：J(x+2-x2)dx=(；x2+2x」x3)|；=；.

-1

故選：C.

【點睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟

(1)根據(jù)題意畫出圖形；(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限;

(3)把平面圖形的面積表示成若干個定積分的和或差；(4)計算定積分得出答案.

7.直線1過拋物線c：x?=4y的焦點且與y軸垂直，貝Ui與C所圍成的圖形的面積等于().

4816企

A.-B.2C.-D.

333

【答案】C

【解析】

試題分析：拋物線C的焦點為(0,1),直線l:y=l與拋物線的交點為(±2,1),因此

2，

S=Jf(l-x--)dx=(x-1-x3)|2^=-8.

-2

考點：積分的幾何意義.

視頻一

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)

8.如圖所示,f(x)=1抬inx,則陰影部分的面積是

【答案】五十2

【解析】

【分析】

71

由圖象可得S=J(1+sinx)dx,再根據(jù)定積分的計算法則計算即可.

0

兀

【詳解】由圖象可得S=J(1+sinx)dx=(x-cosx)-cosn-(0-cosO)="+2,

o

故答案為：貝+2.

【點睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟

(1)根據(jù)題意畫出圖形；(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限;

(3)把平面圖形的面積表示成若干個定積分的和或差；(4)計算定積分得出答案.

9.汽車以每小時32km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以加速度a=-1.8m/s?剎

車，則從開始剎車到停車，汽車所走的路程約為.(保留小數(shù)點后兩位)

【答案】21.95m

【解析】

1=0時，%=32km/h=—~吧%)/s=%/s,剎車后減速行駛，v(t)=K)+at=——1.8^.停

360099

一/、吊0,口400

止時，。(￡)=0,則一一1.8￡=0,得￡=——s,

981

所以從剎車到停車，汽車所走過的路程為

4.944.X

s=Jv(t)dt=J(8.89-1.8t)dt=j8.89t-1.8x^t2j|4^~21.95m.

oo

故答案為為：21.95m.

10.設(shè)a>\,若曲線y4■與直線y=0,x=\,x=a所圍成的封閉圖形的面積為2,則a=__.

X

【答案】e2

【解析】

【分析】

根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式解之即可.

【詳解】；a>l.若曲線y=1與直線y=0,x=l,x=a,所圍成封閉圖形的面積為2,

X

a

.fl―

??I-dx—2?

1

(Inx)|J=2,

lna=2,??a=e'.

故答案為：/

【點睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟

(1)根據(jù)題意畫出圖形；(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限;

(3)把平面圖形的面積表示成若干個定積分的和或差；(4)計算定積分得出答案.

11.如圖所示，則陰影部分的面積是

【解析】

試題分析：由題意得，直線y=2x與拋物線y=3-2,解得交點分別為(-3,W)和(1,2),拋物線

10

y=3-x)與x軸負(fù)半軸交點(-而,0),設(shè)陰影部分的面積為S,則S=J(3-x2-2x)dx+J(3-xbdx

o-#

0百532

—J2xdx+J(3-xbdx=-+2有+9-2招=一.

-3-3

考點：定積分在求面積中的應(yīng)用.

【方法點晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)直線方程

與曲線方程的交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)是解答此類問題的關(guān)鍵，同時

解答中注意圖形的分割，在X軸下方的部分積分為負(fù)(積分的幾何意義強調(diào)代數(shù)和)，著重考查

了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

三、解答題(本大題共2小題,共25分)

12.已知曲線G:/之x與Gjlf在第一象限內(nèi)的交點為A

2

(1)求過點。且與曲線C相切的直線方程；

(2)求兩條曲線所圍圖形(如圖所示的陰影部分)的面積S

4

【答案】(1)2x丁-2=0.(2)-

3

【解析】

【分析】

(1)先通過解方程組求交點P的坐標(biāo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的兒何意義求出函數(shù)在x=2處的導(dǎo)數(shù)，從

而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可.

(2)先確定積分區(qū)間，再確定被積函數(shù)，從而可求由兩條曲線曲線G：/=2x與Cz：y=/x2所

圍圖形的面積.

【詳解】解：(1)曲線G：/2x與G：y」就在第一象限內(nèi)的交點為？(2,2),

2

片/2的導(dǎo)數(shù)為y，=x,則?之,而切點的坐標(biāo)為⑵2),

?：曲線在=2處的切線方程為p-2之(才-2),即2x-y-2=Q.

2x

(2)由曲線與C：片32可得,兩曲線的交點坐標(biāo)為(0,0),(2,2),

.：兩條曲線所圍圖形的面積

S父(夜手2"=(0拉#)|o4

【點睛】利用定積分求平面圖形面積的步驟

(1)根據(jù)題意畫出圖形；(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限;

(3)把平面圖形的面積表示成若干個定積分的和或差；(4)計算定積分得出答案.

13.有一動點尸沿x軸運動，在時刻力的速度為Mt)3)2次速度的正方向與x軸正方向一致).

(1)一從原點出發(fā),當(dāng)tW時,求點P運動的路程；

(2)夕從原點出發(fā)，經(jīng)過時間￡后又返回原點，求力的值.

122

【答案】(1)—(2)6

3

【解析】

【分析】

(1)利用定積分的物理意義解答即可；

(2)由定積分的值為?？傻媒?

【詳解】解：⑴由O=852/20,得0WtW4,

即當(dāng)0W時,尸點向*軸正方向運動，

當(dāng)t>\時,P點向x軸負(fù)方向運動.

故t=Q時，點?運動的路程s父(8i-212)dt-J^(8i-212)dt=(4t2-#)IX%叫洋

(2)依題意知,(②-2的d片0,即4/-，丸

解得1-0或t3，所以t的值為6.

【點睛】本題考查了定積分的物理意義；變速直線運動的物體在時間段內(nèi)的位移可以利用定

積分計算.

14.一列車沿直線軌道前進，剎車后列車速度r1)=27—0.93則列車剎車后前進多少米才能

停車()

A.405B.540

C.810I).945

【答案】A

【解析】

停車時y(e)=0,由27-0.9Q0,得t=30,

3030

所以s=Jv(t)dt=J(27—0.9t)dt=(27t—0.9t2)|^=405.

oo

故選A.

4

15.已知拋物線y=f-2x及直線x=0,x=a,y=0圍成的平面圖形的面積為-，求a的值.

3

【答案】a=-1,或d=2.

【解析】

【試題分析】先作出y=x?-2x的圖像，根據(jù)圖像分析可知，要將a分成三類討論圍成區(qū)域.當(dāng)avo

aa2a2

時，S=J(x2-2x)dx;當(dāng)0<aW2時，S=-J(x2