機(jī)器學(xué)習(xí)-核函數(shù)基本概念

機(jī)器學(xué)習(xí)-核函數(shù)根本概念§1多項(xiàng)式空間和多項(xiàng)式核函數(shù)(核或正定核)設(shè)是中的一個(gè)子集，稱定義在上的函數(shù)是核函數(shù)，如果存在一個(gè)從到Hilbert空間的映射()使得對(duì)任意的，()都成立。其中表示Hilbert空間中的內(nèi)積。定義〔d階多項(xiàng)式〕設(shè)，那么稱乘積為的一個(gè)d階多項(xiàng)式，其中。有序齊次多項(xiàng)式空間考慮2維空間中〔〕的模式，其所有的2階單項(xiàng)式為，，，(1.3)注意，在表達(dá)式(1.3)中，我們把和看成兩個(gè)不同的單項(xiàng)式，所以稱式〔1.3〕中的單項(xiàng)式為有序單項(xiàng)式。這4個(gè)有序單項(xiàng)式張成的是一個(gè)4維特征空間，稱為2階有序齊次多項(xiàng)式空間，記為。相應(yīng)地可建立從原空間到多項(xiàng)式空間的非線性映射(1.4)同理，從到階有序齊次多項(xiàng)式空間的映射可表示為(1.5)這樣的有序單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)為，即多項(xiàng)式空間的維數(shù)。如果在中進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，當(dāng)和都不太小時(shí)，多項(xiàng)式空間的維數(shù)會(huì)相當(dāng)大。如當(dāng)，時(shí)，維數(shù)可到達(dá)上億維。顯然，在多項(xiàng)式空間中直接進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算將會(huì)引起“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題，那么，如何處理這個(gè)問(wèn)題呢？我們先來(lái)考查的情況，計(jì)算多項(xiàng)式空間中兩個(gè)向量的內(nèi)積(1.6)假設(shè)定義函數(shù)(1.7)那么有(1.8)即4維多項(xiàng)式空間上的向量?jī)?nèi)積可以轉(zhuǎn)化為原始2維空間上的向量?jī)?nèi)積的平方。對(duì)于一般的從到階有序多項(xiàng)式空間的映射〔1.5〕也有類似的結(jié)論?？紤]由式〔1.5〕定義的從到多項(xiàng)式空間的映射，那么在空間上的內(nèi)積可表為(1.9)其中(1.10)證明：直接計(jì)算可得(1.11)上述定理說(shuō)明，我們并不需要在高維的多項(xiàng)式空間中直接做內(nèi)積運(yùn)算，而利用式〔1.10)給出的輸入空間上的二元函數(shù)來(lái)計(jì)算高維多項(xiàng)式空間中的內(nèi)積。2.有序多項(xiàng)式空間在式〔1.5〕定義的映射中，多項(xiàng)式空間的分量由所有的階有序單項(xiàng)式組成。如果把該多項(xiàng)式空間的分量擴(kuò)充為所有不超過(guò)階的有序單項(xiàng)式，便得到從到有序多項(xiàng)式空間的映射(1.12)對(duì)于這個(gè)映射，我們有如下的定理：定理1.2考慮有式〔1.12〕定義的從到多項(xiàng)式空間的映射，那么空間上的內(nèi)積可表為空間上的內(nèi)積的函數(shù)，即假設(shè)定義兩個(gè)變量和的函數(shù)(1.13)那么有(1.14)上述有序多項(xiàng)式空間的一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是(1.15)3.無(wú)序多項(xiàng)式空間如果我們把式〔1.4〕中的和看作相同的單項(xiàng)式，那么我們就可以把從到4維多項(xiàng)式空間的映射〔1.4〕簡(jiǎn)化為從到3維多項(xiàng)式空間的映射(1.16)將映射〔1.16〕調(diào)整為(1.17)那么相應(yīng)的多項(xiàng)式空間稱為2階無(wú)序多項(xiàng)式空間，并且有(1.18)對(duì)式〔1.5〕所示的變換按下述方式操作：把中次序不同但因子相同的各分量合并為一個(gè)分量，并在該分量前增加一個(gè)系數(shù)，這個(gè)系數(shù)取為相應(yīng)次序不同但因子相同的分量在中出現(xiàn)次數(shù)的平方根。這樣得到的從到階無(wú)序多項(xiàng)式空間的變換仍滿足關(guān)系式(1.19)其中(1.20)根據(jù)定義1.1，我們稱〔1.13〕和〔1.20〕分別為階多項(xiàng)式核函數(shù)和階齊次多項(xiàng)式核函數(shù)。比擬式〔1.4〕定義的變換和式〔1.17〕定義的可以發(fā)現(xiàn)，它們所映射到的多項(xiàng)式空間是不同的。前者是一個(gè)4維多項(xiàng)式空間，后者為一個(gè)3維多項(xiàng)式空間。但是內(nèi)積是相同的，它們都可以表示為內(nèi)積的函數(shù)。這說(shuō)明：多項(xiàng)式空間不是由核函數(shù)唯一確定的?！?Mercer核1.半正定矩陣的特征展開(kāi)給定向量集合，其中。設(shè)是上的對(duì)稱函數(shù)，我們定義(1.21)那么稱是關(guān)于的Gram矩陣。我們首先要研究的問(wèn)題是：當(dāng)Gram矩陣滿足什么條件時(shí)，函數(shù)是一個(gè)核函數(shù)?！簿仃囁阕印扯x在上的矩陣算子：對(duì)，的分量由下式確定(1.22)定義1.3〔特征值和特征向量〕。稱為它的特征值，并稱為相應(yīng)的特征向量，如果且(1.23)定義〔半正定性〕。稱它是半正定的，如果對(duì)，有(1.24)假設(shè)定義是半正定的，那么存在著個(gè)非負(fù)特征值和互相正交的單位特征向量，使得,5)證明：由于是對(duì)稱的，所以存在著正交矩陣和對(duì)角矩陣，使得6)這里是矩陣的第t個(gè)特征向量，它對(duì)應(yīng)的特征值是。因?yàn)槭前胝ǖ?，所以所有特征值均為非?fù)數(shù)。于是由〔6〕推知7)引理1.2假設(shè)引理1.1的結(jié)論成立，那么存在著從到的映射，使得8)其中是特征空間的內(nèi)積。因而是一個(gè)核函數(shù)。證明：定義映射(1.29)直接驗(yàn)證可知引理1.2成立。引理1.3假設(shè)引理1.2的結(jié)論成立，那么矩陣是半正定的。證明：設(shè)不是半正定的，那么一定存在著與一個(gè)負(fù)特征值相對(duì)應(yīng)的單位特征向量。定義中的向量z(1.30)那么有(1.31)顯然，這與是負(fù)特征值相矛盾。因此K必須是半正定的。設(shè)是有限集合，是定義在半正定，等價(jià)于可表示為(1.32)其中是矩陣(1.33)的特征值，為對(duì)應(yīng)于的特征向量，也等價(jià)于是一個(gè)核函數(shù)，即，其中映射由式〔1.29〕定義。2.半正定積分算子的特征展開(kāi)設(shè)輸入集合為中的緊集，并設(shè)是的連續(xù)對(duì)稱函數(shù)。我們要研究的問(wèn)題是，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，它是一個(gè)核函數(shù)?！卜e分算子〕定義積分算子為按下式確定的在上的積分算子(1.34)〔特征值和特征函數(shù)，稱為它的特征值，為相應(yīng)的特征函數(shù)，如果(1.35)定義1.7〔半正定性。稱它是半正定的，如果對(duì)，有(1.36)引理1.4假設(shè)定義是半正定的，那么存在著可數(shù)個(gè)非負(fù)特征值和相應(yīng)的互相正交的單位特征函數(shù)，使得可表示為上的一致收斂的級(jí)數(shù)(1.37)假設(shè)引理1.4的結(jié)論成立，那么存在著到Hilbert空間的映射，使得，(1.38)其中是上的內(nèi)積。因而是一個(gè)核函數(shù)。證明：定義映射(1.39)那么可驗(yàn)證引理1.5成立。引理那么積分算子是半正定的?！睲ercer定理〕令是上的一個(gè)緊集，是半正定，(1.40)等價(jià)于可表示為的一致收斂序列(1.41)其中是的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)。它也等價(jià)于是一個(gè)核函數(shù)(1.42)其中映射由式〔〕定義，而是Hilbert空間上的內(nèi)積。〔Mercer核〕稱函數(shù)為Mercer核，如果是定義在上的連續(xù)對(duì)稱函數(shù)，其中是的緊集，且由定義1.5給出的積分算子是半正定的。設(shè)為上的緊集，是上的連續(xù)對(duì)稱函數(shù)，那么積分算子半正定的充要條件是關(guān)于任意的的Gram矩陣半正定?！?正定核定理1.6設(shè)是的子集。假設(shè)是定義在上的正定核，那么對(duì)，函數(shù)關(guān)于的Gram矩陣都是半正定的。證明：是定義在上的正定核，因此存在著從X到Hilbert空間H的映射，使得(1.43)任取，構(gòu)造關(guān)于的Gram矩陣。顯然，根據(jù)由式〔1.43〕可以斷言，對(duì),我們有(1.44)這說(shuō)明關(guān)于的Gram矩陣是半正定的。假設(shè)集合S由所有的以下元素組成(1.45)其中為任意的正整數(shù)，,,那么S為一個(gè)向量空間。證明：由于集合S中的元素對(duì)于加法和數(shù)乘封閉，所以S構(gòu)成一個(gè)向量空間。假設(shè)對(duì)S中的兩元素和(1.46)定義運(yùn)算(1.47)并由此定義在上的函數(shù)，那么該函數(shù)關(guān)于的Gram矩陣都是半正定的。證明：由知：假設(shè)任意選取，記函數(shù)相應(yīng)的Gram矩陣為。顯然它是對(duì)稱矩陣。由〔1.47〕可知對(duì)有：(1.48)這說(shuō)明Gram矩陣是半正定的。具有如下性質(zhì)：對(duì)于，有(1.49)證明：任取,那么關(guān)于的Gram矩陣為(1.50)因?yàn)榭芍?〕是半正定的，其行列式非負(fù)。由此可知(1.51)引理1.10是S上的內(nèi)積運(yùn)算，因而可記為(1.52)證明：直接驗(yàn)證可知該運(yùn)算具有內(nèi)積運(yùn)算應(yīng)滿足的如下性質(zhì)：對(duì)和有(1.53)(1.54)(1.55)(1.56)只需證明：假設(shè)，那么有。事實(shí)上，假設(shè)(1.57)那么按運(yùn)算規(guī)那么〔1.47〕知，對(duì)，有(1.58)由于(1.59)所以(1.60)此式意味著當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有，即為零元素。假設(shè)H是引理1.7中的集合S在引理1.8中定義的內(nèi)積運(yùn)算意義下的閉包，那么H是一個(gè)Hilbert空間。定理1.7設(shè)是定義在上的對(duì)稱函數(shù)。假設(shè)對(duì)，函數(shù)關(guān)于的Gram矩陣都是半正定的，那么是一個(gè)正定核。證明：定義映射(1.61)由引理1.7和1.11知，該映射是從X到某一Hilbert空間的映射。由式〔1.58〕可得到(1.62)是內(nèi)積運(yùn)算。利用式〔1.61〕可得到(1.63)是正定核?！舱ê说牡葍r(jià)定義〕設(shè)是的子集。稱定義在上的對(duì)稱函數(shù)為一個(gè)正定核，如果對(duì)，相對(duì)于的Gram矩陣都是半正定的?！苍偕说腍ilbert空間〕令是一個(gè)非空的集合，是一個(gè)由函數(shù)組成的，內(nèi)積由式〔1.47〕定義以及范數(shù)由定義的Hilbert空間。稱是一個(gè)再生核Hilbert空間〔簡(jiǎn)稱RKHS〕,如果存在滿足如下性質(zhì)具有再生性，即對(duì)，有(1.64)特別地(1.65)張成空間，即(1.66)其中表示集合A的閉包。假設(shè)函數(shù)是Mercer核，那么對(duì)，有因此，一定是一個(gè)正定核。因?yàn)镸ercer是正定的，所以它是再生核?！?核函數(shù)的構(gòu)造根據(jù)正定核的等價(jià)定義，我們可以從簡(jiǎn)單的核來(lái)構(gòu)造復(fù)雜的核。定理1.8設(shè)是上的核。假設(shè)是從到的映射，那么是上的核。特別地，假設(shè)矩陣B是半正定的，那么是的核。證明：任取，那么相應(yīng)的Gram矩陣為(1.67)記，，那么有(1.68)由是上的正定核可知：上式右端矩陣是半正定的。從而左端矩陣半正定。所以是正定核。當(dāng)B為半正定矩陣時(shí)，它可分解為(1.69)定義上的核，令，那么有(1.70)從而是正定核。定理1.9假設(shè)是定義在上的實(shí)值函數(shù)，那么是正定核。證明：只需把雙線性形式重寫如下1)0設(shè)和是上的核，。設(shè)常數(shù)，那么下面的函數(shù)均是核：〔1〕2)〔2〕3)〔3〕4)證明:對(duì)給定的一個(gè)有限集合，令和分別是和相對(duì)于這個(gè)集合的Gram矩陣。對(duì),有5)所以是半正定的，因而是核函數(shù)?！?〕是核函數(shù)?！?〕設(shè)為對(duì)應(yīng)于的Gram矩陣，那么的元素是和對(duì)應(yīng)元素的乘積6)現(xiàn)證明是半正定矩陣。令,，那么7)1設(shè)是上的核。又設(shè)是系數(shù)全為正數(shù)的多項(xiàng)式。那么下面的函數(shù)均是核?！?〕8)〔2〕