2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個.

1.（2分）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,0）的是（）

A.y—x+\B.y—J?C.y—（x-4）2D.y」

x

2.（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心

對稱圖形的是（）

3.（2分）拋物線y=（x-2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,-1）D.（-2,1）

4.（2分）在△ABC中，C4=CB,點(diǎn)O為AB中點(diǎn).以點(diǎn)C為圓心，CO長為半徑作。C,

則。C與AB的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.不確定

5.（2分）小明將圖案7一繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次,每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,設(shè)計出一

個外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則a可以為（)

A.30°B.60°C.90°D.120°

6.（2分）把長為2根的繩子分成兩段，使較長一段的長的平方等于較短一段的長與原繩長

的積.設(shè)較長一段的長為笛”，依題意，可列方程為（）

A.f=2（2-x）B./=2（2+x）C.（2-x）2=2xD.x2=2-x

7.（2分）如圖，A,B,C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點(diǎn)。處建一個5G基站，其覆蓋

半徑為300m,則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.A,B,C都不在B.只有B

C.只有4,CD.4,B,C

8.（2分）做隨機(jī)拋擲一枚紀(jì)念幣的試驗(yàn)，得到的結(jié)果如下表所示:

拋擲次數(shù)m5001000150020002500300040005000

“正面向上”的次26551279310341306155820832598

數(shù)〃

”正面向上”的頻0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

率二.

m

下面有3個推斷:

①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時，“正面向上”的頻率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計“正面向上”的概率是0.520；

③若再次做隨機(jī)拋擲該紀(jì)念幣的試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時，出現(xiàn)“正面向上”的次

數(shù)不一定是1558次.

其中所有合理推斷的序號是（）

A.②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）已知y是x的函數(shù)，且當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小.則這個函數(shù)的表達(dá)式可

以是.（寫出一個符合題意的答案即可）

10.（2分）在一個不透明袋子中有3個紅球和2個黑球，這些球除顏色外無其他差別.從

袋子中隨機(jī)取出1個球，則取出紅球的概率是.

11.（2分）若點(diǎn)A（-1,yi）,B（2,”）在二次函數(shù)y=2?的圖象上，則yi,”的大小

關(guān)系為：W）2（填”或"V"）.

12.（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，中，點(diǎn)4（-2,0）,點(diǎn)8（0,1）.將線段54繞

點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

13.（2分）若關(guān)于x的方程?-2x+k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為.

14.（2分）如圖，PA,分別切。0于點(diǎn)A,B,。是優(yōu)弧窟上一點(diǎn)，若/P=40°,則

NQ的度數(shù)是

15.（2分）小明烘焙了幾款不同口味的餅干，分別裝在同款的圓柱形盒子中，為區(qū)別口味,

他打算制作“**餅干”字樣的矩形標(biāo)簽粘貼在盒子側(cè)面.為了獲得較好的視覺效果，粘

貼后標(biāo)簽上邊緣所在弧所對的圓心角為90°（如圖）.己知該款圓柱形盒子底面半徑為

則標(biāo)簽長度I應(yīng)為cm.（1T取3.1）

16.（2分）給定二元數(shù)對（p,q）,其中p=0或1,q=0或1.三種轉(zhuǎn)換器A,B,C對（p,

q）的轉(zhuǎn)換規(guī)則如下：

規(guī)則

?.轉(zhuǎn)換器A當(dāng)輸入（1,1）時，輸出結(jié)果為1；其余輸出結(jié)果均為0.

轉(zhuǎn)換器B當(dāng)輸入（0,0）時，輸出結(jié)果為0；其余輸出結(jié)果均為1.

轉(zhuǎn)換器C當(dāng)輸入（1,1）時，輸出結(jié)果為0；其余輸出結(jié)果均為1.

b.在組合使用轉(zhuǎn)換器時，4,B,C可以重復(fù)使用.

（1）在圖1所示的“A-B-C”組合轉(zhuǎn)換器中，若輸入（1,0）,則輸出結(jié)果為；

（2）在圖2所示的“①-C-②"組合轉(zhuǎn)換器中，若當(dāng)輸入（1,1）和（0,0）時，輸

出結(jié)果均為0,則該組合轉(zhuǎn)換器為“-C-（寫出一種組合即可）.

①

每題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.（5分）解方程：?-6x+8=0.

18.（5分）已知a是方程2，-7x-1=0的一個根，求代數(shù)式a（2a-7）+5的值.

19.（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a（x-3）2-1經(jīng)過點(diǎn)（2,1）.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）將該拋物線向上平移個單位后，所得拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn).

20.（5分）如圖，在RtZ^ABC中，ZACB=90°,NBAC=30°,將線段CA繞點(diǎn)C逆時

針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段C。，連接AO,BD.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）若BC=1,求線段BO的長.

21.（5分）“化圓為方”是古希臘尺規(guī)作圖難題之一.即：求作一個方形，使其面積等于給

定圓的面積.這個問題困擾了人類上千年，直到19世紀(jì)，該問題被證明僅用直尺和圓規(guī)

是無法完成的，如果借用一個圓形紙片，我們就可以化圓為方，方法如下：

已知：0。（紙片），其半徑為r.

求作：一個正方形，使其面積等于。。的面積.

作法：①如圖1,取。。的直徑AB,作射線BA,過點(diǎn)力作AB的垂線/；

②如圖2,以點(diǎn)4為圓心，A0長為半徑畫弧交直線/于點(diǎn)C；

③將紙片。。沿著直線/向右無滑動地滾動半周，使點(diǎn)A，B分別落在對應(yīng)的B處；

④取的中點(diǎn)M,以點(diǎn)M為圓心，MC長為半徑畫半圓，交射線于點(diǎn)E；

⑤以AE為邊作正方形AEFG.

正方形AE尸G即為所求.

根據(jù)上述作圖步驟，完成下列填空：

（1）由①可知，直線/為。。的切線，其依據(jù)是.

（2）由②③可知，AC=r,AB'=ur,則MC=,MA=（用含r的代數(shù)式

表示）.

（3）連接ME,在RtZSAME中，根據(jù)川廬+人爐二后序，可計算得4后2=（用含

r的代數(shù)式表示）.

由此可得S正方形AEFG=S。。.

22.（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程/+（2-m）x+1-m=0.

（1）求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

（2）若“<0,且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為3,求〃?的值.

23.（5分）如圖，△/iBC內(nèi)接于高4。經(jīng)過圓心O.

（1）求證：AB=AC；

（2）若BC=8,。。的半徑為5,求△ABC的面積.

24.（6分）郵票素有‘'國家名片"之稱，方寸之間，包羅萬象.為宣傳北京2022年冬奧會,

中國郵政發(fā)行了若干套冬奧會紀(jì)念郵票，其中有一套展現(xiàn)雪上運(yùn)動的郵票，如圖所示：

越野滑雪（4-1）J高山滑雪（4-2）J冬季兩項(xiàng)（4-3）J自由式滑雪（4-4）J

①②③④

某班級舉行冬奧會有獎問答活動，答對的同學(xué)可以隨機(jī)抽取郵票作為獎品.

（1）在搶答環(huán)節(jié)中，若答對一題，可從4枚郵票中任意抽取1枚作為獎品，則恰好抽到

“冬季兩項(xiàng)”的概率是:

（2）在搶答環(huán)節(jié)中，若答對兩題，可從4枚郵票中任意抽取2枚作為獎品，請用列表或

畫樹狀圖的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率.

25.（6分）如圖，AB為。。的直徑，弦CQLAB于E,連接AC,過A作AFLAC,交。。

于點(diǎn)凡連接OF,過8作交。F的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證：2G是00的切線；

(2)若/。陽=30°,OF=4,求FG的長.

26.(6分)在平面直角坐標(biāo)系x0)?中，點(diǎn)(4,3)在拋物線丫=〃/+灰+3(a>0)上.

(1)求該拋物線的對稱軸；

(2)已知/">0,當(dāng)2-，〃WxW2+2〃?時，y的取值范圍是-1WyW3.求a,機(jī)的值；

(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)〃，使得當(dāng)“-2<》<〃時，丫的取值范圍是3〃-3

<y<3〃+5.若存在，直接寫出〃的值；若不存在，請說明理由.

27.(7分)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=1,延長CB,并將射線CB繞點(diǎn)

C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到射線/,。為射線/上一動點(diǎn)，點(diǎn)E在線段CB的延長線上，且BE

=8,連接。E,過點(diǎn)A作AM_LDE于M.

(1)依題意補(bǔ)全圖，用等式表示線段。M與ME之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(2)取BE的中點(diǎn)N,連接AN,添加一個條件：CQ的長為，使得AN=2OE

2

成立，并證明.

備用圖

28.(7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離有最大值，將這個最大

值記為d.對點(diǎn)尸及圖形W給出如下定義：點(diǎn)。為圖形W上任意一點(diǎn)，若P,。兩點(diǎn)間

的距離有最大值，且最大值恰好為2d.則稱點(diǎn)P為圖形W的“倍點(diǎn)”.

(1)如圖1,圖形W是半徑為1的OO.

①圖形W上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值d為:

②在點(diǎn)P1(0,2),P2(3,3),P3(-3,0)中，OO的“倍點(diǎn)”是；

(2)如圖2,圖形W是中心在原點(diǎn)的正方形ABCQ,點(diǎn)A(-1,1).若點(diǎn)E3)是

正方形ABCD的“倍點(diǎn)”，求t的值；

(3)圖形W是長為2的線段MN,T為MN的中點(diǎn)，若在半徑為6的。。上存在線段

MN的“倍點(diǎn)”，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)T組成的圖形的面積.

圖1圖2

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個.

1.（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，下列函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,0）的是（）

A.y=x+\B.y=/C.y=（x-4）2D.y=A

x

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函

數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷即可.

【解答】解：A、直線y=x+l不經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,故不符合題意；

B、拋物線y=/經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,故符合題意；

C、拋物線y=（x-4）2不經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,故不符合題意；

D、雙曲線y=上不經(jīng)過點(diǎn)（0,0）,故不符合題意；

x

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，

二次函數(shù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握各函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

2.（2分）下列各曲線是在平面直角坐標(biāo)系xOy中根據(jù)不同的方程繪制而成的，其中是中心

對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解.在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.這個旋

轉(zhuǎn)點(diǎn)，就叫做中心對稱點(diǎn).

【解答】解：選項(xiàng)A、B、。均不能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和

原圖形完全重合，所以不是中心對稱圖形，

選項(xiàng)C能找到這樣的一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所以是

中心對稱圖形，

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形的概念.中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)

180度后與原圖重合.

3.(2分)拋物線y=(x-2)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【分析】拋物線的頂點(diǎn)式為：y=aCx-h)2+k,其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),可以確定拋物線

的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【解答】解：拋物線y=(x-2)2+1是以拋物線的頂點(diǎn)式給出的，

其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,1).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是拋物線的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

4.(2分)在△ABC中，C4=CB,點(diǎn)。為AB中點(diǎn).以點(diǎn)C為圓心，C。長為半徑作。C,

A.相交B.相切C.相離D.不確定

【分析】連接CO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OC±AB,于是得到點(diǎn)C到AB的距離等

于0c的半徑，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接CO,

：CA=CB,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，

J.OC.LAB,

,/以點(diǎn)C為圓心，CO長為半徑作。C,

.?.點(diǎn)C到AB的距離等于OC的半徑，

...OC與AB的位置關(guān)系是相切,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方

法是解題的關(guān)鍵.

5.（2分）小明將圖案、一,繞某點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)若干次,每次旋轉(zhuǎn)相同角度a,設(shè)計出一

個外輪廓為正六邊形的圖案（如圖），則a可以為（）

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義確定兩個對應(yīng)點(diǎn)的位置，求得其與。點(diǎn)連線的夾角即可求得旋

轉(zhuǎn)角.

【解答】解：如圖，當(dāng)經(jīng)過一次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)B的位置上，

此時/COB=360°4-6=60°,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計圖案，解題的關(guān)鍵是能夠找到一對對應(yīng)點(diǎn)確定旋轉(zhuǎn)角，

從而確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，難度不大.

6.（2分）把長為2,”的繩子分成兩段，使較長一段的長的平方等于較短一段的長與原繩長

的積?設(shè)較長一段的長為尤處依題意，可列方程為（）

A./=2（2-x）B.f=2（2+x）C.（2-x）2^2xD.f=2-x

【分析】由較長一段的長為切?可得出較短一段的長為（2-x）m,根據(jù)較長一段的長的

平方等于較短一段的長與原繩長的積，即可得出關(guān)于X的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：：較長一段的長為X，"，

...較短一段的長為(2-x)m.

依題意得：/=2(2-x).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

7.(2分)如圖，4,B,C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點(diǎn)。處建一個5G基站，其覆蓋

半徑為300〃?，則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是()

A.A,B,C都不在B.只有B

C.只有A,CD.A,B,C

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得△4BC是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中

線的性質(zhì)求得8。的長，然后與300,”比較大小，即可解答本題.

【解答】解：：A8=300c〃?，BC^=400cm,AC=500c/n,

：.AB2+BC2^AC2,

...△ABC是直角三角形，

AZABC=90°,

;點(diǎn)。是斜邊AC的中點(diǎn)，

：.AD=CD=250cm,8Z)=Lc=250c7w,

2

V250000,

.,.點(diǎn)A、B、C都在圓內(nèi)，

這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是A,B,C.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是求出三角形三

個頂點(diǎn)到。點(diǎn)的距離.

8.（2分）做隨機(jī)拋擲一枚紀(jì)念幣的試驗(yàn)，得到的結(jié)果如下表所示:

拋擲次數(shù)m5001000150020002500300040005000

“正面向上”的次26551279310341306155820832598

數(shù)n

“正面向上”的頻0.5300.5120.5290.5170.5220.5190.5210.520

率工.

m

下面有3個推斷：

①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時，“正面向上”的頻率是0.512,所以''正面向上”的概率是0.512；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計“正面向上”的概率是0.520；

③若再次做隨機(jī)拋擲該紀(jì)念幣的試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時，出現(xiàn)“正面向上”的次

數(shù)不一定是1558次.

其中所有合理推斷的序號是（）

A.②B.①③C.②③D.①②③

【分析】根據(jù)用頻率估計概率以及頻率和概率的概念判斷.

【解答】解：①當(dāng)拋擲次數(shù)是1000時，“正面向上”的頻率是0.512,但“正面向上”的

概率不一定是0.512,本小題推斷不合理；

②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性,

可以估計“正面向上”的概率是0.520,本小題推斷合理；

③若再次做隨機(jī)拋擲該紀(jì)念幣的試驗(yàn)，則當(dāng)拋擲次數(shù)為3000時，出現(xiàn)“正面向上”的次

數(shù)不一定是1558次，本小題推斷合理；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查利用頻率估計概率，大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位

置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中

趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.（2分）已知y是x的函數(shù)，且當(dāng)x>0時，y隨x的增大而減小.則這個函數(shù)的表達(dá)式可

以是y=3（x>0）,答案不唯一.（寫出一個符合題意的答案即可）

X

【分析】反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，則反比

例函數(shù)的反比例系數(shù)女<0；反之，只要&<0,則反比例函數(shù)在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨

自變量x的增大而增大.

【解答】解：只要使反比例系數(shù)大于0即可.如），=工（尤>0）,答案不唯一.

X

故答案為：y=A（x>0）,答案不唯一.

X

【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)y=K*/0）的性質(zhì)：①上>0時，函數(shù)圖象在第

x

一，三象限.在每個象限內(nèi)y隨x的增大而減小；②&<0時，函數(shù)圖象在第二，四象限.在

每個象限內(nèi)），隨x的增大而增大.

10.（2分）在一個不透明袋子中有3個紅球和2個黑球，這些球除顏色外無其他差別.從

袋子中隨機(jī)取出1個球，則取出紅球的概率是3.

一5一

【分析】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二

者的比值就是其發(fā)生的概率.

【解答】解：???在一個不透明袋子中有3個紅球和2個黑球，共5個球，

.?.取出紅球的概率是旦.

5

故答案為：1.

5

【點(diǎn)評】本題考查概率的求法：如果一個事件有〃種可能，而且這些事件的可能性相同,

其中事件4出現(xiàn)機(jī)種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=典.

n

11.（2分）若點(diǎn)A（-1,yi）,B（2,j2）在二次函數(shù)的圖象上，則以，”的大小

關(guān)系為：VI<V2（填”或

【分析】由拋物線開口向上可得距離對稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)y值越大，從而求解.

【解答】解：由y=27可得拋物線開口向上，對稱軸為y軸，

VI-1|<|2|,

故答案為：V.

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握比較函數(shù)值

大小的方法.

12.(2分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。)，中，點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)8(0,1).將線段54繞

點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2)

【分析】設(shè)C(〃?，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式構(gòu)建方程組求解即可.

【解答】解：設(shè)C(神，n).

?.?線段BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到線段BC,

：.AB=BC,

?點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,1),

.?.-2f=o,Ojn=i,

22

??/n==2,〃=2,

：.C(2,2).

【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利

用參數(shù)解決問題即可.

13.(2分)若關(guān)于x的方程?-2x+k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍為k<l.

【分析】利用根的判別式進(jìn)行計算，令△>()即可得到關(guān)于我的不等式，解答即可.

【解答】解：???關(guān)于x的方程/-2x+k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

△>0,

即4-440,

k<\.

故答案為：k<\.

【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式，要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：

(1)△>00方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)△=()0方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；

(3)△<00方程沒有實(shí)數(shù)根.

14.(2分)如圖，PA,尸8分別切于點(diǎn)A,B,Q是優(yōu)弧窟上一點(diǎn)，若/尸=40°,則

NQ的度數(shù)是70°

A

Q

P\0/

【分析】連接OA、OB,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA_L以，OBLPB,根據(jù)四邊形內(nèi)角和等

于360°求出NAOB,根據(jù)圓周角定理計算即可.

【解答】解：連接。4、OB,

'：PA,PB分別切。。于點(diǎn)A,B,

J.OAA-PA,OBLPB,

：.ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

工NQ=1NAOB=1X140。=70。,

故答案為：70。.

【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑

是解題的關(guān)鍵.

15.（2分）小明烘焙了幾款不同口味的餅干，分別裝在同款的圓柱形盒子中，為區(qū)別口味,

他打算制作“**餅干”字樣的矩形標(biāo)簽粘貼在盒子側(cè)面.為了獲得較好的視覺效果，粘

貼后標(biāo)簽上邊緣所在弧所對的圓心角為90°（如圖）.已知該款圓柱形盒子底面半徑為

6cm,則標(biāo)簽長度/應(yīng)為9.3cm.（n取3.1）

【分析】利用弧長公式求解即可.

【解答】解：標(biāo)簽長度/=9°?兀?6=3TT=9.3（cm）,

180

故答案為：9.3.

【點(diǎn)評】本題考查弧長的計算，解題的關(guān)鍵是記住弧長公式/=亞二.

180

16.（2分）給定二元數(shù)對（p,q）,其中0=0或1,4=0或1.三種轉(zhuǎn)換器A,B,C對（p,

q）的轉(zhuǎn)換規(guī)則如下：

規(guī)則

a.轉(zhuǎn)換器A當(dāng)輸入（1,1）時，輸出結(jié)果為1；其余輸出結(jié)果均為0.

轉(zhuǎn)換器B當(dāng)輸入（0,0）時，輸出結(jié)果為0；其余輸出結(jié)果均為1.

轉(zhuǎn)換器C當(dāng)輸入（1,1）時，輸出結(jié)果為0；其余輸出結(jié)果均為1.

b.在組合使用轉(zhuǎn)換器時，A,B,C可以重復(fù)使用.

（1）在圖1所示的組合轉(zhuǎn)換器中，若輸入（1,0）,則輸出結(jié)果為1；

（2）在圖2所示的“①-C-②"組合轉(zhuǎn)換器中，若當(dāng)輸入（1,1）和（0,0）時，輸

出結(jié)果均為0,則該組合轉(zhuǎn)換器為“B-C-A（寫出一種組合即可）.

①

【分析】（1）根據(jù)題中的轉(zhuǎn)換規(guī)則計算即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)輸入的二元數(shù)，由A確定出第一個數(shù)，由C確定出第二個數(shù)，再由B確定出

結(jié)果即可.

【解答】解：（1）在圖1所示的組合轉(zhuǎn)換器中，若輸入（1,0）,則輸出結(jié)

果為h

故答案為：1;

(2)若當(dāng)輸入(1,1)和(0,0)時，輸出結(jié)果均為0,則該組合轉(zhuǎn)換器為“B-C-A”.(寫

出一種組合即可).

故答案為：B,A.

【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清轉(zhuǎn)換器中的規(guī)則是解本

題的關(guān)鍵.

三、解答題(共68分，第17-21題，每題5分，第22題6分，第23題5分，第24-26題，

每題6分，第27-28題，每題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.(5分)解方程：x2-6x+8=0.

【分析】把方程左邊分解得到(x-2)(x-4)=0,則原方程可化為x-2=0或x-4=0,

然后解兩個一次方程即可.

【解答】解：？-6x+8=0

(x-2)(x-4)=0,

.,.x-2=0或x-4=0,

.".X1=2X2—4.

【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通

過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能

得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為

解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

18.(5分)己知a是方程2?-7x-1=0的一個根，求代數(shù)式a(2a-7)+5的值.

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到2a2-7a-1=0,則2/-7。=1,再把a(bǔ)(2a

-7)+5變形為2"-7〃+5,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】解：是方程2?-7x7=0的一個根，

：.2a2-7a-1=0,

A2a2-7a=1,

：.a(2a-7)+5=2a2-7a+5=1+5=6.

【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是

一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，

一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

19.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=a(x-3)2-1經(jīng)過點(diǎn)(2,1).

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

（2）將該拋物線向上平移1個單位后,所得拋物線與x軸只有一個公共點(diǎn).

【分析】（1）把點(diǎn)（2,1）代入拋物線的解析式即可得出答案：

（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)縱坐標(biāo)即可得出答案.

【解答】解：⑴把點(diǎn)（2,1）代入y=a（x-3）2-1中，

得：1—a（2-3）2-I>

解得。=2,

：.y=2（x-3）2-1；

（2）由（1）知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-I）,

把該拋物線向上平移1個單位后，與x軸的交點(diǎn)個數(shù)位1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是要或用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析

式.

20.（5分）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,將線段C4繞點(diǎn)C逆時

針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段C￡>,連接A。，BD.

（1）依題意補(bǔ)全圖形：

（2）若BC=1,求線段的長.

【分析】（1）根據(jù)題意，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可補(bǔ)全圖形；

（2）根據(jù)含30度角的直角三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/D4B=90°,再

利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；

A

(2)在RtZXABC中，ZACB=90°,

；NBAC=30°,BC=\,

：.AB=2BC=2,

:.AC=M，

由旋轉(zhuǎn)可知：ND4C=60°,AD=AC^^3,

：.ZDAB=ADAC+Z.ZAC=90°,

BD22

?*-=VAB+AD=V22+(V3)2=夜■

【點(diǎn)評】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

21.(5分)“化圓為方”是古希臘尺規(guī)作圖難題之一.即：求作一個方形，使其面積等于給

定圓的面積.這個問題困擾了人類上千年，直到19世紀(jì)，該問題被證明僅用直尺和圓規(guī)

是無法完成的，如果借用一個圓形紙片，我們就可以化圓為方，方法如下：

已知：QO(紙片)，其半徑為八

求作：一個正方形，使其面積等于OO的面積.

作法：①如圖1,取。O的直徑作射線BA,過點(diǎn)4作48的垂線/；

②如圖2,以點(diǎn)A為圓心，A。長為半徑畫弧交直線/于點(diǎn)C；

③將紙片。0沿著直線/向右無滑動地滾動半周，使點(diǎn)A,8分別落在對應(yīng)的A',9處；

④取的中點(diǎn)M,以點(diǎn)M為圓心，MC長為半徑畫半圓，交射線BA于點(diǎn)E；

⑤以AE為邊作正方形AEFG.

正方形AEFG即為所求.

根據(jù)上述作圖步驟，完成下列填空：

（1）由①可知，直線/為。。的切線，其依據(jù)是經(jīng)過半徑的外端并且垂直。這條半徑

的直線是圓的切線.

（2）由②③可知，AC=r,則MC=」產(chǎn)士L后,MA=，；'二L二（用

—2——2—

含r的代數(shù)式表示）.

（3）連接ME,在RtZ\AME中，根據(jù)AM2+AE2=EA/2,可計算得4乒=TC/（用含。

的代數(shù)式表示）.

由此可得S&iKAEFG=SQO.

【分析】（1）利用已知條件結(jié)合切線的判定定理解答即可；

（2）利用中點(diǎn)的定義和線段和差的意義解答即可；

（3）利用勾股定理將（2）中的數(shù)據(jù)代入即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）于點(diǎn)A,。4為。。的半徑，

.?.直線/為。。的切線（經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.

故答案為：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；

（2）?.?以點(diǎn)4為圓心，A0長為半徑畫弧交直線/于點(diǎn)C,

：.AC=r.

：紙片。。沿著直線/向右無滑動地滾動半周，使點(diǎn)A,8分別落在對應(yīng)的4,8處，

AB'=包=叫

2

.\CB'—CA+AB'—r+Ttr—（TT+1）r.

為CB'的中點(diǎn)，

：.MC=^CB'=1兀2）工.

22

：.MA=MC-AC=（兀+1丘-「=（兀Rr.

22

故答案為:-（-冗--+-l-）--r.?（K-l）r~.,

2-----2

(3)連接ME,如圖,

在Rt^AME中,

'：AM2+AE1=EM2,

：.AE1=EM2-AM2

=［（幾+1）r］2,〔（兀-l）r］2

=［（冗+l）r（兀-1）-［（冗+l）r（r-1）為

~2■1222-

=nrXr

=11，2.

??S正方形AEFG=S。。.

故答案為：irE

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓的切線的判定，圓的周長與面積，正方形的面積，勾股定理,

本題是操作型題目，根據(jù)題干中的作圖步驟轉(zhuǎn)化成幾何語言是解題的關(guān)鍵.

22.(6分)已知關(guān)于x的一元二次方程/+(2-〃?)%+1-m—0.

(1)求證：該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)若相＜0,且該方程的兩個實(shí)數(shù)根的差為3,求〃2的值.

【分析】(1)利用根的判別式進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)方程的較大的實(shí)數(shù)根為獷，較小的實(shí)數(shù)根為X2,則有XI-X2=3,x\+x2^m-2,

x\x2=\-m,從而可進(jìn)行求解.

【解答】(1)證明：V△=(2-w)2-4XlX(1-w)=序20,

二原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根或兩個不等的實(shí)數(shù)根,

即該方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)設(shè)方程的較大的實(shí)數(shù)根為XI,較小的實(shí)數(shù)根為X2,依題意得：

Xi-X2—3,x\+x2=tn-2,xix2=l-m,

:.(XI-X2)2=32,

22

XI-2xiX2+X2=9f

XI2+X22=9+2XIX2=9+2(1-/n)=11-2/H,

?:(xi+^2)2=-2)2,

xi2+2XIX2+X22=trr-4%+4,

11-2m+2(1-tn}-4m+4,

整理得：〃?2=9,

解得：加=3或機(jī)=-3,

Vm<0,

：?m=-3.

【點(diǎn)評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解答的關(guān)鍵是對根與系數(shù)的關(guān)系的掌握并靈活

運(yùn)用.

23.(5分)如圖，△A8C內(nèi)接于。0,高AO經(jīng)過圓心0.

(1)求證：A8=AC；

(2)若8C=8,。。的半徑為5,求△ABC的面積.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理得到標(biāo)=宜，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論;

(2)連接OB,根據(jù)垂徑定理求出8。，根據(jù)勾股定理求出0D,根據(jù)三角形的面積公

式計算，得到答案.

【解答】(1)證明：???OO,3c

?,?益=竟，

：.AB=AC；

（2）解：連接08,

V0D±BC,BC=8,

BO=OC=」BC=工X8=4,

22

在RtZ\OOB中，OD=d0B2_BD2=d52_42=3,

."0=5+3=8,

S^ABC=—X8X8=32.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的

關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵.

24.（6分）郵票素有“國家名片”之稱，方寸之間，包羅萬象.為宣傳北京2022年冬奧會,

中國郵政發(fā)行了若干套冬奧會紀(jì)念郵票，其中有一套展現(xiàn)雪上運(yùn)動的郵票，如圖所示：

越野滑雪（4-1）J高山滑雪（4-2）J冬季兩項(xiàng)（4-3）J自由式滑雪（4-4）J

①②③④

某班級舉行冬奧會有獎問答活動，答對的同學(xué)可以隨機(jī)抽取郵票作為獎品.

（1）在搶答環(huán)節(jié)中，若答對一題，可從4枚郵票中任意抽取1枚作為獎品，則恰好抽到

“冬季兩項(xiàng)”的概率是1；

一4一

（2）在搶答環(huán)節(jié)中，若答對兩題，可從4枚郵票中任意抽取2枚作為獎品，請用列表或

畫樹狀圖的方法，求恰好抽到''高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率.

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能結(jié)果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”

的有2種結(jié)果，再由概率公式求解即可.

【解答】解：(1)恰好抽到“冬季兩項(xiàng)”的概率是工，

4

故答案為：1；

4

(2)“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季兩項(xiàng)”、“自由式滑雪”分別記為甲、乙、丙、丁，

畫樹狀圖如下：

開始

甲乙丙丁

/1\/l\/N/1\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12種等可能結(jié)果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2種結(jié)果，

.?.恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率為：-2_=1.

126

【點(diǎn)評】此題考查的是用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能

的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

25.(6分)如圖，A2為。。的直徑，弦于E,連接AC,過A作AFLAC,交。。

于點(diǎn)凡連接。F,過8作BGJ_OF,交OF的延長線于點(diǎn)G.

(1)求證：8G是。。的切線；

(2)若/。以=30°,DF=4,求FG的長.

【分析】(1)由題意根據(jù)切線的判定證明半徑OBL2G,即可證明3G是。。的切線；

(2)根據(jù)題意連接CF,根據(jù)圓周角定理和中位線性質(zhì)得出EO^lDF,進(jìn)而依據(jù)等邊

2

三角形和四邊形BEDG是矩形，由矩形的性質(zhì)可得出FG的長.

【解答】(1)證明：VC,A,D,尸在。。上，NC4尸=90°,

：.ZD=ZCAF=90°.

'：AB±CE,BGLDF,

；.NBED=NG=90°.

，四邊形BEDG中，/ABG=90°.

，半徑0B1,BG.

，BG是。0的切線.

(2)解：連接CF,

D、----孑G

；/CAF=90°,

?.C尸是OO的直徑.

OC=OF.

.,直徑A8_LCD于E,

,.CE=DE.

?.OE是△COF的中位線.

??°E=/DF=2?

??翁=俞，ZAFD=30°，

\ZACD=ZAFD=30°.

\ZCAE=90°-ZACE=60°.

：OA=OC,

??△AOC是等邊三角形.

??CE1.AB,

??E為AO的中點(diǎn)，

\OA=2OE=4fOB=4.

??BE=OB+OE=6.

:NBED=/D=/G=90°,

.?四邊形5EQG是矩形.

:.DG=BE=6.

:.FG=DG-DF=2.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形

的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識解決問題.

26.（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（4,3）在拋物線>="2+公+3（a>0）上.

（1）求該拋物線的對稱軸；

（2）已知相>0,當(dāng)2-機(jī)WxW2+2?z時，y的取值范圍是-1求a,機(jī)的值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)〃，使得當(dāng)時，y的取值范圍是3〃-3

<y<3n+5.若存在，直接寫出〃的值；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）利用對稱點(diǎn)與對稱軸的關(guān)系：對稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于對稱軸的2倍，即

可求出該拋物線的對稱軸.

（2）分別討論2-mWxW2+2,w的取值范圍與對稱軸的位置，分別求出不同情況下y取

最大值與最小值時，對應(yīng)的x的取值，進(jìn)而求出a,〃?的值.

（3）由于y的取值范圍是3〃-3Vy<3〃+5,取不到最大值和最小值，故不包含對稱軸，

分別討論n-2<x<n在對稱軸的左右兩側(cè)即可.

【解答】解：（1）：拋物線y=a?+fcv+3,

，x=0時，y—3?

拋物線），=/+公+3過點(diǎn)（0,3）,

?.?拋物線丫=??+放+3過點(diǎn)（4,3）,

該拋物線的對稱軸為直線x=2.

（2）,/拋物線y^ajr+bx+3的對稱軸為直線x=2,

即b—-4a①.

2a

：?2-tn<2<2+2m.

Va>0,拋物線開口向上，

當(dāng)x=2時，函數(shù)值在2-m<x<2+2m上取得最小值-1.

即4a+2b+3=-1②.

聯(lián)立①②，解得a=l,b=-4.

拋物線的表達(dá)式為y=/-4x+3,即丫=(x-2)2-1.

Vw>0,

.?.當(dāng)2-%WxW2時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=2-%時取得最大值，

當(dāng)2WxW2+2m時，)，隨x的增大而增大，當(dāng)x=2+2機(jī)時取得最大值，

:對稱軸為x=2,

；.x=2-m與x=2+m時的函數(shù)值相等.

'：2<2+m<2+2m,

：.當(dāng)2+2/7?時的函數(shù)值大于當(dāng)x=2+〃?時的函數(shù)值，即x=2-時的函數(shù)值.

...當(dāng)x=2+2?!時，函數(shù)值在2-"?<2<2+2,”上取得最大值3.

代入有4〃P-1=3,舍去負(fù)解，得m=1.

(3)存在，"=1.

,當(dāng)〃-2<x<〃時，)'的取值范圍是3〃-3<y<3"+5,y無法取到最大值與最小值，

關(guān)于x的取值范圍一定不包含對稱軸，

①當(dāng)“W2時，在對稱軸的左側(cè)，

;二次函數(shù)開口向上，

；.x="-2時，y有最大值，時，y有最小值，

由題意可知：［(n-2)2-4(n-2)+3=3n