高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

匯報(bào)人：XX高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理20XX-01-24目錄計(jì)數(shù)原理基本概念分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用復(fù)雜問題綜合應(yīng)用高考真題回顧與模擬訓(xùn)練學(xué)生自主思考與探究01計(jì)數(shù)原理基本概念Chapter完成一件事有$n$類辦法，在第$1$類辦法中有$m_{1}$種不同的方法，在第$2$類辦法中有$m_{2}$種不同的方法，$ldots$，在第$n$類辦法中有$m_{n}$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_{1}+m_{2}+ldots+m_{n}$種不同的方法。從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘飛機(jī)。一天中火車有$3$班，汽車有$2$班，飛機(jī)有$1$班。那么一天中從甲地到乙地共有多少種不同的走法？定義舉例分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成$n$個(gè)步驟，做第$1$步有$m_{1}$種不同的方法，做第$2$步有$m_{2}$種不同的方法，$ldots$，做第$n$步有$m_{n}$種不同的方法。那么完成這件事共有$N=m_{1}timesm_{2}timesldotstimesm_{n}$種不同的方法。定義在所有的三位數(shù)中，各位數(shù)字互不相同的三位數(shù)共有多少個(gè)？舉例分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)系分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想和工具。區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理是加法原理，指若完成一件事有幾種不同的方式，則完成這件事的方法數(shù)等于各種方式的方法數(shù)相加；分步乘法計(jì)數(shù)原理是乘法原理，指若完成一件事需要分幾個(gè)步驟，則完成這件事的方法數(shù)等于各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘。兩者關(guān)系與區(qū)別02分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用Chapter03應(yīng)用場(chǎng)景適用于對(duì)某一事件按照不同特征或條件進(jìn)行分類計(jì)數(shù)的情況。01定義在單一事件中，根據(jù)事件的不同情況或特征進(jìn)行分類，每一類中的方法數(shù)相加即為總的方法數(shù)。02示例從5個(gè)不同的紅球和3個(gè)不同的白球中任取一球，共有5+3=8種不同的取法。單一事件分類計(jì)數(shù)定義在多個(gè)事件中，每個(gè)事件都有多種方法可以實(shí)現(xiàn)，將這些事件的方法數(shù)相乘即可得到總的方法數(shù)。示例從5個(gè)不同的紅球中選2個(gè)，再?gòu)?個(gè)不同的白球中選1個(gè)，共有C(5,2)*C(3,1)種不同的選法。應(yīng)用場(chǎng)景適用于多個(gè)事件需要同時(shí)考慮，且每個(gè)事件都有多種方法可以實(shí)現(xiàn)的情況。多個(gè)事件組合計(jì)數(shù)VS某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽(每人被選中的機(jī)會(huì)均等)，則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是_____.解析首先求出男生甲被選中的情況下，剩余6人中任選2人的方法數(shù)為C(6,2)。然后分別求出男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中包含的基本事件數(shù)，即男生乙和女生丙都被選中、男生乙被選中女生丙不被選中、男生乙不被選中女生丙被選中三種情況的方法數(shù)之和，最后利用概率公式求解即可。例題1典型例題解析典型例題解析例題2將5本不同的書全發(fā)給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少有一本書的概率是_____.解析首先求出5本書全發(fā)給4名同學(xué)的總方法數(shù)為4^5。然后求出每名同學(xué)至少有一本書的方法數(shù)，即利用排除法，先求出只有3名同學(xué)有書的方法數(shù)，再求出只有2名同學(xué)有書的方法數(shù)，最后利用概率公式求解即可。03分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用Chapter排列問題有序事件的分步計(jì)數(shù)通常涉及到排列問題，即考慮元素之間的順序。例如，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，可以通過分步乘法計(jì)數(shù)原理求解。逐步分析對(duì)于有序事件，可以按照事件發(fā)生的順序逐步分析。每一步的選擇都會(huì)影響到后續(xù)步驟的選擇，因此需要將每一步的選擇情況相乘。乘法原理應(yīng)用根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)有序事件可以分成若干個(gè)互相聯(lián)系的步驟，每一步都有確定的方法數(shù)，則完成這個(gè)有序事件的方法總數(shù)等于各步驟方法數(shù)的乘積。有序事件分步計(jì)數(shù)無序事件分步計(jì)數(shù)無序事件的分步計(jì)數(shù)通常涉及到組合問題，即不考慮元素之間的順序。例如，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，可以通過分步乘法計(jì)數(shù)原理求解。分類討論對(duì)于無序事件，可以按照事件的性質(zhì)進(jìn)行分類討論。每一類事件都可以看作是一個(gè)有序事件，因此可以按照有序事件的分步計(jì)數(shù)方法進(jìn)行處理。乘法原理應(yīng)用根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一個(gè)無序事件可以分成若干個(gè)互相獨(dú)立的步驟或分類，每一類都有確定的方法數(shù)，則完成這個(gè)無序事件的方法總數(shù)等于各類方法數(shù)的乘積。組合問題例題1從5個(gè)不同的紅球和4個(gè)不同的白球中任取3個(gè)球，求取出的3個(gè)球中既有紅球又有白球的取法總數(shù)。例題2有5本不同的書要分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少分到1本書，求不同的分法總數(shù)。解析首先，這是一個(gè)有序事件的排列問題?？梢园凑辗謺捻樞蛑鸩椒治?。具體地，可以先將5本書分成4組（其中一組有2本書），再將這4組書分給4名同學(xué)。根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，分法總數(shù)等于分組的方法數(shù)與分組后分給同學(xué)的方法數(shù)的乘積。分組的方法數(shù)可以通過從5本書中任選2本作為一組的方法數(shù)求得，而分組后分給同學(xué)的方法數(shù)則是一個(gè)排列問題。典型例題解析04復(fù)雜問題綜合應(yīng)用Chapter理解分類加法與分步乘法的本質(zhì)區(qū)別分類加法針對(duì)的是“加法原理”，即完成一件事有n類方法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和；而分步乘法針對(duì)的是“乘法原理”，即完成一件事需要n個(gè)步驟，則完成這件事的方法數(shù)等于各步驟方法數(shù)之積。掌握分類加法與分步乘法在解題中的綜合運(yùn)用對(duì)于復(fù)雜問題，往往需要同時(shí)運(yùn)用分類加法和分步乘法。首先，根據(jù)問題的特點(diǎn)，將其拆分為若干個(gè)相互獨(dú)立的部分或步驟；然后，針對(duì)每個(gè)部分或步驟，運(yùn)用相應(yīng)的計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解；最后，將各部分或步驟的結(jié)果進(jìn)行匯總，得出最終答案。分類加法與分步乘法結(jié)合010203明確問題的目標(biāo)在拆分問題之前，首先要明確問題的目標(biāo)，即需要求解的是什么。這有助于確定拆分的方向和策略。合理拆分問題根據(jù)問題的特點(diǎn)和目標(biāo)，將其拆分為若干個(gè)相對(duì)獨(dú)立且易于解決的小問題。拆分時(shí)要遵循“相互獨(dú)立、完全窮盡”的原則，確保每個(gè)小問題都是原問題的一個(gè)組成部分，且各個(gè)小問題之間不存在重復(fù)或遺漏。分別求解小問題針對(duì)每個(gè)小問題，運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法進(jìn)行求解。求解過程中要注意細(xì)節(jié)和準(zhǔn)確性，確保每個(gè)小問題的解答都是正確的。復(fù)雜問題拆分策略例題一某城市有4條東西街道和6條南北街道，一個(gè)人從城市的一角出發(fā)，要求走過每條街道恰好一次，并且最后回到出發(fā)點(diǎn)。問此人有多少種不同的走法？解析此題考查的是分類加法與分步乘法在路徑問題中的應(yīng)用。首先，根據(jù)題意可知，從出發(fā)點(diǎn)開始，每次只能向東或向南走。因此，可以將問題拆分為兩個(gè)部分：一是選擇東西街道的走法，二是選擇南北街道的走法。對(duì)于東西街道的走法，由于有4條街道需要走過且每條街道只能走一次，因此有4!（4的階乘）種走法。對(duì)于南北街道的走法，同樣有6!（6的階乘）種走法。因此，根據(jù)分類加法原理，總的走法為4!+6!。然后考慮回到出發(fā)點(diǎn)的情況，由于出發(fā)點(diǎn)可以在任意一條街道上，因此需要除以2（東西或南北方向均可作為出發(fā)點(diǎn)），最終答案為(4!+6!)/2。典型例題解析例題二有5本不同的書要分給4名學(xué)生，每名學(xué)生至少分到1本書，則不同的分法有多少種？解析此題考查的是分類加法與分步乘法在分組問題中的應(yīng)用。首先，根據(jù)題意可知，需要將5本書分成4組且每組至少有一本書。因此可以采用“插空法”進(jìn)行求解。先將5本書排成一列形成4個(gè)空位（相當(dāng)于4名學(xué)生），然后將這4個(gè)空位插入到5本書之間（或兩端）的插法有C(9,3)（組合數(shù)公式）種。接著考慮每名學(xué)生分到書的數(shù)量不同的情況。由于每名學(xué)生至少分到1本書且總共有5本書要分完因此只有兩種分組方式：1、1、1、2和1、1、3。對(duì)于第一種分組方式有C(5,2)C(3,2)C(1,1)/A(3,3)種分法（先選出2本書作為一組再選出2本書作為另一組剩下的1本書自成一組最后除以3的階乘以消除重復(fù)）；對(duì)于第二種分組方式有C(5,3)C(2,1)C(1,1)/A(2,2)種分法（先選出3本書作為一組再選出1本書作為另一組剩下的1本書自成一組最后除以2的階乘以消除重復(fù)）。因此根據(jù)分類加法原理總的不同分法為C(9,3)[C(5,2)C(3,2)C(1,1)/A(3,3)+C(5,3)C(2,1)C(1,1)/A(2,2)]。典型例題解析05高考真題回顧與模擬訓(xùn)練Chapter（2019全國(guó)卷I）某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），則在男生甲被選中的情況下，男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中的概率是_______．0102（2018全國(guó)卷I）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和”，如30=7+23．在不超過30的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是_______．歷年高考真題回顧模擬訓(xùn)練題目展示從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有_______．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A、B可以不相鄰）那么不同的排法總數(shù)有_______．對(duì)于涉及“至少”或“至多”的問題，通常使用分類加法計(jì)數(shù)原理，將問題拆分為幾個(gè)互斥且不可同時(shí)發(fā)生的事件，然后分別計(jì)算每個(gè)事件的概率或數(shù)量，最后相加得到結(jié)果。在解題過程中，要注意檢查每個(gè)分類或分步是否完整、準(zhǔn)確，以及是否滿足題目中的限制條件。同時(shí)，也要注意靈活運(yùn)用組合、排列等數(shù)學(xué)知識(shí)來簡(jiǎn)化計(jì)算過程。對(duì)于涉及“順序”的問題，通常使用分步乘法計(jì)數(shù)原理，將問題拆分為幾個(gè)相互獨(dú)立且必須依次發(fā)生的事件，然后分別計(jì)算每個(gè)事件發(fā)生的概率或數(shù)量，最后相乘得到結(jié)果。解題思路與方法總結(jié)06學(xué)生自主思考與探究Chapter題目類型包括選擇題、填空題和解答題，涵蓋不同難度層次，以滿足不同學(xué)生的需求。題目?jī)?nèi)容涉及分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的基本概念、性質(zhì)、應(yīng)用等方面，注重知識(shí)的綜合性和思維的靈活性。設(shè)計(jì)意圖通過自主思考題目，引導(dǎo)學(xué)生深入理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念和應(yīng)用。自主思考題目設(shè)計(jì)展示形式學(xué)生可以通過小組討論、個(gè)人展示、PPT演示等方式展示自己的探究成果。展示內(nèi)容學(xué)生需要清晰地闡述自己的解題思路、方法和結(jié)果，同時(shí)提供必要的證明和推導(dǎo)過程?；?dòng)環(huán)節(jié)在展示過程中，學(xué)生