人教版高中數(shù)學必修2全冊學案

第一章立體幾何初步

一、知識結構

二、重點難點

重點：空間直線，平面的位置關系。柱、錐、臺、球的表面積和體積的計算公式。平行、垂直的定義,

判定和性質(zhì)。

難點：柱、錐、臺、球的結構特征的概括。文字語言，圖形語言和符號語言的轉化。平行，垂直判定

與性質(zhì)定理證明與應用。

自學評價

第一課時棱柱、棱錐、棱臺

1.棱柱的定義：__________________________

【學習導航】

知識網(wǎng)絡-------------

-棱柱的結構特征表示法：

思考:棱柱的特點：.

［答］___________________________________

棱柱、棱錐、棱臺一j棱錐的結構特征

」棱臺的結構特征

2.棱錐的定義：__________________________

學習要求

1.初步理解棱柱、棱錐、棱臺的概念。

掌握它們的形成特點。表示法：

2.了解棱柱、棱錐、棱臺中一些常用思考:棱錐的特點：.

名稱的含義。［答］__________________________________

3.了解棱柱、棱錐、棱臺這幾種幾何3.棱臺的定義：_________________________

體簡單作圖方法表示法：

4.了解多面體的概念和分類.思考:棱臺的特點：.

【課堂互動】［答］__________________________________

4.多面體的定義：____________________(2).靈活理解柱、錐、臺的特點：

例如：棱錐的特點是：⑴兩個底面是全等的多邊

5.多面體的分類：形；⑵多邊形的對應邊互相平行；⑶棱柱的側面

⑴棱柱的分類___________________________都是平行四邊形。反過來，若一個幾何體，具有

⑵棱錐的分類___________________________上面三條，能構成棱柱嗎？或者說，上面三條能

⑶棱臺的分類___________________________作為棱柱的定義嗎？

答：不能.

【精典范例】點評:就棱柱來驗證這三條性質(zhì)，無一例外，能

例1：設有三個命題：不能找到反例，是上面三條能作為棱柱的定義的

甲：有兩個面平行，其余各面都是平行四邊關鍵。

形所圍體一定是棱柱；

乙：有一個面是四邊形，其余各面都三角形自主訓練一

所圍成的幾何體是棱錐；1.如圖，四棱柱的六個面都是平行四邊形。這

丙：用一個平行與棱錐底面的平面去截棱個四棱柱可以由哪個平面圖形按怎樣的方向平

錐，得到的幾何體叫棱臺。

移得到？

以上各命題中，真命題的個數(shù)是(A)

A.0B.1C.2D.3

例2：畫一個四棱柱和一個三棱臺。

【解】四棱柱的作法：

⑴畫上四棱柱的底面——畫一個四邊形；

⑵畫側棱——從四邊形的每一個頂點畫平

行且相等的線段；

⑶畫下底面-----順次連結這些線段的另

一個端點

互助參考7頁例1

答由四邊形ABCD沿AA1方向平移得到.

2.右圖中的幾何體是不是棱臺？為什么？

⑷畫一個三棱錐，在它的一條側棱上取一

點，從這點開始，順次在各個側面畫出與底

面平行的線段，將多余的線段橡去.答：不是，因為四條側棱延長不交于一點.

互助參考7頁例1

3.多面體至少有幾個面？這個多面體是怎樣的

幾何體。

答：4個面，四面體.

點評：(1)被遮擋的線要畫成虛線(2)畫臺由第二課時圓柱、圓錐、圓臺、球

錐截得

【學習導航】

思維點拔：

知識網(wǎng)絡

解柱、錐、臺概念性問題和畫圖需要：

(1).準確地理解柱、錐、臺的定義

圓柱、圓錐、圓臺、球

圓臺的結構特征

學習要求【精典范例】

1.初步理解圓柱、圓錐、圓臺和球例1：給出下列命題：

的概念。掌握它們的生成規(guī)律。甲：圓柱兩底面圓周上任意兩點的連線是圓柱的

2.了解圓柱、圓錐、圓臺和球中一些母線

常用名稱的含義。乙：圓臺的任意兩條母線必相交

3.了解一些復雜幾何體的組成情況，丙：球面作為旋轉面，只有一條旋轉軸，沒

學會分析并掌握它們由哪些簡單有母線。

幾何體組合而成。其中正確的命題的有（A）

4.結合日常生活中的一些具體實例，A.0B.1C.2D.3

體會客觀世界中事物與事物之間內(nèi)在例2：如圖，將直角梯形ABCD繞AB邊所在的直

聯(lián)系的辨證唯物主義觀點，初步學會線旋轉一周，由此形成的幾何體是由哪些簡單幾

用類比的思想分析問題和解決問題.何體構成的？。

【課堂互動】

自學評價

1.圓柱的定義：_____________________

母線__________________________________

底面___________________________________【解】互助參考9頁例1

軸_____________________________________

2.圓錐的定義：____________________

3.圓臺的定義：_____________________

例3：指出圖中的幾何體是由哪些簡單幾何體構

4.球的定義：_____________________成的？。

5.旋轉面的定義：___________________

6.旋轉體的定義：___________________

7.圓柱、圓錐、圓臺和球的畫法。

甲乙

【解】互助參考9頁例2

思維點撥：

如何解答一個復雜幾何體的組成情況，主

要是將原幾何體分割成柱、錐、臺和球后再解

答。

如：以正六邊行的一邊所在直線為軸旋轉一

周，所得幾何體由哪些簡單幾何體組成的？

解：是由一個圓柱，兩個圓臺挖去兩個圓錐

所得幾何體。

自主訓練

1.指出下列幾何體分別由哪些簡單幾何

體構成？

3J一＞第三課時中心投影和平行投影

【學習導航】

答：略知識網(wǎng)絡

2.如圖，將平行四邊形ABCD繞AB邊所在

的直線旋轉一周，由此形成的幾何體是由哪

些簡單幾何體構成的？

答：圓錐和圓柱

3.充滿氣的車輪內(nèi)胎可以通過什么圖形旋學習要求

轉生成？1.初步理解投影的概念。掌握中心投

影和平行投影的區(qū)別和聯(lián)系。

答：圓

2.了解并掌握利用正投影鑒別簡單組合體

的三視圖。

3.初步理解由三視圖還原成實物圖的思維

方法.

【課堂互動】

【師生互動】自學評價

1.投影的定義：______________________

2.中心投影的定義：

平行投影的定義：__________________

平行投影的分類：__________________

3.主視圖（或正視圖）的定義：

俯視圖的定義：

左視圖的定義：____________________

【精典范例】

一、如何畫一個實物的三視圖？

例1:畫出下列幾何體的三視圖。方確定一個水平面作為投影——俯視圖

2.作圖規(guī)律：長對正，寬相等，高平齊

例2：設所給的方向為物體的正前方，試畫出它

二、如何由三視圖還原成實物圖。

例3.根據(jù)下面的三視圖，畫出相應空間圖形的

左視圖

解略.

解答：互助參考12頁例1

點評:解決這類問題，需要充分發(fā)揮空間想象能

力。一般的從主視圖出發(fā)，然后是左視圖、俯視

圖，畫圖后檢驗。

自主訓練一

根據(jù)下列的主視圖和俯視圖，找出對應的物體，

填在下列橫線上。

點評：1.畫三視圖的方法和步驟(1)B(2)D

(1)選擇確定正前方，確定投影面，正前方

應垂直于投影面，然后畫出這時的正投影面

------主視圖

(2)自左到右的方向垂直于投影面，畫出這

時的正投影------左視圖

⑶自上而下的方向是固定不變的。在物體下

⑴⑵⑶⑷

第四課時直觀圖畫法C

【學習導航】

知識網(wǎng)絡

學習要求

1.初步了解中心投影和平行投影的點評：在條件“平行于x軸的線段，在直觀圖

區(qū)別。中保持長度不變；平行于y軸的線段，長度為

2.初步掌握水平放置的平面圖形的原來的一半”之下，正三角形的直觀圖為斜三

直觀圖的畫法和空間幾何體的直角形。

觀圖的畫法自主訓練一

3.初步了解斜二測畫法畫水平放置的正五邊形的直觀圖。

【課堂互動】

自學評價

1.消點的定義：______________________

2.斜二測畫法步驟⑴

⑵__________________________________

⑶_______________________________解答：略

(4)_______________________________

【精典范例】

一、怎樣畫水平放置的正三角形的直觀圖

例1:畫水平放置的正三角形的直觀圖。

例2.畫棱長為2cm的正方體的直觀圖.

解答：互助參考15頁例2

解答：互助參考14頁例1

符號表示___________________________

5.公里3：__________________________

點評：空間圖形的直觀圖的畫法。

規(guī)則是：已知圖形中平行于X軸，y軸和z符號表示___________________________

軸的線段，在直觀圖中保持平行性不變；平問題：舉出日常生活中不共線的三點確定一個平

行于x軸，z軸的線段，在直觀圖中保持原面的例子.

長度不變；平行于y軸的線段長度為原來的

一半。

自主訓練二

用斜二測畫法畫長、寬、高分別是【精典范例】

4cm,3cm,2cm的長方體ABCD—A'B'CD'例1：己知E、F、G、II分別為空間四邊形（四

的直觀圖

個頂點不共面的四邊形）ABCD各邊AB、AD、BC、

仿照例2作圖

CD上的點，且直線EF和GH交于點P,求證：B、

第五課時平面的基本性質(zhì)D、P在同一條直線上.

【學習導航】

知識網(wǎng)絡

證明：

VPGEF,ffijEGAB,FGAD

AEFI平面ABD

平面ABD

學習要求同理，PG平面BDC

平面ABDPl平面BDC

1.初步了解平面的概念.

AB,D、P在同一條直線上

2.了解平面的基本性質(zhì)（公理1-3）

3.能正確使用集合符號表示有關點、

線、面的位置關系.

4.能運用平面的基本性質(zhì)解決一些簡

單的問題

【課堂互動】

自學評價思維點拔：

1.平面的概念：______________________證明多點共線，通常利用公里2,即兩相交平面

交線的唯一性；證明點在相交平面的交線上，

2.平面的表示法______________________必須證明這些點分別在兩個平面內(nèi)。

3.公里］:_________________________自主訓練

如圖,在正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為

符號表示___________________________AB,AA,中點，求證CE,DF,DA三條直線交于一點。

4.公里2：__________________________

證略.

自主訓練

1.為什么許多自行車后輪旁裝一只撐腳？

2.用符號表示''點A在直線1上，1在平面a

外”正確的是(B)

例2.如圖，在長方體ABCD-ABCD中，

A.Al1,IIa

下列命題是否正確？并說明理由.

①AG在平面CCiBiB內(nèi)；B.AI1,IEa

②若0、分別為面ABCD、ABCD的中

心，則平面AA.CiC與平面BiBDDi的交線為C.Ai1,IEa

001.

D.Al1,IIa

③由點A、0、C可以確定平面；

④由點A、G、Bi確定的平面與由點A、3.下列敘述中，正確的是(D)

A.因為Pla,QIa,所以PQla

G、D確定的平面是同一個平面.

B.因為Pla,QIB,所以aCB=PQ

C.因為ABia,CIAB,DIAB,所以

CDIa

D.因為ABia,ABIB,所以AlaqB,

且BIaqB

第六課時平面的基本性質(zhì)

【學習導航】

解(1)不正確知識網(wǎng)絡

(2)正確

(3)不正確

(4)正確.

學習要求

1.了解平面基本性質(zhì)的3個推論，了解例1：己知：如圖AC1,Bel,Cel,DI1,

它們各自的作用.

求證：直線AD、BD、CD共面.

2.能運用平面的基本性質(zhì)解決一些簡

單的問題.

【課堂互動】

自學評價

1.推論］:.

解答：互助參考22頁例1

已知:

求證:

解答：互助參考22頁推論1

思維點拔：

簡單的點線共面的問題，一般是先由部分點或

線確定一個平面，然后證明其他的點線也在這

個平面內(nèi)，這種證明點線共面的方法稱為"落

入法"

例2.如圖：在長方體ABCD-ABCD中，P為

棱BBi的中點，畫出由4,C,,P三點所確定

2.推論2：_______________________的平面a與長方體表面的交線.

己知：

求證：

解答：互助參考23頁例2

自主訓練一

證明空間不共點且兩兩相交的四條直線在同一

平面內(nèi).

已知：

3.推論3：_________________________

求證：

證明：

符號表示：_____________________________

(1)如圖，設直線a,b,c相交于點

仿推論1、推論2的證明方法進行證明。

0,直線d和a,和c分別交于M,N,P

【精典范例】

直線d和點0確定平面a,證法如例1

一、如何證明共面問題.

a

M

N

a

bc

設直線a,b,c,d兩兩相交，且任意三條不

共線,交點分別為M,N,P,Q,R,G

?.?直線a和b確定平面a

aAc=N,bflc=Q

：N,Q都在平面a內(nèi)

二直線cl平面a,同理直線di平面a自主訓練二

二直線a,b,c,d共面于a1.空間四點中，如果任意三點都不共線，那么

【學習延伸】

由這四點可確定1或4個平面?

如圖，已知正方體ABCD-ABCD中，E、

2.已知四條不相同的直線，過其中每兩條作平

F分別為DC、BQ的中點,ACABD=P,AC

面，至多可確定6個平面.

CEF=Q,求證：3.已知1與三條平行線a,b,c都相交,求證：1

(1)D、B、F、E四點共面’與a,b,c共面.

(2)若AC交平面DBFE于R點，則P、Q、

證明略

R三點共線.

第7課時空間兩

A,條直線的位置關系

一、【學習導航】

A

證明略

——?相交

關系共面情況公共點個數(shù)

相交直線

學習要求

1.了解空間兩條直線的位置關系平行直線

2.掌握平行公理及其應用

異面直線______________

3.掌握等角定理，并能解決相關問題.2.公里4：____________________________

【課堂互動】

自學評價符號表示：________________________________

1.空間兩直線的位置關系

思考：經(jīng)過直線外一點，有幾條直線和這條直線

平行

答：

3.等角定理

證明略

【精典范例】

例1：.如圖,在長方體ABCD-ABCD中，己

點評：要證梯形，必須證明有兩邊平行且相等,

平行的證明要善于聯(lián)想平面幾何知識.

例2：如圖.己知E、Ei分別為正方體

ABCD-ABCD的棱AD、AD的中點,求證：Z

GEB尸ZCEB.

應用

解答：互助參考25頁例1

分析：設法證明EC〃EC,EB/EB

證明：

解答：互助參考26頁例2

思維點拔：

證兩直線平行的方法：

(1)利用初中所學的知識

(2)利用平行公理.

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩

自主訓練

邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

已知：棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，

M,N分別為CD,AD的中點，求證：四邊形MNAC等角定理的證明

是梯形.已知：ZBAC和ZB.AiCi的邊AB//A.B,,

AC//A.C1,并且方向相同.

求證：ZBAC=ZBiAiCi

解答：互助參考25頁

思維點拔：

凡“有且只有”的證明，丟掉“有”

即存在性步驟，或丟掉“只有”即唯一性

的證明都會導致錯誤發(fā)生，即證明不全

面，思維不嚴謹所致。

求證：過直線外一點有且只有一條直線和

這條直線平行.

已知：點Pi直線a

點評:求證：過點P和直線a平行的直線b有且

平幾中的定義，定理等，對于非平面圖形,僅有一條.

需要經(jīng)過證明才能應用。證明：tpiia,

自主訓練

.?.點P和直線a確定平面a

1.設AAi是正方體的一條棱，這個正方在平面a內(nèi)過點P作直線b直線a平行（由平面

體中與AAi平行的棱共有（C）幾何知識）

A.1條B.2條假設過點P還有一條直線c與a平行，則

C.3條D.4條*/a//b,a//c

...b〃c，這與b,c共點P矛盾.

2.若OA//O1A1,0B//01B,,則ZAOB與

，直線b唯一

NAQB關系（C）...過直線外一點有且只有一條直線和這

A.相等B.互補條直線平行

C.相等或互補D.以上答案都不對總結：（1）凡上述兩類問題型的證明應有

兩步，即先證明事實存在，再證明它是唯

3.如圖，已知AA,BB',CC',不共面,

-的⑵解答文字命題必須將文字語言

Z

且AA'//BB,AA,=BB',“譯”成符號語言，然后寫出“己知和求

BB'//CC,,BB'=CC.證”需要作圖時，要把圖形作出來，最后

求證：aABC絲Z\A'B'C給出“解答（證明）”

用平行四邊形性質(zhì)證明

第8課時異面直

線

一、【學習導航】

知識網(wǎng)絡

【精典范例】

學習要求

例1：已知ABCD-AECD是棱長為a的正方體.

1.掌握異面直線的定義.

2.理解并掌握異面直線判定方法.

.3.掌握異面直線所成的角的計算方法.

【課堂互動】

自學評價

3.異面直線的定義___________________(1)正方體的哪些棱所在的直線與直線BC.

是異面直線；

(2)求異面直線AA.與BC所成的角；

2.異面直線的特點____________________

(3)求異面直線BC,和AC所成的角.

互助參考27理1

4.異面直線的判定方法

(1)定義法

(2)判定定理

(3)反證法

5.異面直線所成的角

(D定義：______________________________

4.在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD

中點，且EF=5,又AD=6,BC=8.求AD與BC

所成角的大小.

思維點拔：

(1)證兩直線異面的方法①定義法②反證

法③判定定理

(2)求兩條異面直線所成的角的方法：①作

②證③求

自主訓練

1.指出下列命題是否正確，并說明理由：

(1)過直線外一點可作無數(shù)條直線與已知直

線成異面直線；

(2)過直線外一點只有一條直線與已知直

線垂直.

答：(1)正確，(2)錯

解析：取BD的中點H,利用中位線性質(zhì)，有

2.在長方體ABCD-ABCD中,那些棱所在

EH//AD,FH//BC,ZEHF或其補角為AD與BC所

直線與直線是異面直線且互粗垂直.成角，可以求得NEHF=90°

【學習延伸】

已知A是△BCD所在平面一點，

AB=AC=AD=BC=CD=DB,E是BC的中點，

(1)求證直線AE與BD異面

⑵求直線AE與BD所成角的余弦值

答：CD,C>D,,BC,B,C,

3.在兩個相交平面內(nèi)各畫一條直線，使它A

們成為：

(1)平行直線；(2)相交直線；(3)異面直線.

(1)反證法

(2)取CD的中點F,連接EF,可達到平移的

目的.直線AE與BD所成角的余弦值四

第9課時直線與

平面的位置關系

一、【學習導航】

知識網(wǎng)絡

直線和平面的位置關系

—?直線和平面平行

互助參考31頁

學習要求

1.掌握直線與平面的位置關系.直線和平面平行的性質(zhì)

2.掌握直線和平面平行的判定與性質(zhì)定

直線和平面平行的判定

理.

與性質(zhì)定理的應用

.3.應用直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理

證明兩條直線平行等有關問題.

【課堂互動】證明:

自學評價

4.直線和平面位置關系

位置關系符號表示圖形表示

直線a在平面a內(nèi)

直線a在平面a相交

直線a在平面a相交

2.直線在平面內(nèi)是指：

3.直線和平面平行的判定定理

符號表示_______________________________

說明：本章中出現(xiàn)的判定定理的證明不作要【精典范例】

求例1：如圖，已知E、F分別是三棱錐A-BCD的

4.直線和平面平行的性質(zhì)定理

側棱AB、AD中點，求證：EF〃平面BCD.

已知:

互助參考31頁例2

例3.求證：如果三個平面兩兩相交于直線，并

互助參考31頁例1

且其中兩條直線平行，那么第三條直線也和它

們平行.

已知：

求證：

互助參考31頁例3

自主訓練一

已知正方形ABCD所在的平面和正方形

ABEF所在的平面相交與AB,M、N分別

是AC、BF上的點且AM=FN

求證：MN〃平面BCE

［思考］:如果三個平面兩兩相交于三條直

線，并且其中的兩條直線相交，那么第三條直

線和這兩條直線有怎樣的位置關系？

證明：作NP〃AB交BE于點P

作NQ//AB交BC于點Q

MQ_MCNP_NB

'~AB~~\C'~EF~~BF

而AC=BF,AM=FN,

；.MC=NB,有AB=EF

/.MQ//NP,有MQ=NP

???四邊形MQNP是平行四邊形.

；.MN〃PQ,而PQ1平面BCE

；.MN〃平面BCE

例2.一個長方體木塊如圖所示，要經(jīng)

過平面AC內(nèi)一點P和棱BC將木塊鋸開，應

怎樣畫線?

3.在長方體ABCD-A.B,C,D,的面中：

(1)與直線AB平行的平面是：面AC,面

DC,_________

(2)與直線AAi平行的平面是:面BC,面

DC,_________

(3)與直線AD平行的平面是：面BC,而

AC

自主訓練二

1.指出下列命題是否正確，并說明理

由：

(1).如果一條直線不在平面內(nèi)，那么這

條直線就與這個平面平行；錯

(2).過直線外一點有無數(shù)個平面與這

條直線平行；正確

(3).過平面外一點有無數(shù)個直線與這

條平面平行。正確平面垂直

2.已知直線a,b和平面a,下列命題正一、【學習導航】

確的是(D

A.若a〃a,bla則a//b

B.若a〃a,b〃a則a//b

C.若a//b,bla則a//a

D.若a〃b,bia則a〃a或bi

垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直

學習要求3.點到平面的距離：______________________

1.掌握直線與平面的位置關系.

2.掌握直線和平面平行的判定與性質(zhì)定

4.直線與平面垂直的判定定理：

理.

.3.應用直線和平面平行的判定和性質(zhì)定理

證明兩條直線平行等有關問題.符號表示__________________________________

【課堂互動】

自學評價5.直線和平面垂直的性質(zhì)定理：

5.直線和平面垂直的定義：

符號表示：_____________________________

垂線：_________________________________

垂面：_________________________________

垂足：_________________________________

思考：在平面中，過一點有且僅有一條直線

與已知直線垂直，那么在空間。已知:

(1)過一點有幾條直線與已知平面垂直？

答：求證:

證明：互助參考34如圖，已知PAJ.a,PB，B,垂足分別為A、B,

且aCB=1,求證：AB±1.

6.直線和平面的距離:

【精典范例】

證明：略

例1：.求證：如果兩條平行直線中的一

條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂

直于這個平面.

證明：互助參考34例1

例2.已知直線1〃平面a,求證：直線1各

點到平面a的距離相等.

證明：互助參考34例2

思維點拔:

要證線面垂直，只要證明直線與平面內(nèi)的兩

條相交直線垂直，或利用定義進行證明。

RtAABC所在平面外一點S,且SA=SB=SC

(1)求證：點S在斜邊中點D的連線SD,面

ABC

⑵若直角邊BA=BC,求證：BD_L面SAC

例3.已知正方體ABCD-A.B,C.D,.

⑴求證：A.ClB^i;

⑵若M、N分別為BD與3D上的點,且MN

_LBD,MN±CiD,求證：MN//AiC.

自主訓練B

A,

C,

分析：(1)可先證BD，面A￡C,從而證出結

論.

⑵可證MN和A.C都垂直于面BDCI,從而利

用性質(zhì)證出結論

3.在aABC中，ZB=90°,SA_L面ABC,AM±

SC,AN_LSB垂足分別為N、M,

求證：AN±BC,MN±SC

點評：要證線線平行均可利用線面垂

直的性質(zhì)。

略證：