冪函數(shù) 2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修）

3.3

冪函數(shù)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯(cuò)

辨

析

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、冪函數(shù)的定義1.給出函數(shù):y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,

,這些函數(shù)的解析式有什么共同的特征?這類函數(shù)解析式的一般形式應(yīng)如何表示?提示:解析式是冪的形式,底數(shù)是自變量x,指數(shù)是一個(gè)常數(shù);一般形式可用y=xα表示.2.填一般地,函數(shù)

y=xα叫做冪函數(shù),其中

x是自變量,α是常數(shù).答案:D二、五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,的圖象,結(jié)合圖象分析、研究它們的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性,并由此推斷冪函數(shù)具有的性質(zhì).2.

3.冪函數(shù)的性質(zhì):(1)所有的冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都有定義,圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);(2)若α>0,則y=xα在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,圖象過(guò)點(diǎn)(0,0);若α<0,則y=xα在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,圖象不過(guò)點(diǎn)(0,0).4.(多選題)關(guān)于函數(shù)y=x4,下列說(shuō)法正確的是(

)A.定義域?yàn)镽

B.在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增C.圖象不過(guò)點(diǎn)(0,0)

D.是偶函數(shù)答案:ABD【思考辨析】

判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)函數(shù)y=x0是冪函數(shù).(√)(2)所有冪函數(shù)的圖象均過(guò)點(diǎn)(0,0).(×)(3)冪函數(shù)一定具有奇偶性.(×)(4)任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過(guò)第四象限.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

冪函數(shù)的圖象及其應(yīng)用∴f(x)=x-2.f(x)的圖象如圖所示.f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0).反思感悟1.冪函數(shù)的圖象一定出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限內(nèi),圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi),至于是否在第二象限或第三象限內(nèi)出現(xiàn)要看冪函數(shù)的奇偶性.2.冪函數(shù)y=xα的圖象分布與冪指數(shù)α的關(guān)系具有如下規(guī)律:在直線x=1的右側(cè),按“逆時(shí)針”方向,圖象所對(duì)應(yīng)的冪指數(shù)依次增大(如圖).3.根據(jù)圖象研究函數(shù)解析式時(shí),應(yīng)結(jié)合函數(shù)在第一象限的單調(diào)性確定y=xα中α的符號(hào).【變式訓(xùn)練】

(1)若冪函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示,則a,b,c,d的大小關(guān)系是(

)A.d>c>b>a

B.a>b>c>dC.d>c>a>b

D.a>b>d>c(2)函數(shù)

的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是(

)答案:(1)B

(2)B探究二

冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用【例2】

比較下列各組數(shù)的大小:(1)1.13,1.23;若將本例(1)改為:已知(a-2)3>(2a+1)3,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:令f(x)=x3,容易判斷f(x)為奇函數(shù),且在R上為增函數(shù),因此由(a-2)3>(2a+1)3,可得a-2>2a+1,解得a<-3.反思感悟利用冪函數(shù)的單調(diào)性可以比較冪值的大小,當(dāng)兩個(gè)冪值的底數(shù)不同,指數(shù)相同時(shí),可以首先構(gòu)造一個(gè)冪函數(shù),然后根據(jù)指數(shù)值的正負(fù)確定該冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性,比較兩個(gè)底數(shù)的大小,即得兩個(gè)冪值的大小關(guān)系.解析:因?yàn)楹瘮?shù)

的定義域?yàn)?0,+∞),且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為減函數(shù),所以D項(xiàng)正確.答案:D易

錯(cuò)

辨

析因?qū)绾瘮?shù)的單調(diào)性理解不全面致錯(cuò)【典例】

若(a+1)-1<(3-2a)-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.以上解答過(guò)程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:函數(shù)f(x)=x-1在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)均單調(diào)遞減,但在區(qū)間(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)不具有單調(diào)性,錯(cuò)解中錯(cuò)用了函數(shù)的單調(diào)性,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正解:由于冪函數(shù)f(x)=x-1在區(qū)間(-∞,0)及(0,+