計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 課件 第9章 圖形學(xué)研究專題

第9章圖形學(xué)研究專題9.1彩色云圖技術(shù)9.2分形幾何9.3計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)

9.1彩色云圖技術(shù)

1.數(shù)據(jù)準(zhǔn)備

（1）按照矩量法計(jì)算，首先要建立圖9.1所示的幾何模型，這里采用表面模式建模，即車體由三角形、四邊形包絡(luò)形成，頂點(diǎn)順序必須符合矩量法要求的逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

圖9.1幾何模型

（2）按要計(jì)算的頻率進(jìn)行網(wǎng)格劃分，此處矩量法采用脈沖基函數(shù)作為展開(kāi)函數(shù)，故不要求劃分的網(wǎng)格頂點(diǎn)鉸接（頂點(diǎn)對(duì)頂點(diǎn)稱為鉸接），且劃分單元可為多種形狀，為計(jì)算簡(jiǎn)單，劃分單元取為三角形、四邊形。圖9.2為120MHz下的網(wǎng)格劃分結(jié)果。

（3）矩量法計(jì)算，設(shè)置條件:天線1發(fā)射頻率為120MHz，天線3作為接收天線。

圖9.2網(wǎng)格劃分模型

（4）提取云圖所需數(shù)據(jù)。所需數(shù)據(jù)包括網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)據(jù)、矩量法計(jì)算輸出的每個(gè)面單元質(zhì)心處的面電流。面電流數(shù)據(jù)格式如下：

2.云圖生成算法

首先對(duì)面單元進(jìn)行離散，得到符合精度要求的離散元，該離散元就是圖形顯示時(shí)的“像素”；接著，經(jīng)過(guò)面單元內(nèi)一點(diǎn)的電流插值（雙線性插值、面積坐標(biāo)法等）運(yùn)算，求出每個(gè)離散元的電流；然后建立電流數(shù)值與顏色的映射關(guān)系，求出每個(gè)離散元的顏色；最后按顏色繪制每個(gè)離散元。

1）面單元的離散算法

采用“質(zhì)心中點(diǎn)法”對(duì)三角形、四邊形面單元離散。參見(jiàn)圖9.3（a），三角形面單元的離散算法如下：

（1）讀入三角形面單元的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2）、C（x3，y3，z3）；

（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算各邊的中點(diǎn)E、F、G；

（3）按2.3節(jié)的方法計(jì)算三角形的質(zhì)心坐標(biāo)（xC，yC，zC）：

（4）連接質(zhì)心和各邊中點(diǎn)，得到三個(gè)四邊形AEOG、EBFO、OFCG（按逆時(shí)針點(diǎn)序產(chǎn)生），輸出這些四邊形離散元；

（5）調(diào)用四邊形面單元的離散算法對(duì)這三個(gè)離散元繼續(xù)離散，直至達(dá)到一定的精度。

圖9.3質(zhì)心中點(diǎn)法

參見(jiàn)圖9.3（b），四邊形面單元的離散算法如下：

（1）讀入四邊形面單元的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算各邊的中點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）按2.3節(jié)的方法計(jì)算四邊形的質(zhì)心坐標(biāo)：

（4）連接質(zhì)心和各邊中點(diǎn)，得到四個(gè)四邊形AEOH、EBFO、OFCG、OGDH（按逆時(shí)針點(diǎn)序產(chǎn)生）；

（5）繼續(xù)離散這些四邊形離散元，直至達(dá)到一定的精度。

圖9.4是圖9.2所示通信車車體按上述算法生成的在某一精度下的離散元模型。

圖9.4車體的離散元模型

2）面單元內(nèi)電流的插值計(jì)算

（1）面單元頂點(diǎn)處電流的計(jì)算。

設(shè)與某一面單元頂點(diǎn)相鄰的面單元為m個(gè)，采用式（91）面積加權(quán)平均法計(jì)算出該頂點(diǎn)處的電流i：

其中，ik為第k個(gè)面單元質(zhì)心處的電流，sk為第k個(gè)面單元（三角形或四邊形）的面積。

（2）三角形面單元內(nèi)一點(diǎn)電流的插值計(jì)算。

三角形內(nèi)一點(diǎn)場(chǎng)量值的插值方法有雙線性插值法、距離加權(quán)平均法、面積坐標(biāo)法等。面積坐標(biāo)法具有插值效果好、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，這里采用該方法。

如圖9.5所示，三角形內(nèi)點(diǎn)P

與頂點(diǎn)連線把三角形分成3個(gè)小三角形，面積s1、s2、s3分別稱為頂點(diǎn)1、頂點(diǎn)2和頂點(diǎn)3的面積坐標(biāo)。顯然，點(diǎn)P離哪個(gè)頂點(diǎn)越近，其面積坐標(biāo)就越大，則點(diǎn)P的電流就越接近該頂點(diǎn)的電流。

圖9.5面積坐標(biāo)插值

設(shè)P（x，y，z）為三角形123面單元內(nèi)任意離散元的質(zhì)心，i1、i2

、i3分別為面單元頂點(diǎn)

處的電流，則按式（9-2）可計(jì)算出點(diǎn)P的電流i：

其中，s為三角形123的面積，s1、s2、s3分別為三角形P23、P31、P12的面積。

（3）四邊形面單元內(nèi)一點(diǎn)電流的插值計(jì)算。

四邊形內(nèi)一點(diǎn)場(chǎng)量值的插值方法主要有雙線性插值法、距離加權(quán)平均法等。距離加權(quán)平均法計(jì)算量雖小但插值效果不如雙線性插值法，這里采用雙線性插值法。

設(shè)四邊形面單元四個(gè)頂點(diǎn)依次為P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）、P3（x3，y3，z3）、P4（x4，y4，z4），頂點(diǎn)的電流分別為i1、i2、i3、i4；設(shè)Q（m，n，k）為四邊形面單元內(nèi)任意一點(diǎn)，則確定點(diǎn)Q的電流iq的插值算法如下：

（1）利用世界坐標(biāo)系到局部坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換在面元上建立局部坐標(biāo)系，如圖9.6所示。坐標(biāo)變換后各點(diǎn)坐標(biāo)分別為P′1（0，0）、P′2（x′2，0）、P′3（x′3，y′3）、P′4（x′4，y′4）、Q′（m′，n′）；

（2）求過(guò)點(diǎn)Q′且與x′軸平行的直線與四邊形的左交點(diǎn)A（xa，ya）、右交點(diǎn)B（xb，yb），并求在點(diǎn)A、B處的電流ia、ib，分下面三種情況計(jì)算：

圖9.6四邊形單元的雙線性插值

3）電流數(shù)值與顏色的映射

場(chǎng)量與顏色之間的映射關(guān)系是影響云圖質(zhì)量的重要因素。由于復(fù)雜結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)場(chǎng)很難用準(zhǔn)確的解析式表達(dá)，因此常用線性變化關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)場(chǎng)量（面電流數(shù)值）與顏色之間的映射。考慮到面電流數(shù)值分布總體趨于均勻（即數(shù)值相差較?。┑奶攸c(diǎn)，這里采用24種顏色進(jìn)行映射，以得到能準(zhǔn)確反映電流分布的彩色云圖。

參見(jiàn)圖9.7，實(shí)現(xiàn)電流數(shù)值與顏色映射的方法如下：圖9.7電流數(shù)值與顏色的映射

（1）從各面單元質(zhì)心電流中確定電流數(shù)值的最大值imax和最小值imin，電流值計(jì)算方法為

（2）把最大值imax和最小值imin之間的區(qū)間等分成24個(gè)小區(qū)間；

（3）在調(diào)色板中，選用一個(gè)從藍(lán)色到紅色的顏色表（即色階）來(lái)代表電流數(shù)值由小到大的變化，該顏色表相應(yīng)地由表示這24種顏色的顏色索引（即顏色號(hào)）組成，它們分別對(duì)應(yīng)于電流數(shù)值等分形成的24個(gè)小區(qū)間；

（4）根據(jù)面單元內(nèi)一點(diǎn)電流的插值算法計(jì)算出離散元質(zhì)心處的電流數(shù)值，并判斷其所在的區(qū)間，從而得到對(duì)應(yīng)的顏色索引，該顏色索引就是離散元繪制時(shí)的顏色。

4）按顏色繪制每個(gè)離散元

將每個(gè)離散元按確定的顏色進(jìn)行繪制，宏觀顯示的效果就是彩色云圖的圖像。圖9.８是最終生成的通信車面電流彩色云圖。

圖9.8面電流彩色云圖

3.色階對(duì)云圖效果的影響

選取不同個(gè)數(shù)和不同色彩的顏色時(shí)云圖的視覺(jué)效果是有差別的。色彩個(gè)數(shù)越多、色彩之間區(qū)分越明顯，云圖表現(xiàn)物理量的大小變化就越明顯。圖9.9的云圖效果比圖9.8要好。

圖9.9色階的影響

4.云圖在天線立體方向圖中的應(yīng)用

需要的天線立體方向圖數(shù)據(jù)為:在以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心、以某個(gè)距離為半徑的球面上按經(jīng)緯度方向采樣計(jì)算，得到沿球面分布的一系列點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)（電場(chǎng)強(qiáng)度）值。

將球面分布的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)據(jù)先進(jìn)行顏色映射，再進(jìn)行半徑映射得到立體方向圖曲面彩色云圖。顏色映射的方法為:由經(jīng)緯度采樣點(diǎn)沿球面形成四邊形、三角形（在兩極處）網(wǎng)格單元，對(duì)每一網(wǎng)格單元進(jìn)行離散、單元內(nèi)離散元頂點(diǎn)和質(zhì)心的場(chǎng)強(qiáng)插值計(jì)算、離散元質(zhì)心的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值與顏色的映射，從而得到每一離散元的頂點(diǎn)坐標(biāo)（經(jīng)緯度和球半徑）、頂點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)值和離散元顏色。

半徑映射的方法為:求出場(chǎng)強(qiáng)最大值，取一個(gè)方向圖繪制的半徑值，對(duì)每一離散元，先將其頂點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)值做歸一化處理，然后用歸一化場(chǎng)強(qiáng)值與方向圖半徑值相乘就得到離散元頂點(diǎn)的繪制半徑，利用球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，得到離散元頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)。經(jīng)過(guò)顏色映射和半徑映射，就得到每個(gè)離散元繪制時(shí)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和顏色，將所有離散元繪制，便得立體方向云圖。圖9.10（a）為通信車某個(gè)發(fā)射天線工作時(shí)的純立體方向圖，圖9.10（b）為疊加有通信車模型的透明彩色方向云圖（云圖曲面顯示時(shí)設(shè)置了一定的透明度，故可看到內(nèi)部的通信車模型）。

圖9.10天線的立體方向云圖

9.2分形幾何

分形幾何與傳統(tǒng)的歐氏幾何的區(qū)別在于，歐氏幾何使用方程描述平滑的表面和規(guī)則形狀的物體，而分形幾何使用迭代過(guò)程對(duì)具有不規(guī)則幾何形態(tài)的物體建模。圖9.11反映了Si?erpinski墊片這一分形圖形的迭代生成過(guò)程。

圖9.11分形的自相似性與迭代

分形幾何按其實(shí)現(xiàn)方式的不同分為確定性分形和隨機(jī)性分形兩大類。

確定性分形生成方法是通過(guò)定義原始圖元和映像規(guī)則，并對(duì)原始圖元按所定義的映像規(guī)則迭代而生成分形圖形的方法。圖9.11的三角墊片便是確定性分形。這一方法生成的分形對(duì)象，其圖案主要決定于映像規(guī)則。常用的確定性分形方法有:VonKoch曲線（即雪花曲線圖9.12（a）），以及復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)生成法，如Mandelbort集和Ｊulia集（圖9.12（b））。

圖9.12確定性分形

隨機(jī)性分形是在描述分形對(duì)象的迭代過(guò)程中加入隨機(jī)因素，從而生成具有隨機(jī)特性的分形圖形的方法。隨機(jī)因素所具有的不同的概率分布，決定了所生成圖形的不同。常用的隨機(jī)性

分形生成方法有FBM（分形布朗運(yùn)動(dòng)）法、IFS（迭代函數(shù)系統(tǒng)）法、L系統(tǒng)法、粒子系統(tǒng)法等。分形理論為研究復(fù)雜性事物提供了全新的角度，使人們從無(wú)序中重新發(fā)現(xiàn)了有序，已成為非線性科學(xué)的生長(zhǎng)點(diǎn)之一，在自然景物模擬、信號(hào)處理、經(jīng)濟(jì)、氣象等領(lǐng)域獲得成功應(yīng)用，并在向其他領(lǐng)域擴(kuò)展。

9.2.1分形幾何基礎(chǔ)

1.分?jǐn)?shù)維幾何現(xiàn)象及其特征

對(duì)復(fù)雜不規(guī)則現(xiàn)象的研究可以回溯到1906年，當(dāng)時(shí)瑞典數(shù)學(xué)家H.VonKoch研究了一種其稱為雪花的圖形，如圖9.13所示。

圖9.13VonKoch曲線

2.分形的維數(shù)

參見(jiàn)圖9.14（a）的圖形均分，均分出來(lái)的圖形與原圖自相似。假設(shè)N表示圖形均分的數(shù)目，S為均分時(shí)的縮小因子，D表示圖形的維數(shù)。將一線段（D=1）四等分，此時(shí)N=4，S=1/4，則N=41=（1/（1/4））1；將一正方形（D=2）16等分，此時(shí)N=16，線段的縮放倍數(shù)S=1/4，則N=42=（1/（1/4））2。類似地，一個(gè)立方體（D=3）均分為27個(gè)小立方體，此時(shí)N=27，S=1/3，則N=33=（1/（1/3））3。即對(duì)于整數(shù)維而言，N與S、D之間的關(guān)系為N=（1／S）D

。

一般地，設(shè)N為圖形每一步細(xì)分的數(shù)目，S為細(xì)分時(shí)的縮放因子，則分形維數(shù)D定義為

這里的log表示以任意正數(shù)為底的對(duì)數(shù)，如可以為lg、ln、lb等。顯然，整數(shù)維是分?jǐn)?shù)維的特殊情況。對(duì)于圖9.14（b）的VonKoch曲線，N=4，S=1/3，其維數(shù)D=lg4/lg3=1.2619。

圖9.14分?jǐn)?shù)維圖形與整數(shù)維圖形

如何理解分?jǐn)?shù)維？以圖9.15的VonKoch曲線為例，維數(shù)D取值由大于1向2變化。可以看出，分維數(shù)的幾何意義在于填充了空間。當(dāng)D從1增加到2時(shí)，曲線從“線形”逐漸填充大部分平面，實(shí)際上，極限D(zhuǎn)=2產(chǎn)生一個(gè)Peano曲線或空間填充曲線。這樣，分形維數(shù)就提供了一個(gè)曲線擺動(dòng)的度量。盡管這些VonKoch曲線具有1到2的分形維數(shù)，但它們均是保持具有拓?fù)渚S數(shù)（即整數(shù)維）1的“曲線”，因?yàn)槿サ粢粋€(gè)點(diǎn)曲線會(huì)分為兩部分。

圖9.15分形維數(shù)與其圖形的演變

3.分形生成過(guò)程

如前所述，分形有兩個(gè)基本特征:每點(diǎn)處無(wú)限的細(xì)節(jié)和整體與局部之間的自相似性?？梢杂靡粋€(gè)過(guò)程來(lái)描述分形，該過(guò)程為產(chǎn)生分形局部細(xì)節(jié)指定了一個(gè)重復(fù)操作。理論上自然景物要用重復(fù)無(wú)限次的過(guò)程來(lái)表示，但實(shí)際中，自然景物的圖形僅用有限步去生成，即能很好地近似表示。

如果給定一過(guò)程變換函數(shù)，一個(gè)分形可以通過(guò)在一空間區(qū)域里對(duì)初始圖形重復(fù)使用變換函數(shù)來(lái)生成。若G0是選定的初始圖形，F(xiàn)是過(guò)程變換函數(shù)（一個(gè)或一組），則每次變換圖形為

這樣可得到細(xì)分的圖形。增加變換次數(shù)可以產(chǎn)生更多細(xì)節(jié)，也更靠近“真正”分形。

一般地，初始圖形G0為給定的點(diǎn)集或者基本元素集（如直線、曲線、顏色區(qū)、表面和實(shí)體）；變換函數(shù)F可以是幾何變換、線性變換或決策參數(shù)；圖形迭代生成過(guò)程可以是固定的（即每次迭代采用固定的變換函數(shù)），也可以是隨機(jī)的（即每次迭代采用不同的變換函數(shù)）。

構(gòu)造變換函數(shù)的方法有許多種，它們形成不同的分?jǐn)?shù)維圖形構(gòu)造模型，如FBM模型、IFS模型、L系統(tǒng)模型、粒子系統(tǒng)模型等。

9.2.2分形布朗運(yùn)動(dòng)模型

分形布朗運(yùn)動(dòng)模型是一種隨機(jī)插值模型。布朗運(yùn)動(dòng)是1８27年植物學(xué)家RobertBrown在研究花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)的?；ǚ鄣倪\(yùn)動(dòng)方向是隨時(shí)改變的，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一條無(wú)規(guī)則的折線，后來(lái)這被解釋為許多微粒通過(guò)不斷地﹑連續(xù)地碰撞鄰近的微粒而產(chǎn)生的無(wú)規(guī)則的不穩(wěn)定的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。布朗運(yùn)動(dòng)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。

1.分形布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)定義

1923年，德國(guó)數(shù)學(xué)家N.Wiener利用統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，建立了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型（即N.Wiener模型）。他把布朗運(yùn)動(dòng)作為一種隨機(jī)過(guò)程加以嚴(yán)格刻畫(huà)，他認(rèn)為布朗運(yùn)動(dòng)是滿足下列條件的隨機(jī)過(guò)程：

2.分形布朗運(yùn)動(dòng)方法（FBM法）

由布朗運(yùn)動(dòng)的定義我們知道，通過(guò)高斯隨機(jī)變量的累加就可以生成布朗運(yùn)動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)的生成算法正是基于這一思想提出來(lái)的。FBM的生成有多種方法:泊松階躍法（PT）、逆傅里葉變換法（IFT）、逐次隨機(jī)增加法（SRA）、多重線性細(xì)分法（MS）、隨機(jī)中點(diǎn)位移法（MPD）等。其中，PT法和IFT法由于計(jì)算代價(jià)太大已經(jīng)很少應(yīng)用，應(yīng)用較多的是隨機(jī)中點(diǎn)位移法（MPD）、SRA、MS法等，其中隨機(jī)中點(diǎn)位移法由于計(jì)算量小、編程容易、能快速方便地生成圖形并具有為已有形狀增加細(xì)節(jié)的能力而成為一種實(shí)用的分形生成算法，在地形、云彩等模擬方面得到很成功的應(yīng)用。

3.隨機(jī)中點(diǎn)位移法（MPD）與地形模擬

1）MPD法的原理

參見(jiàn)圖9.16，MPD法的基本思想是對(duì)線段中點(diǎn)處的高程進(jìn)行位移（擾動(dòng)），位移量為高斯隨機(jī)量，然后將分割的線段再細(xì)分出中點(diǎn)，并進(jìn)行進(jìn)一步的位移，此過(guò)程遞歸進(jìn)行，直到滿足一定的空間分辨率（精度）為止。

圖9.16中點(diǎn)位移法

將MPD法用于地形建?？傻肍BM曲面，曲面上的點(diǎn)通過(guò)遞歸產(chǎn)生，遞歸過(guò)程如圖9.17所示。圖9.17中點(diǎn)位移法用于地形建模

參見(jiàn)圖9.17，MPD法地形模擬的算法步驟如下：

（1）給定初始空間四邊形P1P2P3P4，四邊形可以不共面；

（2）對(duì)P1P2P3P4上每條線段的中點(diǎn)Pm1、Pn1、Pm2、Pn2分別產(chǎn)生擾動(dòng)點(diǎn)P11、P12、P13、P14；

（3）對(duì)線段Pm1Pm2和Pn1Pn2按步驟（2）的過(guò)程生成它們的擾動(dòng)點(diǎn)，求出這兩個(gè)擾動(dòng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)P0；

（4）由P1P2P3P4，P11、P12、P13、P14及P0構(gòu)造細(xì)分后的四個(gè)空間小四邊形P1P11P0P14、P2P12P0P11、P3P13P0P12、P4P14P0P13；

（5）對(duì)步驟（4）得到的四個(gè)小四邊形按步驟（2）~（4）再進(jìn)行遞歸細(xì)分，直到滿足一定深度為止。

2）高斯分布的方差求取

3）分形參數(shù)H對(duì)FBM曲線及曲面的影響

圖9.18為分形參數(shù)H對(duì)FBM曲線形狀的影響。可以看出，分形參數(shù)H取不同的值（即FBM曲線具有不同的分形維數(shù)D），曲線也會(huì)表現(xiàn)出不同的幾何特征。由式（96）可知，分形參數(shù)值H越大，迭代方差越小，變量值越集中于均值附近，曲線越光滑。因此，分形參數(shù)取不同值，可以實(shí)現(xiàn)曲線不同分辨率的顯示，這個(gè)特性可用于信號(hào)處理或圖形顯示時(shí)的不同層次的細(xì)節(jié)表示。

圖9.18分形參數(shù)H對(duì)FBM曲線的影響

圖9.19為分形參數(shù)H對(duì)FBM曲面形狀的影響?？梢钥闯觯贖由0增大到1的過(guò)程中，分形維數(shù)D由3逐漸減小到2，相應(yīng)FBM曲面的形狀也將會(huì)由“粗糙”逐漸變得平緩。

直接由MPD法生成的地形尖峰較多，需要經(jīng)過(guò)“削峰”局部平滑處理才能得到較為自然的地形模型。

圖9.19分形參數(shù)H對(duì)FBM曲面的影響

4.分形插值地形建模

單純使用MPD法生成的地形雖然表現(xiàn)了隨機(jī)的特征，但很難與實(shí)際的某處地形對(duì)應(yīng)。要模擬出與實(shí)際地形對(duì)應(yīng)的地形，就需要進(jìn)行分形插值。在圖9.17的MPD法迭代過(guò)程中，若迭代次數(shù)為n，則每次迭代后的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為（2n＋1）×（2n＋1）。分形插值的方法為:首先形成能反映某地形特征的m×m網(wǎng)格點(diǎn)（m=2n＋1，n取3或4），其高程反映地形特征，m×m網(wǎng)格點(diǎn)可以直接建立，也可以由散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)按距離加權(quán)法轉(zhuǎn)換形成；然后用MPD法迭代生成網(wǎng)格，當(dāng)網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)等于m×m時(shí)，用m×m網(wǎng)格點(diǎn)替代當(dāng)前迭代網(wǎng)格，再繼續(xù)MPD法迭代，直到滿足精度要求為止。圖9.20為編者團(tuán)隊(duì)用MPD法插值建立的某火山口的地形模型。

圖9.20用MPD法建立的分形山（帶火山口）

9.2.3L系統(tǒng)

L系統(tǒng)又稱為正規(guī)文法模型。L系統(tǒng)由美國(guó)生物學(xué)家林德梅葉（Lindenmayer）1968年創(chuàng)立，19８4年A.R.Smith為模擬植物而引入，它能夠生成結(jié)構(gòu)性強(qiáng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如植物），再通過(guò)進(jìn)一步幾何解釋來(lái)形成逼真的畫(huà)面。L系統(tǒng)包括上下文無(wú)關(guān)的0L系統(tǒng)和上下文有關(guān)的1L系統(tǒng)、2L系統(tǒng)。1L系統(tǒng)稱為左相關(guān)或右相關(guān)，左相關(guān)文法用于模擬植物從根向莖、葉傳播的過(guò)程；右相關(guān)文法用于模擬植物從葉到莖、根傳播的過(guò)程。2L系統(tǒng)同時(shí)考慮左邊和右邊文法關(guān)系。

L系統(tǒng)本身是一個(gè)字符串重寫(xiě)系統(tǒng)，通過(guò)字符串的解釋，可轉(zhuǎn)化為建模（造型）工具。也就是說(shuō)，L系統(tǒng)只是給出了分形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而分形圖形的繪制還需結(jié)合幾何變換、造型和真實(shí)感圖形技術(shù)進(jìn)行。

L系統(tǒng)由字符表V、初始串（初始圖）W和產(chǎn)生（變換）規(guī)則P三個(gè)要素組成。L系統(tǒng)的基本思想是從初始串（叫作公理）開(kāi)始，將產(chǎn)生（變換）規(guī)則多次作用于其上，最后產(chǎn)生一個(gè)較長(zhǎng)的字符串。設(shè)計(jì)L系統(tǒng)就是設(shè)計(jì)其三要素。

下面是L系統(tǒng)設(shè)計(jì)的幾個(gè)例子。

圖9.21（a）為初始圖和對(duì)應(yīng)產(chǎn)生規(guī)則P的生成元；圖9.21（b）為L(zhǎng)系統(tǒng)迭代過(guò)程中生成的圖形。圖9.21用L系統(tǒng)產(chǎn)生VonKoch曲線

圖9.22用L系統(tǒng)產(chǎn)生植物的分支

圖9.23用L系統(tǒng)產(chǎn)生不同形態(tài)的植物

9.2.4迭代函數(shù)系統(tǒng)

迭代函數(shù)系統(tǒng)（IteratedFunctionSystem，IFS）由美國(guó)佐治亞理工學(xué)院DemkoBarnsley首先創(chuàng)立。IFS已在自然景物模擬和分形圖像壓縮方面獲得了成功應(yīng)用。

一個(gè)N維空間（通常為二維或三維）的迭代函數(shù)系統(tǒng)由兩部分組成，一部分是一個(gè)N維空間到N維空間的有限個(gè)線性映射（即仿射變換）的集合M=｛m1，m2，…，mn｝；另一部分是一個(gè)概率集合P=｛p1，p2，…，pn｝。每個(gè)pi與mi相聯(lián)系，∑pi=1。

以圖9.24為例介紹子圖及IFS代碼———仿射變換參數(shù)及概率的確定。圖9.24分形圖的拼貼子圖

1）確定子圖

根據(jù)圖9.24（a）分支的形狀即拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，確定本例IFS的6個(gè)子圖為圖9.24（b）。

2）確定子圖仿射變換參數(shù)

二維仿射變換為

若能獲取子圖上3點(diǎn)與整圖上對(duì)應(yīng)3點(diǎn)的坐標(biāo)，則按前式解方程組便可求取參數(shù)a、b、c、d、e、f；若不方便，則可按后式計(jì)算r、q、θ、?、e、f參數(shù)。其中，r和q分別是子圖在x方向和y方向的投影長(zhǎng)度相對(duì)于全圖（全圖x方向和y方向的尺寸分別為w、h）的縮放系數(shù)；θ和?是子圖相對(duì)于y軸的旋轉(zhuǎn)角度（這里θ=?）；e和f是子圖在x方向和y方向的位移量。

本例的仿射變換參數(shù)r、q、θ、?、e、f見(jiàn)表9.1。

3）確定子圖概率

各子圖概率用子圖面積占6個(gè)子圖面積和的比例表示，且滿足p1＋p2＋…＋pn=1，pi＞0，見(jiàn)表9.1。

IFS方法生成分形圖的步驟如下：

（1）給出概率分布｛p1，p2，…，pn｝，設(shè)概率服從均勻分布，概率分布決定了隨機(jī)數(shù)區(qū)間；

（2）適當(dāng)取一個(gè)初始點(diǎn)Z0；

（3）產(chǎn)生一個(gè)概率服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)t（0＜t＜1）；

（4）根據(jù)隨機(jī)數(shù)t所處的隨機(jī)數(shù)區(qū)間選取相應(yīng)的概率pi和變換mi，并作仿射變換Zi=mi（Z0），在平面上畫(huà)點(diǎn)Zi；

重復(fù)步驟（3）、（4），直至到達(dá)設(shè)定的迭代次數(shù)。

9.2.5粒子系統(tǒng)

粒子系統(tǒng)采用粒子圖元（Particle）來(lái)描述景物，粒子形狀可以是小球、橢球、立方體或其他平面圖形。粒子的大小和形狀隨時(shí)間變化，其他性質(zhì)（如粒子透明度、顏色和移動(dòng)等）都隨機(jī)地變化。為模擬生長(zhǎng)和衰亡過(guò)程，每個(gè)粒子均被賦予一定的生命周期，它將經(jīng)歷出生、生長(zhǎng)和死亡的過(guò)程，不斷有舊的粒子消失，新的粒子加入。粒子系統(tǒng)的這些特征，使得它充分體現(xiàn)了不規(guī)則模糊物體的動(dòng)態(tài)性和隨機(jī)性，很好地模擬了火、云、水、隨風(fēng)搖曳的樹(shù)林和草叢等自然景象。

粒子系統(tǒng)生成景物的基本步驟如下：

（1）確定所描述對(duì)象的粒子團(tuán)的初始狀態(tài)，如起始位置、初速度、顏色及大小等；

（2）生成新的粒子并把它們加入到當(dāng)前的畫(huà)面中，并賦予每一新粒子一定的屬性，如位置、形狀、大小、顏色、透明度、運(yùn)動(dòng)速度、生命周期等；

（3）刪除那些已經(jīng)超過(guò)其生命周期的粒子；

（4）根據(jù)粒子的動(dòng)態(tài)屬性對(duì)每一存在粒子進(jìn)行變換；

（5）繪制并顯示當(dāng)前存活的粒子。

為表達(dá)粒子系統(tǒng)的隨機(jī)性，Reeves采用一些非常簡(jiǎn)化的隨機(jī)過(guò)程來(lái)控制粒子在系統(tǒng)中的形狀、特征及運(yùn)動(dòng)。對(duì)每一粒子參數(shù)均確定其變化范圍，然后在該范圍內(nèi)隨機(jī)地確定它的值，而其變化范圍則由給定的均值和最大方差來(lái)確定，其基本表達(dá)式為

其中，Parameter代表粒子系統(tǒng)中的任一需隨機(jī)確定的參數(shù)，Rand（）為[-1，1]中的均勻隨機(jī)數(shù)函數(shù)，MeanParameter為該參數(shù)的均值，VarParameter為其方差。

為定義粒子的初始位置和運(yùn)動(dòng)方向，Reeves采用一個(gè)規(guī)則物體來(lái)描述粒子系統(tǒng)的基本生成形狀，如圖9.25所示。它定義了關(guān)于其局部坐標(biāo)系原點(diǎn)的一個(gè)區(qū)域，新產(chǎn)生的粒子則隨機(jī)地放置在該區(qū)域內(nèi)，并采用局部坐標(biāo)系的發(fā)射角來(lái)定義新粒子的初始運(yùn)動(dòng)方向。圖9.26為由粒子系統(tǒng)模型產(chǎn)生的圖形示例。

圖9.25粒子系統(tǒng)的設(shè)置

圖9.26粒子系統(tǒng)生成圖例

9.3計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)

傳統(tǒng)的動(dòng)畫(huà)是指將一系列靜止、獨(dú)立而又存在一定內(nèi)在聯(lián)系的畫(huà)面連續(xù)拍攝到電影膠片（用于電影播放）或錄像帶上（用于電視播放），再以一定的速度（電影為24幀/秒；電視PAL制為25幀/秒、美國(guó)NTSC制為30幀/秒）放映來(lái)獲得畫(huà)面上人或物運(yùn)動(dòng)的視覺(jué)效果。動(dòng)畫(huà)利用了人眼的視覺(jué)停留（視覺(jué)持續(xù)性、視覺(jué)殘像）特性，將單個(gè)的畫(huà)面連接成連續(xù)的動(dòng)作。動(dòng)畫(huà)的本質(zhì)是由相互關(guān)聯(lián)的一系列畫(huà)面所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

傳統(tǒng)的動(dòng)畫(huà)片（二維卡通動(dòng)畫(huà)片）大致制作過(guò)程如下：

（1）創(chuàng)意設(shè)計(jì):將故事情節(jié)拆分為梗概、腳本（即劇本，包括臺(tái)詞、對(duì)話、動(dòng)作、場(chǎng)景切換、時(shí)間分割，是故事詳細(xì)化的工作）、故事板（場(chǎng)景序列），如圖9.27所示。

（2）場(chǎng)景設(shè)計(jì):包括具體場(chǎng)景及演員動(dòng)作、音樂(lè)、布景、背景圖。

（3）音軌制作（聲道記錄）:動(dòng)作畫(huà)面制作前的錄音，以保證聲音、音樂(lè)與后面所作的畫(huà)面動(dòng)作保持同步。圖9.27動(dòng)畫(huà)的創(chuàng)意過(guò)程

（4）關(guān)鍵畫(huà)面（幀）繪制:由若干主筆動(dòng)畫(huà)師同時(shí)創(chuàng)作，分別畫(huà)不同的場(chǎng)面或不同的角色，工作量很大。

（5）中間畫(huà)面（幀）繪制:在兩個(gè)相鄰的關(guān)鍵畫(huà)面之間插入的能形成動(dòng)作序列的若干幅畫(huà)面稱為中間畫(huà)面。一般情況下，每一對(duì)關(guān)鍵幀之間需要3~5個(gè)中間幀。中間畫(huà)面繪制一般由輔助繪畫(huà)人員完成。

（6）靜電復(fù)制和墨水加描:將紙上的繪畫(huà)（用線條勾畫(huà)的草圖）靜電復(fù)制到醋酸纖維膠片（薄膜片）上，再用墨水描清楚。

（7）渲染、著顏色:在膠片圖上加上顏色等。

（８）檢查。

（9）拍攝:將背景以及按各層次放好的前景片按要求合成完整的場(chǎng)景，拍攝記錄在電影膠卷或錄像帶上。

（10）后期處理:包括剪輯、特技處理等。

9.3.1計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的應(yīng)用與發(fā)展

1.計(jì)算機(jī)在動(dòng)畫(huà)中所起的作用

較早時(shí)期，計(jì)算機(jī)的作用主要表現(xiàn)在幀的制作上。關(guān)鍵幀通過(guò)數(shù)字化采集方式得到，或者用交互式圖形編輯器生成，對(duì)于復(fù)雜的形體還可以通過(guò)編程來(lái)生成；插補(bǔ)幀不再由助理動(dòng)畫(huà)師和插補(bǔ)員來(lái)完成，而是利用計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成插補(bǔ)幀的制作，包括復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)也由計(jì)算機(jī)直接完成。

隨著三維造型技術(shù)和計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)的作用體現(xiàn)在建模、著色、拍攝和后期制作等方面。在建模方面，場(chǎng)景中的人或物的形態(tài)可由計(jì)算機(jī)生成；在著色方面，畫(huà)面圖像通過(guò)交互式計(jì)算機(jī)系統(tǒng)由用戶選擇顏色，指定著色區(qū)域，并由計(jì)算機(jī)完成著色工作；在拍攝方面，用計(jì)算機(jī)控制攝像機(jī)的運(yùn)動(dòng)，也可用編程的方法形成虛擬攝像機(jī)模擬攝像機(jī)的運(yùn)動(dòng)（即用視點(diǎn)代替攝像機(jī)，讓視點(diǎn)運(yùn)動(dòng)即可）；在后期制作階段，用計(jì)算機(jī)完成畫(huà)面編輯和聲音合成。

2.計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的應(yīng)用

絕大部分計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)要求有真實(shí)感，因而對(duì)對(duì)象、場(chǎng)景及動(dòng)畫(huà)過(guò)程的精確描述和模擬是評(píng)價(jià)計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)技術(shù)的重要指標(biāo)。但在一些科學(xué)和工程研究中（如模擬分子運(yùn)動(dòng)、化學(xué)反應(yīng)、結(jié)構(gòu)在載荷下的變形等），動(dòng)畫(huà)真實(shí)感并不是目標(biāo)，它只是幫助研究人員理解事物的變化過(guò)程。

計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的主要應(yīng)用如下：

（1）影視的動(dòng)畫(huà)制作。

（2）電腦游戲制作。

（3）商業(yè)廣告制作。

（4）訓(xùn)練模擬。

軍事作戰(zhàn)模擬系統(tǒng)、各類駕駛員訓(xùn)練系統(tǒng)中的虛擬場(chǎng)景都采用計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)實(shí)現(xiàn)，如圖9.28所示的飛行模擬。

圖9.28飛行模擬

（5）建筑裝潢設(shè)計(jì)。隨著VR/AR技術(shù)的發(fā)展，照片式效果圖將會(huì)被三維漫游動(dòng)畫(huà)所替代，漫游使人有身臨其境的感覺(jué)，如圖9.29所示。

（6）工程、教育領(lǐng)域。例如，過(guò)程監(jiān)控（火箭、衛(wèi)星、飛船等的發(fā)射運(yùn)行）、虛擬制造（加工和裝配模擬）、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)等都應(yīng)用了計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)。圖9.29三維漫游

3.計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的基本制作過(guò)程

同傳統(tǒng)動(dòng)畫(huà)一樣，無(wú)論二維還是三維動(dòng)畫(huà)，其制作過(guò)程基本相同。大致可分為五個(gè)階段：

（1）腳本設(shè)計(jì)。根據(jù)動(dòng)畫(huà)目的和具體要求進(jìn)行創(chuàng)意，形成動(dòng)畫(huà)制作的腳本。

（2）素材處理。將外部各種形式的資料（包括造型來(lái)源和圖像來(lái)源）輸送給計(jì)算機(jī)，然后利用各種造型系統(tǒng)進(jìn)行造型、材質(zhì)、用光等動(dòng)畫(huà)素材的精心創(chuàng)建。

（3）設(shè)置運(yùn)動(dòng)方式。目前設(shè)置運(yùn)動(dòng)的方式很多，如三維動(dòng)畫(huà)就有關(guān)鍵幀法、插值法、變形法、關(guān)節(jié)法等。

（4）動(dòng)畫(huà)生成。就是將動(dòng)畫(huà)處理成一系列單幀圖像或一個(gè)動(dòng)畫(huà)文件，并經(jīng)過(guò)反復(fù)的動(dòng)畫(huà)演示、調(diào)試，最后進(jìn)行圖像處理、動(dòng)畫(huà)合成。

（5）動(dòng)畫(huà)錄制。就是將制作好的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)錄制到諸如錄像帶、光盤(pán)等這樣的外存儲(chǔ)器上。這個(gè)過(guò)程往往需要用一些壓縮方法。

4.計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的發(fā)展

影視制作方面突破性的發(fā)展將是計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的發(fā)展方向，主要包括如下幾方面：

（1）虛擬演員（主持人）。

美國(guó)沃爾特·迪斯尼公司曾預(yù)言:21世紀(jì)的明星將是一個(gè)聽(tīng)話的計(jì)算機(jī)程序，它們不再要求成百上千萬(wàn)美元的報(bào)酬或頭牌位置?！奥?tīng)話的計(jì)算機(jī)程序”就是虛擬角色，也稱為虛擬演員（主持人）。虛擬演員（主持人）廣義上包含兩層含義:一是用電腦處理手法可使已故著名影星“起死回生”；二是完全由電腦塑造電影明星，如《蟻哥正傳》中的蟻哥、《最終幻想》中的艾琪。

（2）交互式電影。

虛擬現(xiàn)實(shí)是交互式電影的實(shí)現(xiàn)途徑。交互式電影由觀眾親涉其中，控制角色的舉動(dòng)，從而對(duì)場(chǎng)景產(chǎn)生互動(dòng)效果。

（3）文景轉(zhuǎn)換。

文景轉(zhuǎn)換，即文字到場(chǎng)景的轉(zhuǎn)換。以前采用程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言編程制作，今后面向動(dòng)畫(huà)師的是界面良好的交互式系統(tǒng)，該系統(tǒng)是基于自然語(yǔ)言描述腳本的人工智能動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)，可用計(jì)算機(jī)自動(dòng)產(chǎn)生動(dòng)畫(huà)。

9.3.2計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)的實(shí)現(xiàn)方式

1.幀動(dòng)畫(huà)

幀動(dòng)畫(huà)是指由計(jì)算機(jī)生成動(dòng)畫(huà)中的每一幀畫(huà)面并將其記錄下來(lái)，然后根據(jù)不同的需要，按不同的速度播映（如電影24幀/秒，電視25幀/秒或30幀/秒）。幀動(dòng)畫(huà)也稱為全屏幕動(dòng)畫(huà)或頁(yè)動(dòng)畫(huà)，如Pro/E中的關(guān)鍵幀動(dòng)畫(huà)。

幀動(dòng)畫(huà)主要采用存儲(chǔ)畫(huà)面重放技術(shù)，將所定義的一系列經(jīng)少量修改的動(dòng)畫(huà)圖形存儲(chǔ)在內(nèi)存緩沖區(qū)中，然后根據(jù)需要和動(dòng)畫(huà)顯示順序?qū)⑺鼈円灰徽{(diào)出，送入指定位置并顯示。

幀動(dòng)畫(huà)通常用于復(fù)雜的、需要整體投影的三維模型。因?yàn)槿S模型的復(fù)雜程度只影響到相應(yīng)畫(huà)面的生成時(shí)間，不影響生成后畫(huà)面的播放速度，因此無(wú)論三維模型多么復(fù)雜，幀動(dòng)畫(huà)都可以按令人滿意的速度實(shí)現(xiàn)。

幀動(dòng)畫(huà)的優(yōu)點(diǎn)是重放快，缺點(diǎn)是占用內(nèi)存多。

2.位圖傳輸動(dòng)畫(huà)

位圖傳輸動(dòng)畫(huà)捕獲或指定顯示緩沖區(qū)中的一個(gè)映射區(qū)域的位圖數(shù)據(jù)，然后移動(dòng)到顯示緩沖區(qū)的另一個(gè)位置，從而得到動(dòng)畫(huà)效果。位圖傳輸動(dòng)畫(huà)也稱為塊圖形動(dòng)畫(huà)、部分屏幕動(dòng)畫(huà)或拱形動(dòng)畫(huà)。位圖傳輸動(dòng)畫(huà)可以保護(hù)背景圖案，使用按位異或邏輯運(yùn)算（XOR）可實(shí)現(xiàn)前景圖形的擦除，這種技術(shù)節(jié)省了重畫(huà)背景圖像所需的時(shí)間和內(nèi)存。例如，C語(yǔ)言中的獲取位圖的函數(shù)getimage（x1，y1，x2，y2，fname）和顯示位圖的函數(shù)putimage（x，y，fname，op）配合起來(lái)可以實(shí)現(xiàn)位圖傳輸動(dòng)畫(huà)。

3.實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)

實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)是指可實(shí)時(shí)繪制畫(huà)面并直接在屏幕上顯示畫(huà)面的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)。在實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)過(guò)程中，CPU的時(shí)間劃分為圖像生成時(shí)間和圖像顯示時(shí)間兩部分。

實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)也稱為動(dòng)態(tài)頁(yè)轉(zhuǎn)換動(dòng)畫(huà)，它至少需要兩個(gè)圖形頁(yè)面（頁(yè)面即存儲(chǔ)區(qū)域，規(guī)格與顯示緩存一樣），如OpenGL就有兩個(gè)緩存。其中一個(gè)頁(yè)面稱為主顯示頁(yè)，其余頁(yè)面稱為圖形工作頁(yè)（虛屏）。顯示器總是顯示主顯示頁(yè)面上的圖形。在主顯示頁(yè)面顯示的同時(shí)，下一幅圖形可產(chǎn)生并放置在工作頁(yè)面上，主頁(yè)面顯示完后，再把工作頁(yè)面切換成主頁(yè)面，如此交替反復(fù)進(jìn)行，產(chǎn)生動(dòng)畫(huà)效果?？梢圆捎貌⑿刑幚砑夹g(shù)，同時(shí)生成多個(gè)畫(huà)面以加快畫(huà)面的生成速度，實(shí)現(xiàn)顯示和生成圖形的同步進(jìn)行。

實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)與幀動(dòng)畫(huà)、位圖傳輸動(dòng)畫(huà)的區(qū)別在于，幀動(dòng)畫(huà)、位圖傳輸動(dòng)畫(huà)在啟動(dòng)（播映）動(dòng)畫(huà)序列之前已繪制或保存好所有必需的圖形，而實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)的圖形是計(jì)算機(jī)實(shí)時(shí)繪制的，因此它與電影和動(dòng)畫(huà)片這種事先做好圖像再進(jìn)行播映的動(dòng)畫(huà)原理也是不同的。

實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)的優(yōu)點(diǎn)是生成圖形靈活，并可隨時(shí)改變動(dòng)畫(huà)序列的播映次序而具有交互性。缺點(diǎn)是速度較慢，因?yàn)榧纫蓤D形，又要顯示圖形。

9.3.3計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)的類型

計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)類型的分類方法如下：

按照畫(huà)面中的場(chǎng)景模型是二維的還是三維的，相應(yīng)地把計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)（軟件）分為二維動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)（軟件）和三維動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)（軟件）。二維動(dòng)畫(huà)軟件如Flash網(wǎng)頁(yè)動(dòng)畫(huà)（Macromedia公司）、Firework、AnimatorStudio、Animo、Retas等，三維動(dòng)畫(huà)軟件如3DSMax（Autodesk公司）、Softimage3D（Microsoft公司）、Maya3D（SGI公司）、Lightwave3D、C4D（MaxonComputer公司）等，C4D目前被認(rèn)為是影視制作的首選軟件。

按照畫(huà)面是事先繪制好還是實(shí)時(shí)繪制，相應(yīng)地把計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)（軟件）分為逐幀動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)和實(shí)時(shí)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)。

按照功能層次劃分，計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)分為圖9.30所示的五級(jí)系統(tǒng)，一級(jí)功能最簡(jiǎn)單，五級(jí)功能最復(fù)雜。依據(jù)圖9.30所示的計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)的功能層級(jí)，計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)技術(shù)分為計(jì)算機(jī)輔助動(dòng)畫(huà)制作技術(shù)和計(jì)算機(jī)模型動(dòng)畫(huà)制作技術(shù)兩大類。

計(jì)算機(jī)輔助動(dòng)畫(huà)制作技術(shù)主要是用計(jì)算機(jī)輔助人工的動(dòng)畫(huà)制作，包括關(guān)鍵畫(huà)面的錄入、中間畫(huà)面的自動(dòng)生成、著色、后期制作等，圖9.30中的一級(jí)、二級(jí)系統(tǒng)都采用計(jì)算機(jī)輔助動(dòng)畫(huà)制作技術(shù)。

計(jì)算機(jī)模型動(dòng)畫(huà)制作技術(shù)主要是利用二維或三維圖形模型來(lái)生成動(dòng)畫(huà)所需的畫(huà)面圖形，圖9.30中的三級(jí)、四級(jí)都采用計(jì)算機(jī)模型動(dòng)畫(huà)制作技術(shù)。未來(lái)的五級(jí)系統(tǒng)就是基于知識(shí)的智能動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)，它以模型動(dòng)畫(huà)技術(shù)為基礎(chǔ)，把知識(shí)處理技術(shù)應(yīng)用到模型動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)中，使動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)的處理接近于人的行為。

圖9.30計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)系統(tǒng)的層級(jí)

9.3.4畫(huà)面生成與動(dòng)畫(huà)建模技術(shù)

1.關(guān)鍵幀技術(shù)

關(guān)鍵幀技術(shù)直接來(lái)源于傳統(tǒng)的動(dòng)畫(huà)制作，出現(xiàn)在畫(huà)面中的一段連續(xù)畫(huà)面其實(shí)是由一系列靜止畫(huà)面表現(xiàn)的，制作時(shí)并不需逐幀繪制，只需選出少數(shù)幾幀畫(huà)面繪制，這幾幀畫(huà)面一般出現(xiàn)在動(dòng)作變化的轉(zhuǎn)折處，對(duì)這段連續(xù)動(dòng)作起著關(guān)鍵的控制作用，因此被稱為關(guān)鍵幀，然后根據(jù)關(guān)鍵幀，由計(jì)算機(jī)插畫(huà)出中間畫(huà)面。

如圖9.31，F(xiàn)和F′為兩個(gè)關(guān)鍵幀畫(huà)面，其余為插畫(huà)的中間畫(huà)面。

圖9.31關(guān)鍵幀與插補(bǔ)幀

關(guān)鍵幀技術(shù)中，關(guān)鍵幀的選取和插補(bǔ)算法的使用技巧是關(guān)鍵技術(shù)。對(duì)有兩個(gè)關(guān)鍵幀的情形，插補(bǔ)按線性進(jìn)行，如果關(guān)鍵幀數(shù)目超過(guò)2，則要用高次多項(xiàng)式的擬合方法。對(duì)于圖9.31，假設(shè)F和F′曲線都是由四個(gè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)插值或逼近形成，則按第5章的方法，兩曲線可用適當(dāng)?shù)牟逯祷虮平瘮?shù)描述：

2.變形技術(shù)

計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)中另一種重要的運(yùn)動(dòng)控制方式是變形技術(shù)，包括二維和三維變形。二維變形針對(duì)圖像，三維變形針對(duì)物體。

圖像Morph變形是一種常用的二維動(dòng)畫(huà)技術(shù)。圖像本身的變形稱為Warp，它首先定義圖像的特征結(jié)構(gòu)（圖像的特征結(jié)構(gòu)是指由點(diǎn)或結(jié)構(gòu)矢量構(gòu)成的對(duì)圖像框架描述的結(jié)構(gòu)），然后按特征結(jié)構(gòu)使圖像變形。兩幅圖像之間的插值變形稱為Morph，如羊變狐貍、奔跑的汽車變奔跑的老虎等就是圖像Morph。它是首先分別按特征結(jié)構(gòu)對(duì)兩幅原圖像作Warp操作，然后從不同的方向漸隱漸顯地得到兩個(gè)圖像系列，最后合成得到Morph結(jié)果。

三維物體的變形分為改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和不改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)兩類。其中三維Morph變形是指任意兩個(gè)三維物體之間的插值轉(zhuǎn)換，是改變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變形。變形的主要工作是建立起兩個(gè)三維物體之間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)系，并構(gòu)造三維Morph的插值路徑。三維Morph處理的對(duì)象是三維幾何體，并可以附加物體的物理特性描述。

圖9.32是對(duì)物體A、物體B按線性插值進(jìn)行的三維Morph，中間圖是參數(shù)t=0.2、0.4、0.6、0.8時(shí)的插值變形結(jié)果。這種三維Morph也稱為混合造型。

圖9.32三維Morph（混合造型）

設(shè)圖9.33所示線段上有三個(gè)控制點(diǎn)PL、PM、PR，其中PL、PR為兩端點(diǎn)，PM為中點(diǎn)，在兩端點(diǎn)之間由有限個(gè)點(diǎn)形成一組。下面分析在控制點(diǎn)的作用下，這組點(diǎn)是如何改變它們的位置的。這段線段上的任何一點(diǎn)P都能夠用系數(shù)k來(lái)表示：

圖9.33一維情形的FFD

P1、P2、P3為變形過(guò)程中的控制點(diǎn)，P2為中點(diǎn)，變形方程為二次Bézier曲線（對(duì)于圖9.33則退化為直線），由下式可得到P

的變形點(diǎn)P′的位置：

如果將式（9-7）代入式（9-8），就會(huì)發(fā)現(xiàn)P′=P，這說(shuō)明沒(méi)有點(diǎn)的移動(dòng)或變形發(fā)生。但是如果把中點(diǎn)位置P2向左或向右移動(dòng)Δx，經(jīng)過(guò)計(jì)算就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩端點(diǎn)之間的所有點(diǎn)也將向左或向右移動(dòng)；同樣，若改變兩端點(diǎn)的位置，中間所有點(diǎn)也隨之發(fā)生變化。由此可知，在原始線段上的點(diǎn)是拉伸還是壓縮取決于控制點(diǎn)的位置變化。

結(jié)論:式（9-8）為物體的變形方程，原物體上任一點(diǎn)用參數(shù)k表示，物體的變形通過(guò)調(diào)整控制點(diǎn)P1、P2、P3的位置使k對(duì)應(yīng)的點(diǎn)變形后為P′。

將一維分析方法擴(kuò)展到二維，便會(huì)得到二維情形的FFD。其變形方程為雙二次Bézier曲面（對(duì)于圖9.34則退化為平面），二維空間上變形點(diǎn)P′（x′，y′）的位置定義為

原物體上任一點(diǎn)用其參數(shù)（u，w）表示，u、w用８.8節(jié)的曲面片參數(shù)化方法求取。

圖9.34（a）為由3×3網(wǎng)格定義的平面及其特征網(wǎng)格。若移動(dòng)P22，平面將會(huì)發(fā)生圖9.34（b）中的變形，若移動(dòng)P33，平面就會(huì)發(fā)生圖9.34（c）中的變形。由此可以看出，二維情形的FFD類似一維情形，控制點(diǎn)控制著圖形的變形。

圖9.34二維情形的FFD

3.關(guān)節(jié)動(dòng)畫(huà)技術(shù)

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，有關(guān)人的動(dòng)畫(huà)一直是最困難和最具挑戰(zhàn)性的課題。這是因?yàn)?，常?guī)的數(shù)學(xué)和幾何模型不適合表現(xiàn)人體形態(tài)。人的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)尤其是引起關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的肌肉運(yùn)動(dòng)是十分難模擬的。目前模擬三維空間中的人體通常有三種模型（參見(jiàn)圖9.35）：

（1）基于線的模型。該模型用抽象的