專題15 觀察、猜想與證明題（解析版）

專題十五觀察、猜想與證明題一、單選題1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）一般地，如果（n為正整數(shù)，且），那么x叫做a的n次方根，下列結(jié)論中正確的是（

）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是C．當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小 D．當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而增大【答案】C【分析】根據(jù)題意n次方根，列舉出選項(xiàng)中的n次方根，然后逐項(xiàng)分析即可得出答案．【詳解】A.，16的4次方根是，故不符合題意；B.，，32的5次方根是2，故不符合題意；C.設(shè)則且當(dāng)n為奇數(shù)時，2的n次方根隨n的增大而減小，故符合題意；D.由的判斷可得：錯誤，故不符合題意．故選．（2021秋·江蘇鹽城·九年級階段練習(xí)）如圖，是一組按照某種規(guī)律擺放成的圖案，則圖5中三角形的個數(shù)是()A．8 B．9 C．16 D．17【答案】C【詳解】分析：由圖可知：第一個圖案有三角形1個；第二圖案有三角形4個；第三個圖案有三角形4+4=8個；第四個圖案有三角形4+4+4=12個；第五個圖案有三角形4+4+4+4=16個．故選C．3．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期中）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計(jì)算tan15°時，如圖．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．類比這種方法，計(jì)算tan22.5°的值為（）A． B．﹣1 C． D．【答案】B【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，根據(jù)構(gòu)造的直角三角形，設(shè)AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.【詳解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延長CB到D，使BD＝AB，連接AD，設(shè)AC＝x，則：BC＝x，AB＝，CD＝，故選：B.4．（2021·江蘇·九年級專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，我們把兩條直線相交將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，三條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，四條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為條直線兩兩相交最多將平面分得的區(qū)域數(shù)記為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線相交得到交點(diǎn)個數(shù)的規(guī)律，再利用裂項(xiàng)法進(jìn)行有理數(shù)的運(yùn)算即可解題．【詳解】根據(jù)題意得，2條直線最多將平面分成4個區(qū)域，3條直線最多將平面分成7個區(qū)域，4條直線最多將平面分成11個區(qū)域，5條直線最多將平面分成16個區(qū)域則，，，經(jīng)檢驗(yàn)n=20是原方程的根故選：C．5．（2020春·江蘇鎮(zhèn)江·九年級?？茧A段練習(xí)）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：一、當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n＋5；二、當(dāng)n為偶數(shù)時,結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取n＝58,第一次經(jīng)F運(yùn)算是29,第二次經(jīng)F運(yùn)算是92,第三次經(jīng)F運(yùn)算是23,第四次經(jīng)F運(yùn)算是74……，若n＝449,求第2020次運(yùn)算結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【分析】設(shè)449經(jīng)過次運(yùn)算結(jié)果為，根據(jù)運(yùn)算規(guī)則求出部分、、……的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)449經(jīng)過次運(yùn)算結(jié)果為，則，，，，，，，，且為整數(shù)）．∵2020為偶數(shù)，．故選：A6．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）觀察規(guī)律，運(yùn)用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點(diǎn)作軸的垂線，交的圖象于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得：，，則可得，則可得，再利用，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】∵過點(diǎn)的垂線，交的圖象于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)；∴令x=n，可得∶縱坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，，，．，．故選D．二、解答題7．（2022秋·江蘇·九年級期中）閱讀理解：轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想之一．在研究新問題或復(fù)雜問題時，常常把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或比較簡單的問題來解決．如解一元二次方程是轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解決的；解分式方程是轉(zhuǎn)化為整式方程來解決的．由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．利用轉(zhuǎn)化思想，我們還可以解一些新的方程，如無理方程（根號下含有未知數(shù)的方程）．解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，可以將方程適當(dāng)變形后兩邊同時平方，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．由于“去根號”可能產(chǎn)生增根，所以解無理方程也必須檢驗(yàn)．例如：解方程解：兩邊平方得：解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，代入原方程中不合理，是原方程的增根．∴原方程的根是．解決問題：（1）填空：已知關(guān)于x的方程有一個根是，那么a的值為；（2）求滿足的x的值；（3）代數(shù)式的值能否等于8?若能，求出的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)方程解的定義把x=1代入方程，解關(guān)于a的無理方程即可；（2）類比提供的例題解方程，并檢驗(yàn)即可求解；（3）將原方程變形為，兩邊平方，整理，再平方，得到此方程無解，得出結(jié)論即可．【詳解】解：（1）把x=1代入方程得，兩邊平方得3-a=1，解得a=2，經(jīng)檢驗(yàn)，a=2是方程的解，故答案為：a=2；（2）兩邊平方得：解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根∴原方程的根是x=3；（3）不能．，原方程變形得，兩邊平方得整理得，兩邊平方得，此方程無解，∴代數(shù)式的值不等于8．8．（2019秋·江蘇揚(yáng)州·九年級?？计谥校╅喿x材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值．解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0，又∵pq≠1，∴p≠．∵1﹣q﹣q2＝0可變形為﹣1＝0，根據(jù)p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征，∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則p+，即．根據(jù)閱讀材料所提供的方法，完成下面的解答．已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求：（1）mn的值；（2）．【答案】(1)；29．【分析】（1）由題意可知：可以將方程化簡為的形式，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系直接得：的值；（2）將變形為求解．【詳解】解：由知m≠0，∴，∵，m≠n，∴，∴和是方程的兩個根，（1）由和是方程的兩個根得，∴；經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，且符合題意．（2）由和是方程的兩個根得，，∴．9．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）閱讀材料，并回答問題：小亮在學(xué)習(xí)分式過程中，發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用“類比”的方法，達(dá)成事半功倍的學(xué)習(xí)效果，比如學(xué)習(xí)異分母分式加減可以類比異分母分?jǐn)?shù)的加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式加減進(jìn)行運(yùn)算，解分式方程可以類比有分母的一元一次方程，先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解；比較分式的大小，可以類比整式比較大小運(yùn)用的“比差法”……問題：（1）材料中分式“通分”的依據(jù)是；“將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程”的“去分母”的依據(jù)是；（2）類比解分式方程的思想方法，解方程：；（3）數(shù)學(xué)家斐波那契編寫的《算經(jīng)》中有如下問題：甲、乙兩組人各自平分錢，已知兩組人數(shù)相同，相關(guān)信息如表：組別人數(shù)（人）總金額（元）甲乙試比較甲乙兩組哪組人均分的錢多？【答案】（1）分式的基本性質(zhì)；等式的基本性質(zhì)；（2）；（3）甲組【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)解答即可；（2）先將原方程兩邊平方轉(zhuǎn)化成整式方程，再求一元一次方程的解，最后必須檢驗(yàn)；(3）設(shè)甲、乙各有人，列代數(shù)式，通過分式相減與0的關(guān)系，易判斷甲組均分的錢多.【詳解】解：（1）分式的分子、分母都乘同一個不為0的整式，分式的值不變（或分式的基本性質(zhì)）；等式的兩邊都乘同一個數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式（或等式的基本性質(zhì)）；（2）方程兩邊平方，得1-2x=9，

經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解；（3）由甲、乙兩組人數(shù)相同，設(shè)兩組各有人，則甲組均分元，乙組均分元.>0,所以甲組人均分的錢多.10．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀下面的材料：如果函數(shù)滿足：對于自變量的取值范圍內(nèi)的任意，，（1）若，都有，則稱是增函數(shù)；（2）若，都有，則稱是減函數(shù)．例題：證明函數(shù)是減函數(shù)．證明：設(shè)，．∵，∴，．∴．即．∴．∴函數(shù)是減函數(shù)．根據(jù)以上材料，解答下面的問題：已知函數(shù)，，（1）計(jì)算：，；（2）猜想：函數(shù)是函數(shù)（填“增”或“減”）；（3）請仿照例題證明你的猜想．【答案】（1），；（2）增；（3）函數(shù)是增函數(shù)，證明猜想見解析.【分析】根據(jù)題目中函數(shù)解析式代入自變量值可以解答本題；由結(jié)論可得；根據(jù)題目中例子的證明方法可以證明中的猜想成立．【詳解】解：（1）∵，∴，故答案為，（2）∵，∴函數(shù)是增函數(shù)故答案為增（3）設(shè)，∵∵，∴，，∴∴∴函數(shù)是增函數(shù).11．（2020·江蘇·九年級專題練習(xí)）【閱讀理解】用的矩形瓷磚，可拼得一些長度不同但寬度均為的圖案．已知長度為、、的所有圖案如下：【嘗試操作】(1)如圖，將小方格的邊長看作，請?jiān)诜礁窦堉挟嫵鲩L度為的所有圖案．【歸納發(fā)現(xiàn)】(2)觀察以上結(jié)果，探究圖案個數(shù)與圖案長度之間的關(guān)系，將下表補(bǔ)充完整．圖案的長度所有不同圖案的個數(shù)【答案】(1)見解析；(2)5，8，13.【分析】(1)根據(jù)已知條件作圖可知時，所有圖案個數(shù)5個；(2)推出長度為50cm時的所有圖案，繼而根據(jù)已知猜想60cm時所有圖案的個數(shù)即可.【詳解】(1)如圖：根據(jù)作圖可知時，所有圖案個數(shù)5個；(2)時，如圖所示，所有圖案個數(shù)8個；同理，時，所有圖案個數(shù)13個，故答案為5，8，13.12．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，我們規(guī)定菱形與正方形，矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”，在研究“接近度”時，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等.（1）設(shè)菱形相鄰兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為，，將菱形的“接近度”定義為，于是越小，菱形越接近正方形.①若菱形的一個內(nèi)角為，則該菱形的“接近度”為_________；②當(dāng)菱形的“接近度”等于_________時，菱形是正方形；（2）設(shè)矩形的長和寬分別為，，試寫出矩形的“接近度”的合理定義.【答案】（1）①；②；（2）根據(jù)矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”，定義矩形“接近度”為，越小，矩形越接近正方形.【分析】（1）①根據(jù)求出，再利用求得“接近度”；②由正方形的內(nèi)角是90，得到=0時菱形是正方形；（2）矩形的兩邊越接近相等時，矩形越接近正方形，由此得到矩形“接近度”的含義.【詳解】（1）①∵是菱形，∴，若，則，∴該菱形的“接近度”為=20，故答案為：20；②∵正方形的內(nèi)角是90，∴，∴=0時，菱形是正方形；（2）矩形“接近度”的合理定義為：根據(jù)矩形與正方形的接近程度稱為“接近度”，定義矩形“接近度”為，越小，矩形越接近正方形.13．（2021秋·江蘇常州·九年級常州市北郊高級中學(xué)?？计谥校┪覀冎?，解一元二次方程，可以把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解，其實(shí)用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想我們還可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，通過解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）用“轉(zhuǎn)化”的思想求方程＝x的解．（3）試直接寫出的解．【答案】（1）1,-2；（2）3；（3），．【分析】（1）根據(jù)題意對方程進(jìn)行因式分解即可求出的值.（2）先把等號左右兩邊同時平方，去掉根號，然后進(jìn)行因式分解即可.（3）將用平方差公式拆成與組成兩個二元一次方程組，解方程組即可.【詳解】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0∴x（x2+x﹣2）＝0，∴x（x﹣1）（x+2）＝0則x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，故答案為1，-2；（2）∵＝x，∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0則x+1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣1（舍去，不合題意），x2＝3．（3）∵，∴或，解得，．故答案為，．14．（2019·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┪覀儼褍蓷l中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，，是的中線，，垂足為．像這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)，，．特例探索：（1）①如圖1，當(dāng)，時，_________，________；②如圖2，當(dāng)，時，求和的值．歸納證明：（2）請你觀察（1）中的計(jì)算結(jié)果，猜想三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：在邊長為3的菱形中，為對角線，的交點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，連接，并延長交于點(diǎn)，，分別交于點(diǎn)，，如圖4所示，求的值．【答案】（1）①，；②，；（2）；（3）【分析】（1）①在圖1中，連接EF，三角形中位線定理和相似得到，，根據(jù)等腰直角三角形可得，利用勾股定理即可求解；②在圖2中，根據(jù)含30°直角三角形可得，，利用勾股定理即可求解.（2）三角形中位線定理和相似得到，，結(jié)合勾股定理，即可求解；（3）證明：，，則，即可求解．【詳解】解：如圖1、2、3、4，連接，則是的中位線，則，，，①，（1）如圖1，在直角三角形能ABP中，，∴，；②在圖2中，在直角三角形能ABP中，，,∴則，；（2）關(guān)系為：，證明：如圖3，由①得：，，則；（3）在菱形中,分別為線段，的中點(diǎn)，，，則，同理，，，，，，，同理：，則．15．（2022秋·江蘇·九年級期中）閱讀材料：各類方程的解法：求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式，求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解；類似的，三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)．各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）問題：方程的解是：=0，=______，=_______；（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解；（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD=21m，寬AB=8m，點(diǎn)P在AD上（AP＞PD），小華把一根長為27m的繩子一段固定在點(diǎn)B，把長繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，再拉直，長繩的另一端恰好落在點(diǎn)C，求AP的長．【答案】（1）；；（2）x=3；（3）15【分析】（1）首先提出2x，然后因式分解多項(xiàng)式，然后得結(jié)論；（2）兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解，注意驗(yàn)根；（3）設(shè)AP的長為xm，根據(jù)勾股定理和BP+CP=27，可列出方程，由于方程含有根號，兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解即可．【詳解】（1）∴或或故答案為：-3，；（2）=x，方程的兩邊平方，得2x+3=x2，即x2-2x-3=0，（x-3）（x+1）=0，∴x-3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=-1，當(dāng)x=-1時，，所以-1不是原方程的解．所以方程=x的解是x=3；（3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以∠A=∠D=90°，AB=CD=8m，設(shè)AP=xm，則PD=（21-x）m，因?yàn)锽P+CP=27，BP=，CP=，∴，∴，兩邊平方，得整理，得兩邊平方并整理，得解得或6（不合題意，舍去此時AP<PD）經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是方程的解．答：AP的長為15m．三、填空題16．（2021·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）有15袋糖果，其中14袋同樣重，有一袋少了2顆，質(zhì)量稍輕，如果用天平稱，至少稱______次才能保證找出這袋稍輕的糖果.【答案】3【分析】根據(jù)題意，首先把15袋糖果平均分成三組，每組5袋，把任意的兩組稱第一次，找到較輕的一組，然后把這組分成2袋，2袋，1袋的三組，把相同袋數(shù)的兩組稱第二次，找到較輕的那組，若同樣重則剩下的那袋即為少了2顆的那袋，若不一樣重，則還需要找到較輕的那組中的兩袋稱第三次，即可最終確保找到少了2顆的那袋.【詳解】首先把15袋糖果平均分成三組，每組5袋，把少了兩顆的那袋記作A，把其中任意兩組放在天平上稱第一次，此時若平衡，則可判斷A在沒稱的那一組，若此時不平衡，則可判斷A在稱量兩組中較輕的一組；然后把可判斷出A的一組中的5袋，繼續(xù)分成2袋，2袋，1袋這樣的a，b，c三組，此時把a(bǔ)組和b組放天平稱第二次，若平衡，則A就是c組里面的這袋，若不平衡，則A在a組和b組中較輕的那組中，因?yàn)榇藭r出現(xiàn)兩種情況，只有在平衡的情況才能找到A，所以要進(jìn)行第三次稱量，第三次只要把上一次稱量較輕那組中的兩袋分開稱，則較輕的為A.所以至少需要稱量3次.故答案為317．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）像＝x這樣的方程，可以通過方程兩邊平方把它轉(zhuǎn)化為2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于兩邊平方，可能產(chǎn)生增根，所以需要檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x1＝3時，＝3滿足題意；當(dāng)x2＝﹣1時，＝﹣1不符合題意；所以原方程的解是x＝3．運(yùn)用以上經(jīng)驗(yàn)，則方程x+＝1的解為_____．【答案】x＝﹣1【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)將x移到等號右邊，再平方，可得一元二次方程，根據(jù)解一元二次方程，可得答案．【詳解】解：將x移到等號右邊得到：＝1﹣x，兩邊平方，得x+5＝1﹣2x+x2，解得x1＝4，x2＝﹣1，檢驗(yàn)：x＝4時，4+＝5，左邊≠右邊，∴x＝4不是原方程的解，當(dāng)x＝﹣1時，﹣1+2＝1，左邊＝右邊，∴x＝﹣1是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣1，故答案為：x＝﹣1．18．（2023·江蘇揚(yáng)州·聯(lián)考一模）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數(shù)字之和都是15，則a的值為____________．【答案】2【分析】設(shè)處第一行第一列、第三列第三行、對角線上的未知量