專題3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）【六大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

專題3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】 1【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】 2【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】 4【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】 5【題型5“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】 6【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】 8【知識點1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的應(yīng)用】1．實際問題中函數(shù)建模的基本步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)求解：根據(jù)實際問題所需要解決的目標(biāo)及函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征正確求得函數(shù)模型的解.

(4)還原：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科背景又要符合實際背景，因此解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗、評判，最后得出結(jié)論，作出回答.2．一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)模型：f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0).一次函數(shù)是常見的一種函數(shù)模型，在初中就已接觸過.3．二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型：f(x)=+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0).

二次函數(shù)為生活中常見的一種數(shù)學(xué)模型，因二次函數(shù)可求其最大值(或最小值)，故最優(yōu)、最省等最值問題常用到二次函數(shù)模型.【題型1一次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例1】（2022秋·福建泉州·高一?？计谥校难b滿10升純酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水將容器加滿，再倒出2升酒精溶液，再用水將容器加滿，照這樣的方法繼續(xù)下去，設(shè)倒完第k次后，前k次共倒出純酒精x升，倒完第k+1次后，前k+1次共倒出純酒精fx升，則fx的解析式是（

）A．fx=45x+2 B．f【變式1-1】（2022秋·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí)）一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，則它的解析式為（

）A．y=20-2x BC．y=20-2x(5≤【變式1-2】（2023春·福建·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司市場營銷部員工的個人月收入與月銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其對應(yīng)關(guān)系如圖所示.由圖示信息可知，月銷售量為3百件時員工的月收入是（）A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【題型2二次函數(shù)模型的應(yīng)用】【例2】（2023春·廣東廣州·高一校考期中）某學(xué)校因為學(xué)生活動區(qū)域緊張，為了更好的為學(xué)生提供活動場地，決定在一塊長AM=300米，寬AN=200米的矩形地塊AMPN上施工，規(guī)劃建設(shè)占地如圖中矩形ABCD的學(xué)生活動中心，要求頂點C在地塊的對角線MN上，B、D分別在邊AM、AN上，假設(shè)AB長度為x

(1)要使矩形活動區(qū)域ABCD的面積不小于14400平方米，AB的長度應(yīng)在什么范圍？(2)長度AB和寬度AD分別為多少米時矩形活動區(qū)域ABCD的面積最大？最大值是多少平方米？【變式2-1】（2023·高一課時練習(xí)）小明同學(xué)想知道自家煤氣灶旋鈕放到什么位置時，燒開一壺水最省燃?xì)?，于是通過實驗統(tǒng)計了旋鈕的轉(zhuǎn)角為18°、36°、54°、72°、90°時，燒開一壺水所耗燃?xì)馇闆r：旋鈕的轉(zhuǎn)角（單位：度）1836547290所耗燃?xì)饬浚▎挝唬簃30.1300.1220.1390.1490.172請選擇合適的函數(shù)模擬擬合以上數(shù)據(jù)，由此計算：旋鈕的轉(zhuǎn)角為多少度時，燒開一壺水所耗然氣最少？最少燃?xì)鉃槎嗌倭⒎矫?？【變?-2】（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）某蔬菜種植基地共有蔬菜種植大棚100個，用于種植普通蔬菜，平均每個大棚年收入為10萬元．為適應(yīng)市場需求，提高收益，決定調(diào)整原種植方案，將x(10≤x≤32,x∈(1)當(dāng)m=20時，要使蔬菜種植大棚全年總收入不少于原來的140%，求(2)當(dāng)22<m【變式2-3】（2023秋·北京西城·高一統(tǒng)考期末）某商貿(mào)公司售賣某種水果．經(jīng)市場調(diào)研可知：在未來20天內(nèi)，這種水果每箱的銷售利潤r（單位：元）與時間t（1≤t≤20,t∈N，單位：天）之間的函數(shù)關(guān)系式為r=1(1)求第幾天的日銷售利潤最大？最大值是多少？(2)在未來的這20天中，在保證每天不賠本的情況下，公司決定每銷售1箱該水果就捐贈mm∈N*元給“精準(zhǔn)扶貧”對象，為保證銷售積極性，要求捐贈之后每天的利潤隨時間【知識點2冪函數(shù)模型的應(yīng)用】1．冪函數(shù)模型的應(yīng)用冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略

(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式.

(2)根據(jù)題意，直接列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.【題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則A．14 B．12 C．23【變式3-1】（2023秋·高一課時練習(xí)）上海市為抑制房價，2011年準(zhǔn)備新建經(jīng)濟(jì)適用房800萬m2，解決中低收入家庭的住房問題.設(shè)年平均增長率為x%，設(shè)2014年新建經(jīng)濟(jì)住房面積為ym2，則y關(guān)于A．y=800(1+3x%)(C．y=800(1+4x%)(【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為150億元，理財業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計每年總收入比前一年增加20億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，若要使得該公司2025年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的60%，則t的值至少為（

）A．52.4 B．53.6 C．62.4【知識點3分段函數(shù)模型的應(yīng)用】1．分段函數(shù)模型的應(yīng)用由于分段函數(shù)在不同區(qū)間上具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化前后的實際問題中具有廣泛的應(yīng)用.【題型4分段函數(shù)模型的應(yīng)用】【例4】（2022秋·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)一種化學(xué)產(chǎn)品的總成本y（單位：萬元）與生產(chǎn)量x（單位：噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=x3A．20噸 B．40噸 C．50噸 D．60噸【變式4-1】（2023·全國·高三對口高考）2005年10月27日全國人大通過了關(guān)于修改個人所得稅的決定，工薪所得減去費用標(biāo)準(zhǔn)從800元提高到1600元也就是說原來月收入超過800元部分就要納稅，2006年1月1日開始超過了1600元才需要納稅，若稅法修改前后超過部分的稅率相同，如下表：級數(shù)全月應(yīng)納稅所得額稅率%1不超過500元52500~2000元1032000~5000元15某人2005年9月交納個人所得稅123元，則按照新稅法只要交稅（

）元．A．43 B．2280 C．680 D．不能確定【變式4-2】（2023春·廣東河源·高二?？计谥校┰谝话闱闆r下，過江大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為90千米/小時；研究表明，當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．設(shè)當(dāng)車流密度x=x0時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/A．x0=100 B．x0=120 C．【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國在2020年9月22日在聯(lián)合國大會提出，二氧化碳排放力爭于2030年前實現(xiàn)碳達(dá)峰，爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）(x∈[120,500])之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y=13A．120 B．200 C．240 D．400【知識點4“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】1．“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用對勾函數(shù)模型是?？嫉哪Ｐ?，要牢記此類函數(shù)的性質(zhì)，尤其是單調(diào)性：y=ax+(a>0,b>0)，當(dāng)x>0時，在(0,]上遞減，在(,+)上遞增.另外，還要注意換元法的運用.【題型5“對勾”函數(shù)模型的應(yīng)用】【例5】（2022秋·河北邯鄲·高一?？计谥校┠彻S為提升品牌知名度進(jìn)行促銷活動，需促銷費用x（0<x≤a,a為常數(shù)）萬元，計劃生產(chǎn)并銷售某種文化產(chǎn)品（x+1）萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品需投入成本費用（x(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（注：利潤=銷售額-投入成本-促銷費用）(2)當(dāng)促銷費用投入多少萬元時，此工廠所獲得的利潤最大？最大利潤為多少？【變式5-1】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）喝酒不開車，開車不喝酒.若某人飲酒后，欲從相距45km的某地聘請代駕司機幫助其返程.假設(shè)當(dāng)?shù)氐缆废匏?0km/h.油價為每升8元，當(dāng)汽車以xkm/h的速度行駛時，油耗率為3+x2【變式5-2】（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域．計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/m2；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為80元(1)設(shè)總價為S（單位：元），AD長為x（單位：m），試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為何值時，S最??？并求出這個最小值．【變式5-3】（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）某廠家擬在2021年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查，該產(chǎn)品的年銷售量（即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）x（單位：萬件）與年促銷費用mm≥0（單位：萬元）滿足x=3-km+1（k為常數(shù)），如果不舉行促銷活動，該產(chǎn)品的年銷售量是1萬件．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬，每生產(chǎn)1(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤y（單位：萬元）表示為年促銷費用m的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷費用為多少萬元時，廠家的利潤最大？(3)若該廠家2021年的促銷費用不高于2萬元，則當(dāng)促銷費用為多少萬元時，該廠家的利潤最大？【題型6函數(shù)模型的綜合應(yīng)用】【例6】（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=12x(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利，如果獲利，最大利潤為多少元？【變式6-1】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)