2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案(修正版)-文檔

2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題第一試一．選擇題1．已知a＋b＝2，EQ\F((1－a)2,b)＋EQ\F((1－b)2,a)＝-4,則ab的值為()(A)1(B)-1(C)-eq\f(1,2)(D)eq\f(1,2)2.已知△ABC的兩條高線的長(zhǎng)分別為5和20,若第三條高線的長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條高線長(zhǎng)的最大值為()(A)5(B)6(C)7(D)83.方程│x2－1│＝(4－2eq\r(\s\do1(3)))(x＋2)的解的個(gè)數(shù)為()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)4.今有長(zhǎng)度分別為1，2，…，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個(gè)正方形，則這樣的“線段組”的組數(shù)有()(A)5組(B)7組(C)9組(D)11組5.如圖，菱形ABCD中，AB＝3，DF＝1，∠DAB＝60°，∠EFG＝15°，F(xiàn)G⊥BC，則AE＝()(A)1＋eq\r(\s\do1(2))(B)eq\r(\s\do1(6))(C)2eq\r(\s\do1(3))－1(D)1＋eq\r(\s\do1(3))6.已知EQ\F(1,x)＋EQ\F(1,y＋z)＝EQ\F(1,2),EQ\F(1,y)＋EQ\F(1,x＋z)＝EQ\F(1,3),EQ\F(1,z)＋EQ\F(1,x＋y)＝EQ\F(1,4)，則EQ\F(2,x)＋EQ\F(3,y)＋EQ\F(4,z)的值為()GABCDEF1(B)eq\f(3,2)(C)2(D)eq\f(5,2)GABCDEF二．填空題1.在△ABC中，已知∠B＝2∠A，BC＝2，AB＝2＋2eq\r(\s\do1(3))，則∠A＝．2.二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象的頂點(diǎn)為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正方向交于C點(diǎn)，若△ABD和△OBC均為等腰直角三角形（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則b＋2c＝．3.能使2n＋256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為．4.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓的切線與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，如果DE＝EQ\F(3,4)CE，AC＝8eq\r(\s\do1(5))，D為EF的中點(diǎn)，則AB＝．OOABCDEF第二試1.已知三個(gè)不同的實(shí)數(shù)a,b,c滿足a－b＋c＝3，方程x2＋ax＋1＝0和x2＋bx＋c＝0有一個(gè)相同的實(shí)根，方程x2＋x＋a＝0和x2＋cx＋b＝0也有一個(gè)相同的實(shí)根．求a,b,c的值．2.如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)S，且DS＝2SB，P為AC的中點(diǎn)．求證：（1）∠PBD＝30°；（2）AD＝DC．PPABCDS3.已知m,n,p為正整數(shù)，m＜n．設(shè)A(－m,0)，B(n,0)，C(0,p)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若∠ACB＝90°，且OA2＋OB2＋OC2＝3(OA＋OB＋OC)（1）證明：m＋n＝p＋3；（2）求圖象經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．參考答案一．選擇題1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空題1.15°2.23.114.24第二試1.解依次將題設(shè)中所給的四個(gè)方程編號(hào)為①，②，③，④．設(shè)是方程①和方程②的一個(gè)相同的實(shí)根，則兩式相減，可解得．設(shè)是方程③和方程④的一個(gè)相同的實(shí)根，則兩式相減，可解得。所以．又方程①的兩根之積等于1，于是也是方程①的根，則。又，兩式相減，得．若，則方程①無實(shí)根，所以，故．于是．又，解得．2.證明（1）由已知得，從而四點(diǎn)共圓，為直徑，為該圓的圓心．作于點(diǎn)，知為的中點(diǎn)，所以＝＝，從而．（2）作于點(diǎn)，則．又，∴，∴Rt△≌Rt△，∴，MNPSABCD又，所以MNPSABCD3.解（1）因?yàn)?，，所以，即．由，得．又，從而有，即．?）由，知是關(guān)于x的一元二次方程=1\*GB3①的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，從而，解得。又為正整數(shù)，故或