山東省禹城市大程中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期第二次素養(yǎng)檢測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘分值：150分鐘一．選擇題（每小題4分，共48分）1.如圖，菱形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，，將沿點(diǎn)到點(diǎn)的方向平移，得到，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由菱形性質(zhì)得到AO，BO長(zhǎng)度，然后在利用勾股定理解出即可【詳解】由菱形的性質(zhì)得直角三角形故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵在于利用菱形性質(zhì)求出直角三角形的兩條邊2.下面四幅圖是我國(guó)傳統(tǒng)文化與藝術(shù)中的幾個(gè)經(jīng)典圖案，其中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸可得答案．【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．3.如圖，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊上，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．本題可通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，，，然后逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由已知得：，則，，，，∵，∴，故A錯(cuò)誤；∵與不一定全等，∴，∵，∴，故B錯(cuò)誤；∵，又∵，∴，故C錯(cuò)誤；∵，∴．又∵，∴，∴，∴，故D正確．故選：D．4.如圖，將繞邊的中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，小明發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的與構(gòu)成平行四邊形，并推理如下：小剛為保證小明的推理更嚴(yán)謹(jǐn)，想在“∵，”和“∴四邊形……”之間作補(bǔ)充．下列正確的是（）A.小明推理嚴(yán)謹(jǐn)，不必補(bǔ)充 B.應(yīng)補(bǔ)充：且，C.應(yīng)補(bǔ)充：且， D.應(yīng)補(bǔ)充：且，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可.【詳解】解：A.由，不能判定四邊形是平行四邊形，故A不正確；

B.由旋轉(zhuǎn)可知：，，因此四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等)，故B正確；

C.根據(jù)和，得到四邊形是平行四邊形或等腰梯形，不能判定四邊形是平行四邊形，故C不正確；

D.由和，不能判定四邊形是平行四邊形，故D不正確；

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.5.已知正方形的對(duì)稱(chēng)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)按逆時(shí)針依次排列，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OA、OD，過(guò)點(diǎn)A作

AF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，易證△AFO≌△OED（AAS），則，DE=OF=2，，因?yàn)锽、D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以.【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，易證，，，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作軸，垂足為D，軸，垂足為E，．若雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由直線求出OA，OB的長(zhǎng)，設(shè)出C(x，)，證明，得出CE，CD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，設(shè)，根據(jù)題意知，四邊形ODCE是矩形，，軸，軸，，，，，，解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等，難度適中，正確求得C的坐標(biāo)是關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．7.如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)于點(diǎn)，若，則的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)說(shuō)明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再結(jié)合BG⊥AE，運(yùn)用勾股定理求得AG，進(jìn)一步求得AE和△ABE的周長(zhǎng)，然后再說(shuō)明△ABE∽△FCE且相似比為，最后根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比列方程求解即可．【詳解】解：∵∴AD∥BC，AB//DF∴∠DAE=∠BEA∵∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5∵BG⊥AE∴AG=EG=AE∵在Rt△ABG中，AB=10,BG=8∴∴AE=2AG=12∴△ABE的周長(zhǎng)為AB+BE+AE=10+10+12=32∵AB∥DF∴△ABE∽△FCE且相似比為∴,解得=16．故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比是解答本題的關(guān)鍵．8.如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，和交于點(diǎn)若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)G作GN⊥BC于N，交EF于Q，同樣也垂直于DA，利用相似三角形的性質(zhì)可求出NG，GQ，以及EF的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可求出△BCG和△EFG的面積，用矩形ABCD的面積減去△BCG的面積減去△EFG的面積，即可求陰影部分面積．【詳解】解：過(guò)作GN⊥BC于N，交EF于Q，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，AD=BC，∴△EFG∽△CBG，∵，∴EF：BC=1：2，∴GN：GQ=BC：EF=2：1，又∵NQ=CD=6，∴GN=4，GQ=2，∴S△BCG=×10×4=20，∴S△EFG=×5×2=5，∵S矩形BCDA=6×10=60，∴S陰影=60-20-5=35．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，求出陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差的關(guān)系．9.如圖，在中，．邊在軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和．將正方形沿軸向右平移當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先畫(huà)出落在上的示意圖，如圖，根據(jù)銳角三角函數(shù)求解的長(zhǎng)度，結(jié)合正方形的性質(zhì)，從而可得答案．【詳解】解：由題意知：四邊形為正方形，如圖，當(dāng)落在上時(shí)，由故選【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10.在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)為位似中心，四邊形的位似圖形是（）A.四邊形 B.四邊形 C.四邊形 D.四邊形【答案】A【解析】【分析】以O(shè)為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形，根據(jù)圖像可判斷出答案．【詳解】解：如圖所示，四邊形的位似圖形是四邊形．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了位似圖形的作法，畫(huà)位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心；②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，確定位似圖形．11.如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，添加一個(gè)條件使四邊形為平行四邊形，則這個(gè)條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形中位線定理得到，結(jié)合平行四邊形的判定定理進(jìn)行選擇．【詳解】∵在中，分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．A、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、根據(jù)可以判定，即，由“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)正確．C、根據(jù)不能判定，即不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、根據(jù)不能判定四邊形為平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定．三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．12.如圖，中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，連接，若的周長(zhǎng)為28，則的周長(zhǎng)為（）A.28 B.24 C.21 D.14【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理，再結(jié)合題意進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案.【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵平行四邊形的周長(zhǎng)為28，∴∵，∴是線段的中垂線，∴，∴的周長(zhǎng)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和中垂線定理.二．填空題（每空4分，共24分）13.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．【答案】（4，）【解析】【分析】首先根據(jù)直線AB來(lái)求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，A1的橫坐標(biāo)等于OB，而縱坐標(biāo)等于OB-OA，即可得出答案．【詳解】解：在中，令x=0得，y=4，令y=0，得，解得x=，∴A（，0），B（0，4），由旋轉(zhuǎn)可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1=90°，∴∠ABO=∠A1BO1，∠BO1A1=∠AOB=90°，OA=O1A1=，OB=O1B=4，∴∠OBO1=90°，∴O1B∥x軸，∴點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為OB-OA的長(zhǎng)，即為4=；橫坐標(biāo)為O1B=OB=4，故點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（4，），故答案為：（4，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，利用基本性質(zhì)結(jié)合圖形進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．14.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線段AO長(zhǎng)的取值范圍是____．【答案】＜AO＜．【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，證明△AOE∽△ACD即可求出與AD相切時(shí)的AO值；如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，證明△COF∽△CAB即可求出BC相切時(shí)的AO值，最后即可得到結(jié)論．【詳解】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，則OE⊥AD，∴OE//CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴，∴AO=；如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，則OF⊥BC，∴OF//AB，∴△COF∽△CAB，∴，∴，∴OC=，∴AO=，∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒(méi)有公共點(diǎn)，那么線段AO長(zhǎng)的取值范圍是＜AO＜．故答案為：＜AO＜．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AC于H，則∽，設(shè)FH為x，由已知條件可得，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的長(zhǎng)．【詳解】如解圖，過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，∴，∵，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∽∴∴，設(shè)為，則，由勾股定理得，又∵，∴，則，∵且，∴∽，∴，即，解得，∴．∵∴∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似的判定和性質(zhì)、以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是作垂直，構(gòu)造相似三角形．16.已知一個(gè)n邊形的內(nèi)角和等于720°，則n=______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式計(jì)算即可．【詳解】解：由，解得．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，掌握多邊形內(nèi)角和定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．即多邊形的內(nèi)角和為(n-2)×180°（n≥3的整數(shù)）．17.如圖，在中，、是對(duì)角線上兩點(diǎn)，，，，則的大小為_(kāi)__________【答案】21°.【解析】【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得DE＝AE＝EF，進(jìn)而可得DC＝DE，設(shè)∠ADE＝x，則∠DAE＝x，進(jìn)而可得∠DCE＝∠DEC＝2x，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠DAE＝x，再根據(jù)∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，即可求得答案.【詳解】∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴DE＝AE＝EF，∴∠DAE=∠ADE，又∵AE＝EF＝CD，∴DC＝DE，∴∠DEC=∠DCE，設(shè)∠ADE＝x，則∠DAE＝x，則∠DCE＝∠DEC＝2x，又AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAE＝x，由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，得：x+2x＝63°，解得：x＝21°，∴∠ADE=21°，故答案為21°.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18.在如圖所示的平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=3，將△ACD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)D落在△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處，且AE過(guò)BC的中點(diǎn)O，則△ADE的周長(zhǎng)等于__________．【答案】10【解析】【詳解】分析：要計(jì)算周長(zhǎng)首先需要證明E、C、D共線，DE可求，問(wèn)題得解．詳解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，CD=AB=2由折疊，∠DAC=∠EAC∵∠DAC=∠ACB∴∠ACB=∠EAC∴OA=OC∵AE過(guò)BC的中點(diǎn)O∴AO=BC∴∠BAC=90°∴∠ACE=90°由折疊，∠ACD=90°∴E、C、D共線，則DE=4∴△ADE的周長(zhǎng)為：3+3+2+2=10故答案為10點(diǎn)睛：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)圖形性質(zhì)和三點(diǎn)共線的證明．解題時(shí)注意不能忽略E、C、D三點(diǎn)共線．三．解答題（共78分）19.如圖，是的外接圓，直線與相切于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OE，利用垂徑定理、圓周角、弧、弦的關(guān)系證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意證明BE=EF，得到BE的長(zhǎng)，再證明△EBD∽△EAB得到，求出AE，從而得到AF．【詳解】解：（1）連接OE．

∵直線EG與⊙O相切于E，

∴OE⊥EG．

∵EG∥BC，

∴OE⊥BC，∴，∴∠BAE=∠CAE．

∴AE平分∠BAC；（2）如圖，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠4，∵∠1=∠5，∴∠4=∠5，∵BF平分∠ABC，∴∠2=∠3，∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，即∠6=∠EBF，∴EB=EF，∵DE=3，DF=2，∴BE=EF=DE+DF=5，∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，∴△EBD∽△EAB，∴，即，∴AE=，∴AF=AE-EF=-5=．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，圓周角、弧、弦的關(guān)系，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握定理并熟練運(yùn)用是解題必備的能力．20.如圖，為線段外一點(diǎn)．（1）求作四邊形，使得，且；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的四邊形中，，相交于點(diǎn)，，的中點(diǎn)分別為，求證：三點(diǎn)在同一條直線上．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）按要求進(jìn)行尺規(guī)作圖即可；(2)通過(guò)證明角度之間的大小關(guān)系，得到，即可說(shuō)明三點(diǎn)在同一條直線上．【詳解】解：（1）則四邊形就是所求作的四邊形．（2）∵，∴，，∴，∴．∵分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴．連接，，又∵，∴，∴，∵點(diǎn)在上∴，∴，∴三點(diǎn)在同一條直線上．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．21.在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．（1）畫(huà)出關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng)的；（2）畫(huà)出以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1∶2的．【答案】（1）如圖所示為所求；見(jiàn)解析；（2）如圖所示為所求；見(jiàn)解析．【解析】【分析】（１）將的各個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)描出，連接即可．（２）在同側(cè)和對(duì)側(cè)分別找到2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所對(duì)應(yīng)的A2，B2，C2的坐標(biāo)，連接即可．【詳解】（1）由題意知：的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，3），B（4，1），C（1，1），則關(guān)于x軸成軸對(duì)稱(chēng)的的坐標(biāo)為A1（1，-3），B1（4，-1），C1（1，-1），連接A1C1，A1B1，B1C1得到．如圖所示為所求；（2）由題意知：位似中心是原點(diǎn)，則分兩種情況：第一種，和在同一側(cè)則A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），連接各點(diǎn)，得．第二種，在的對(duì)側(cè)A2（－2，－6），B2（－8，－2），C2（－2，－2），連接各點(diǎn)，得．綜上所述：如圖所示為所求；【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似中心、位似比和軸對(duì)稱(chēng)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確掌握位似中心、位似比的概念及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．22.△ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE=．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．（1）如圖1，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長(zhǎng)；（2）如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，M為線段EF的中點(diǎn)，連接DN，MN．當(dāng)30°＜α＜120°時(shí)，猜想∠DNM的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論；（3）連接BN．在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)線段BN最大時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ADN的面積．【答案】（1）NG=；（2）∠DNM的為定值120°，證明見(jiàn)詳解；（3）△AND的面積為【解析】【分析】（1）證明∠CGE=90°，求出DE=，EC=2，根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可求解；（2）證明BE∥DN，MN∥CF，△ABE≌△ACF，得到因此∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF，通過(guò)角的代換即可求解；（3）取AC中點(diǎn)P，因?yàn)锽P+PN≥BN，所以當(dāng)B、P、N在一直線上，BN最大．求出BN=，設(shè)BP與AD交于O，NQ⊥AD于Q，根據(jù)△ONQ∽△OBD，可求得NQ=，問(wèn)題得解．【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，AB=8，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠DAC=30°,CD=，∴，∴，∴，∵三角形AEF是等邊三角形，∴∴∵N為CE的中點(diǎn)∴．（2）∠DNM的為定值120°．連CF，BE，BE交AC于H，DN交AC于G，如圖，∵D、N、M分別為BC、CE、EF中點(diǎn)，∴DN、MN分別為△BCE、ECF中位線，∴BE∥DN，MN∥CF，∵△ABC、△AEF都是等邊三角形，∴AB=AC,AE=AF,∴∴△ABE≌△ACF．∴∠DGC=∠BHC，∠ENM=∠ECF，∠ABE=∠ACF又∵∠BHC=∠ABE+∠BAH=∠ABE+60°，∴∠DGC=∠ABE+60°=∠ACF+60°又∵∠DGC=∠DNC+∠GCN=∠DNC+∠ACF-∠ECF，∴∠DNC=60°+∠ECF=60°+∠ENM，∴∠DNE=180°-∠DNC=120°-∠ENM，∴∠DNM=∠DNE+∠ENM=120°．（3）△AND的面積為，如圖，取AC中點(diǎn)P，因?yàn)锽P+PN≥BN，所以當(dāng)B、P、N在一直線上，BN最大．∴BN=BP+PN=BP+AE=設(shè)BP與AD交于O，NQ⊥AD于Q，如圖，∴BO=BP=，ON=，BD=4，由題意得△ONQ∽△OBD，∴NQ=，∴△AND的面積為：×AD×NQ=．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，中位線定理，相似等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知圖形變化規(guī)律，根據(jù)題意正確畫(huà)出圖形是解題關(guān)鍵．23.（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．①請(qǐng)按要求畫(huà)圖：將繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．連接；②在①中所畫(huà)圖形中，＝°．（2）【問(wèn)題解決】如圖2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延長(zhǎng)CA到D，使CD＝1，將斜邊AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接DE，求∠ADE的度數(shù)．（3）【拓展延伸】如圖3，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k為常數(shù)），求BD的長(zhǎng)（用含k的式子表示）．【答案】（1）①見(jiàn)解析，②45；（2）135°；（3）【解析】【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向畫(huà)出圖形即可．②只要證明△ABB′是等腰直角三角形即可．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．證明△ABC≌△EAH（AAS）即可解決問(wèn)題．（3）如圖3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，只要證明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：（1）①如圖，△AB′C′即為所求．②由作圖可知，△ABB′等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案為45．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H．∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如圖③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．24.綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：如圖①，點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)），延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．猜想證明：（1）試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，若，請(qǐng)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系并加以證明；解決問(wèn)題：（3）如圖①，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）四邊形是正方形，理由詳見(jiàn)解析；（2），證明詳見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可知：，,再說(shuō)明可得四邊形是矩形，再結(jié)合即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，再證可得，再結(jié)合、即可解答；（3）過(guò)E作EG⊥AD，先說(shuō)明∠1=∠2，再設(shè)EF=x、則BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中運(yùn)用勾股定理求得x，進(jìn)一步求得BE和AE的長(zhǎng)，然后運(yùn)用三角函數(shù)和線段的和差求得DG和EG的長(zhǎng)，最后在Rt△DEG中運(yùn)用勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）四邊形是正方形理由：由旋轉(zhuǎn)可知：，，又，四邊形矩形．∵．四邊形是正方形；（2）．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則，．四邊形是正方形，，．，．．∵，；（3）如圖：過(guò)E作EG⊥AD∴GE//AB∴∠1=∠2設(shè)EF=x，則BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9∴BE=9,AE=12∴sin∠1=,cos∠1=∴sin∠2=,cos∠2=∴AG=7.2,G