剛體轉(zhuǎn)動及角動量

關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動及角動量內(nèi)容提要本章內(nèi)容Contentschapter4剛體的定軸轉(zhuǎn)動rotationofrigid-bodywithafixedaxis剛體作定軸轉(zhuǎn)動時的功能關(guān)系relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body角動量與角動量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum剛體的角動量守恒lawofconservationofangularmomentumofrigid-body第2頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)角動量與角動量守恒定律角動量與角動量守恒定律4-1ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum一、角動量angularmomentumrqOmv速度位矢質(zhì)量角夾rv大量天文觀測表明rqmvsin常量大小：Lrqmvsin方向：rmv()rvLq定義：rpLrmv運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)mO對

點(diǎn)的角動量為角動量與角動量守恒定律角動量與角動量守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentum第3頁,共65頁，2024年2月25日，星期天問題的提出二、質(zhì)點(diǎn)的角動量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的單擺OmqvrLmvr大小會變L變太陽系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必會變?？渴裁磁袛?？L變變變Lvrmsin大小Lmvrq角動量質(zhì)點(diǎn)對點(diǎn)的mO問題的提出第4頁,共65頁，2024年2月25日，星期天質(zhì)點(diǎn)角動量定理導(dǎo)致角動量隨時間變化的根本原因是什么？LddtL思路：分析與什么有關(guān)？+()由Lvrm則ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(兩平行矢量的叉乘積為零)mdvdtmaF得ddtLrF角動量的時間變化率質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘質(zhì)點(diǎn)的角動量定理第5頁,共65頁，2024年2月25日，星期天微分形式ddtLrF是力矩的矢量表達(dá)：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所決定的平面，由右螺旋法則定指向。Fdqq得質(zhì)點(diǎn)對給定參考點(diǎn)的mOddtLrFM角動量的時間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點(diǎn)的角動量定理

的微分形式

如果各分力與O點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向。可設(shè)順時針為正向，用代數(shù)法求合力矩。第6頁,共65頁，2024年2月25日，星期天積分形式質(zhì)點(diǎn)的角動量定理也可用積分形式表達(dá)ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0稱為沖量矩角動量的增量這就是質(zhì)點(diǎn)的角動量定理

的積分形式例如，

單擺的角動量大小為L=

mvr,v為變量。

在t=0時從水平位置靜止釋放，初角動量大小為L0=mv0r=0；時刻t

下擺至鉛垂位置，

角動量大小為L⊥

=

mv⊥r。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于L-L0=mv⊥r=

mr2gr。第7頁,共65頁，2024年2月25日，星期天歸納歸納質(zhì)點(diǎn)的角動量定理ddtLrFM角動量的時間變化率所受的合外力矩0ttdLMdtL0LLL0沖量矩角動量的增量微分形式積分形式特例：當(dāng)M0時，有LL00即LL0物理意義：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力矩或合外力矩為零（如有心力作用）時，質(zhì)點(diǎn)的角動量前后不改變。（后面再以定律的形式表述這一重要結(jié)論）第8頁,共65頁，2024年2月25日，星期天質(zhì)點(diǎn)角動量守恒質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律ddtLM根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的角動量定理

rFM()若MrF0則ddtL0即L常矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對某參考點(diǎn)的力矩OmM為零時，質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動量的時間變化率為ddtLL零，即質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動量守恒。質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律稱為

若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的方向始終通過參考點(diǎn)，其角動量守恒。如行星繞太陽運(yùn)動，以及微觀粒子中與此類似的運(yùn)動模型，服從角動量守恒定律。第9頁,共65頁，2024年2月25日，星期天開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積第10頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定律證明證：

時刻m對O的角動量大小為tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力總指向是太陽，角動量守恒。hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬間位矢掃過的微面積L則LAddt2m常量（稱為掠面速率）故，位矢在相同時間內(nèi)掃過的面積相等第11頁,共65頁，2024年2月25日，星期天質(zhì)點(diǎn)系角動量三、質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem質(zhì)點(diǎn)系的角動量質(zhì)點(diǎn)系的角動量LSiLirSiimivi各質(zhì)點(diǎn)對給定參考點(diǎn)的角動量的矢量和慣性系中某給定參考點(diǎn)m12m3mr13r2r3v2vv1O第12頁,共65頁，2024年2月25日，星期天質(zhì)點(diǎn)系角動量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理LSiLiSirimivi將對時間求導(dǎo)ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri

內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點(diǎn)Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動量的時間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理稱為微分形式第13頁,共65頁，2024年2月25日，星期天微、積分形式質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理LSiLiSirimivi將對時間求導(dǎo)ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri

內(nèi)力矩在求矢量和時成對相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點(diǎn)Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動量的時間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理稱為微分形式ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動量的時間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系所受的0tdtMtdLLL0LL0質(zhì)點(diǎn)系的沖量矩角動量增量質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理的積分形式

若各質(zhì)點(diǎn)的速度或所受外力與參考點(diǎn)共面，則其角動量或力矩只含正反兩種方向，可設(shè)順時針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。第14頁,共65頁，2024年2月25日，星期天質(zhì)點(diǎn)系角動量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0則LL0或L恒矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。第15頁,共65頁，2024年2月25日，星期天隨堂小議結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結(jié)果都不對。（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略第16頁,共65頁，2024年2月25日，星期天小議鏈接1（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結(jié)果都不對。第17頁,共65頁，2024年2月25日，星期天小議鏈接2（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結(jié)果都不對。第18頁,共65頁，2024年2月25日，星期天小議鏈接3（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結(jié)果都不對。第19頁,共65頁，2024年2月25日，星期天小議鏈接4（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略結(jié)束選擇（1）（2）（3）（4）兩人同時到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動者先到；以上結(jié)果都不對。第20頁,共65頁，2024年2月25日，星期天小議分析Om12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系m12m,若m12m系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動量系統(tǒng)的末態(tài)角動量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若m12m系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動量定理進(jìn)行具體分析討論。第21頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)剛體運(yùn)動的分類rotationofrigid-bodywithafixedaxis剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動4-2ssss

剛體：形狀固定的質(zhì)點(diǎn)系（含無數(shù)質(zhì)點(diǎn)、不形變、理想固體。）平動

剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。rrva定軸轉(zhuǎn)動

剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動

剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動，但始終垂直于該平面且通過質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動

剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個球面上運(yùn)動。一般運(yùn)動

復(fù)雜的運(yùn)動與平動的混合。rotationofrigidbodywithafixedaxis剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動第22頁,共65頁，2024年2月25日，星期天定軸轉(zhuǎn)動參量剛體轉(zhuǎn)軸1.角位置q轉(zhuǎn)動平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp參考方向Xpp剛體中任一點(diǎn)p剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量靜止勻角速()tww變角速4.角加速度btddwb變角加速b()tb常量b勻角加速b0勻角速,wdq轉(zhuǎn)動方向用矢量表示或時，它們與剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右螺旋定則wdq描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量第23頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動方程求導(dǎo)例題單位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)(

50p

51p

52p

53pw1rads0213tsqrad100p150p03st

50pp12b2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),,勻變角速定軸轉(zhuǎn)動第24頁,共65頁，2024年2月25日，星期天積分求轉(zhuǎn)動方程例已知求w()t()tq任意時刻的b()tkk0恒量且

t

=0時w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程第25頁,共65頁，2024年2月25日，星期天線量與角量的關(guān)系例bw定軸轉(zhuǎn)動剛體在某時刻t

的瞬時角速度為，瞬時角加速度為，已知求剛體中一質(zhì)點(diǎn)P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點(diǎn)P

的大小rPPrOOw

瞬時線速度v瞬時切向加速度atna瞬時法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2這是定軸轉(zhuǎn)動中線量與角量的基本關(guān)系qdqddsds解法提要dsqdr第26頁,共65頁，2024年2月25日，星期天公式對比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動或剛體平動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt勻速直線運(yùn)動ssvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動qwt勻變速直線運(yùn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt第27頁,共65頁，2024年2月25日，星期天剛體轉(zhuǎn)動定律引言剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動定律質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動定律或剛體平動F

=

m

a慣性質(zhì)量合外力合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動，服從怎樣的運(yùn)動定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動慣量第28頁,共65頁，2024年2月25日，星期天合外力矩

外力在轉(zhuǎn)動平面上對轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動M

=

r

×

F111力矩切向1FtFrM叉乘右螺旋1M2MM

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩與合外力矩方向第29頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動定律某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬時角速度w角加速度瞬時b等式兩邊乘以ri

并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、剛體的轉(zhuǎn)動定律第30頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動慣量某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬時角速度w角加速度瞬時b等式兩邊乘以ri

并對所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、剛體的轉(zhuǎn)動定律Mbrrmirmii∑2()=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用表示稱為轉(zhuǎn)動慣量IbIM剛體的轉(zhuǎn)動定律即bMIMI剛體所獲得的角加速度

的大小與剛體受到的

b合外力矩的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。第31頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動慣量的計算二、轉(zhuǎn)動慣量及其計算Mb=I將剛體轉(zhuǎn)動定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動定律F=am對比轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度II∑rmiriri2

與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求Ir

為體積元

dV

處的密度rVdVrmdIr2m2I的單位為m2kg第32頁,共65頁，2024年2月25日，星期天分立質(zhì)點(diǎn)的算例轉(zhuǎn)動慣量的計算舉例可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體m12m轉(zhuǎn)軸Or1r2

若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則Irmiriri2∑m1r12+2mr22轉(zhuǎn)軸O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)第33頁,共65頁，2024年2月25日，星期天直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對中垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2勻直細(xì)桿對端垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO質(zhì)心新軸質(zhì)心軸r,L平行移軸定理對新軸的轉(zhuǎn)動慣量IO對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量ICr新軸對心軸的平移量例如：rL2時代入可得I端31mL2第34頁,共65頁，2024年2月25日，星期天圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對心垂軸的I

取半徑為微寬為的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m第35頁,共65頁，2024年2月25日，星期天球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量的迭加Id距為、半徑為、微厚為Oyydr的薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()第36頁,共65頁，2024年2月25日，星期天常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22I=m

R123I=m

L1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直第37頁,共65頁，2024年2月25日，星期天其它典型RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面I

=

m

R

2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I

=2m

R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2I

=2m

R3第38頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動定律例題一三、轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用選例bIM合外力矩應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成。合外力矩與合角加速度方向一致。bM在定軸轉(zhuǎn)動中，可先設(shè)一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復(fù)。MMb與時刻對應(yīng)，何時何時b則何時，M00b則何時M恒定恒定。例

勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0第39頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動定律例題二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22轉(zhuǎn)動平動線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉(zhuǎn)動摩擦力矩

Mr,則轉(zhuǎn)動式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再聯(lián)立求解。第40頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動定律例題三例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度b細(xì)繩線加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g第41頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動定律例題四Rm1m2m例已知m=5kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要對m1m2m分別應(yīng)用和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動和剛體轉(zhuǎn)動定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)222

(rad)gt求()tqq物體從靜止開始運(yùn)動時，滑輪的轉(zhuǎn)動方程第42頁,共65頁，2024年2月25日，星期天轉(zhuǎn)動定律例題五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq

從等傾角處靜止釋放兩勻直細(xì)桿地面求兩者瞬時角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根據(jù)1L1LLL2短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)第43頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系4-3ssssrelationofworkwithenergyinrotationofrigid-bodywOviviririrmirmi∑剛體中任一質(zhì)元的速率rmirmiviviririw該質(zhì)元的動能Erik21rmivi221rmiririw22對所有質(zhì)元的動能求和EkErik21rmiriri2w2()∑轉(zhuǎn)動慣量

IEk21Iw2得剛體轉(zhuǎn)動動能公式一、轉(zhuǎn)動動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能關(guān)系Relationofworkwithenergyinrotationofrigid-body第44頁,共65頁，2024年2月25日，星期天力矩的功二、力矩的功和功率OqdjPrrdtF力

的元功FdAFrdcosFrd2pj()FrdrdsinjFrsinjqdMqddAMqd力對轉(zhuǎn)動剛體所作的功用力矩的功來計算若在某變力矩的作用下，剛體由轉(zhuǎn)到，q12qMM作的總功為dAAq12qMqd力矩的瞬時功率NAddtwMqddtM第45頁,共65頁，2024年2月25日，星期天力矩的功算例求撥動圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小RrOrdmmd2p()解法提要總摩擦力矩是Mrr各微環(huán)帶摩擦元力矩的積分Mrd環(huán)帶面積dsdr環(huán)帶質(zhì)量dmpr2dmdsd環(huán)帶受摩擦力gmmdmfdr環(huán)帶受摩擦力矩Mrdfdrr2mmgR2r2dr圓盤受總摩擦力矩MrMrd轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功A0p2Mrdq0R2mmgR2r2drA0p2Mrdq0p2dq34pmmgR得例已知粗糙水平面mmmRO轉(zhuǎn)軸d平放一圓盤第46頁,共65頁，2024年2月25日，星期天剛體的動能定理三、剛體轉(zhuǎn)動的動能定理回憶質(zhì)點(diǎn)的動能定理mA21v21mv202剛體轉(zhuǎn)動的動能定理？由

力矩的元功dAqdM轉(zhuǎn)動定律bIMdAbIqdIwdtdqdIqdtdwdIwwd則AdAqdMq0qw0wIwwd2121202IwIw合外力矩的功轉(zhuǎn)動動能的增量剛體轉(zhuǎn)動的動能定理稱為第47頁,共65頁，2024年2月25日，星期天動能定理例題一例R1mqO2m勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點(diǎn)水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸求圓盤下擺時質(zhì)點(diǎn)的03q2m角速度wat、切向、法向加速度na的大小解法提要對1m2m系統(tǒng)外力矩的功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動動能增量w2I21m1其中I212R+m22RR2msing03得w2m2g()+m12m2R由轉(zhuǎn)動定律得bIMcosR2mg03I32mg()+m12m2R則atbR32mg+m12m2,Rnaw22m2g+m12m2第48頁,共65頁，2024年2月25日，星期天動能定理例題二解法提要外力矩作的總功gmA02pL2qdcosq從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本題gL3利用vrw的關(guān)系還可算出此時桿上各點(diǎn)的線速度已知例水平位置靜止釋放求擺至垂直位置時桿的wGqw00wgmO？Lm,()勻直細(xì)桿一端為軸第49頁,共65頁，2024年2月25日，星期天動能定理例題三解法提要Lgm392段，外力矩作正功aA2qdcos02paqa段，外力矩作負(fù)功b2Aqdcos02pqLgm132bb41A∑AiLgm合外力矩的功aGbG從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI轉(zhuǎn)軸對質(zhì)心軸的位移

L4rIIc+mr2Lm2487代入得w247gL已知例求擺至垂直位置時桿的wabL1434LbGaGqw00w14gm34gmO水平位置靜止釋放第50頁,共65頁，2024年2月25日，星期天含平動的轉(zhuǎn)動問題四、含的功能原理質(zhì)點(diǎn)平動剛體定軸轉(zhuǎn)動+rE機(jī)械A(chǔ)外力A非保守內(nèi)力矩力力矩(E動+)E勢(E動+)E勢00()E平動+E轉(zhuǎn)動()E+E00平動轉(zhuǎn)動系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦A外力力矩0,A非保守內(nèi)力矩力0E平動E轉(zhuǎn)動E勢,,,E0平動E0轉(zhuǎn)動E勢0,,I++m1v212ghm121w200gm1h0可求a,v,b,w或()hh0此外RmI212,av22()hh0,vwRabR,00勢ghhv00vawbOm1m1mR第51頁,共65頁，2024年2月25日，星期天第四節(jié)剛體的角動量守恒定律4-4sssslawofconservationofangularmomentumofrigid-body剛體的角動量剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對公共轉(zhuǎn)軸的角動量的疊加

所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量mri其角動量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部質(zhì)元的總角動量L∑Liw∑2mriri()wI對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體L∑LiwwIm2r()dLwI定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量大小方向L與同繞向wLw或與沿軸同指向角動量第52頁,共65頁，2024年2月25日，星期天剛體的角動量定理wbML1.剛體的角動量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角動量的時間變化率（微分形式）（積分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw沖量矩角動量的增量剛體的角動量定理剛體的角動量定理回憶質(zhì)點(diǎn)的角動量定理（微分形式）（積分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM第53頁,共65頁，2024年2月25日，星期天剛體系統(tǒng)的角動量定理2.剛體系統(tǒng)的角動量定理若一個系統(tǒng)包含多個共軸剛體或平動物體系統(tǒng)的總合外力矩∑MiLtdd∑i系統(tǒng)的總角動量的變化率1dt2ttM系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動量增量∑()1LLii2系統(tǒng)：輕繩mm1（忽略質(zhì)量）總合外力矩對O的角動量mm1對O的角動量gm1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtddb而解得bgm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR靜止釋放b求角加速度第54頁,共65頁，2024年2月25日，星期天主要公式歸納剛體MLtdd（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)角動量定理∑MiLtdd∑i1dt2ttM∑()1LLii21dt2ttM1LL2剛體的歸納：IwL角動量關(guān)鍵式：IwLMLtdd是矢量式IwLMLtdd與質(zhì)點(diǎn)平動對比mvpFtddp第55頁,共65頁，2024年2月25日，星期天剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律剛體的角動量定理由MLtdd剛體所受合外力矩M0若則Ltdd0即LIw常矢量

當(dāng)剛體所受的合外力矩等于零時，MIw

剛體的角動量保持不變。剛體的角動量守恒定律第56頁,共65頁，2024年2月25日，星期天回轉(zhuǎn)儀定向原理LwI萬向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動量守恒Lw