2021-2022學年天津市西青區(qū)九年級（上）期末數學試卷

2021-2022學年天津市西青區(qū)九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.（3分）下列事件中，是隨機事件的為（）

A.一個三角形的外角和是360°

B.投擲一枚正六面體骰子，朝上一面的點數為5

C.在只裝了紅色卡片的袋子里，摸出一張白色卡片

D.明天太陽從西方升起

2.（3分）一個不透明的袋子中裝有9個小球，其中6個紅球、3個綠球，這些小球除顏色

外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個小球.則摸出的小球是紅球的概率是（）

A.2B.Ac.AD.A

3239

3.（3分）下列圖案中，可以看作中心對稱圖形的是（）

4.（3分O）下列各數是方程/+3x-10=0的根的G是（）

A.2和5B.-5和3C.5和3D.-5和2

5.（3分）如圖，。。為等邊AABC外接圓，點。是前上一點，連接AO,CD.若/CAO

=25°,則/AC。的度數為（）

aD

A.85B.90°C.95°D.100°

6.（3分）如圖，0A是00的半徑，弦BCJ_OA,垂足為D連接AC.若BC=如,AC

=3,則O。的半徑長為（）

2

7.（3分）如圖，已知點A,B,C是OO上三點，半徑OC=2,ZABC=30°,切線AP交

0C延長線于點P,則A尸長為（）

A.2B.2A/3C.4D.473

8.（3分）據某市交通部門統(tǒng)計，2018年底全市汽車擁有量為150萬輛，而到2020年底，

全市的汽車擁有量已達216萬輛，求2018年底至2020年底該市汽車擁有量的年平均增

長率，若設2018年底至2020年底該市汽車擁有量的年平均增長率為x,則可列方程為

（）

A.150(1+2%)=216B.150X2(1+x)=216

C.150(1+x)2=216D.150+150X2x=216

9.(3分)如圖，O。內切于△A2C,若NAOC=110°,則的度數為()

A.40°B.60°C.80°D.100°

10.（3分）如圖，RtZiABC的斜邊AB=13c〃z,一條直角邊AC=5a〃，以BC邊所在直線為

軸將這個三角形旋轉一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的全面積為（）

AC

A.65ncm2B.90ircm2C.156Tte7/D.300ncm2

11.（3分）某種商品每件的進價為30元，在某時間段內若以每件x元出售，可賣出（100

-%）件.若想獲得最大利潤，則定價x應為（）

A.35元B.45元C.55元D.65元

12.（3分）已知拋物線y=o?+fcc+c（a,b,c為常數，a<0）經過點（-1,0）,其對稱軸

為直線x=2,有下列結論：①c<0；（2）4a+b=0；③4a+c>26；④若y>0,則-l<x<5；

⑤關于x的方程0^+法+<?+1=0有兩個不等的實數根；⑥若M（3,yi）與N（4,竺）是

此拋物線上兩點，則其中，正確結論的個數是（）

A.6B.5C.4D.3

二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分.

13.（3分）某瓷磚廠在相同條件下抽取部分瓷磚做耐磨試驗，結果如下表所示:

抽取瓷磚100300400600100020003000

數n

合格品數9628238257094919062850

m

合格品頻0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

率四

n

則這個廠生產的瓷磚是合格品的概率估計值是.（精確到0.01）

14.（3分）若xi，&是方程2d+4了-3=0的兩個根，則x「x2的值為.

15.（3分）若二次函數y=2?-x+左的圖象與x軸有兩個公共點，則左的取值范圍是

16.（3分）如圖，六邊形A3CZJEF是半徑為6的圓內接正六邊形，則而的長為.

17.（3分）如圖，已知△ABC內接于OO,BC是的直徑，OD_LAC于點。.半徑OE

±BC,連接8。，EA,且EA_LBD點f若BC=10,貝U0。=.

18.（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，AABC的頂點A,C均在格點上,

ZCAB=26°,經過A,B,C三點的圓的半徑為遙.

（I）線段AC的長等于；

（II）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出一個點M使其滿足NBMC=38°,

并簡要說明點M的位置是如何找到的（不要求證明）.

三、解答題：本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

19.（8分）解下列方程.

（I）x（3尤+2）=6（3x+2）；

（II）3?-2x-4=0.

20.（8分）在平面直角坐標系中，二次函數＞=-Z^+Zzx+c的圖象經過點A（-2,4）和點

B（1,-2）.

（I）求這個二次函數的解析式及其圖象的頂點坐標；

（II）平移該二次函數的圖象，使其頂點恰好落在原點的位置上，請直接說出平移的方

向和距離.

21.（10分）如圖，有一個可以自由轉動的轉盤被平均分成3個扇形，分別標有-1,-2,

3三個數字.小王和小李各轉動一次轉盤為一次游戲，當每次轉盤停止后，指針所指扇形

內的數為各自所得的數，一次游戲結束得到一組數（指針指在分界線時取指針右側扇形

的數）.

（I）小王轉動一次轉盤指針指向正數所在扇形的概率是；

（II）請你用樹狀圖或列表的方法求一次游戲結束后兩數之和是正數的概率.

22.（10分）已知AB是。。的直徑，BO為。。的切線，切點為B.過。O上的點C作CD

//AB,交BD點D.連接AC,BC.

（I）如圖①，若DC為OO的切線，切點為C.求和/OBC的大??；

（II）如圖②，當CD與交于點E時，連接BE.若/EBD=30°,求/BCD和/

DBC的大小.

23.（10分）如圖，若要建一個矩形場地，場地的一面靠墻，墻長10小，另三邊用籬笆圍成,

籬笆總長20W，設垂直于墻的一邊為xm,矩形場地的面積為9后.

（I）S與x的函數關系式為5=,其中x的取值范圍是；

（II）若矩形場地的面積為42川，求矩形場地的長與寬；

（III）當矩形場地的面積最大時，求矩形場地的長與寬，并求出矩形場地面積的最大值.

24.（1。分）在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.點O,E分別為AB,AC

中點，P是線段DE上一動點（不與點D,E重合），將線段AF繞點A逆時針方向旋轉

90°得到線段AG,連接GC,FB.

（I）如圖①，證明：△AF2咨ZXAGC.

（II）如圖②，連接GF,GE,GF交AE于點、H.

①證明：在點廠的運動過程中，總有NFEG=90°.

②若AB=AC=8,當OE的長度為多少時，AAHG為等腰三角形？請直接寫出DF的長

度.

25.（10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-2f+ZzrM的對稱軸是直線x=2,

3

與x軸相交于A,2兩點（點A在點8的左側），與y軸交于點C.

（I）求b的值及8,C兩點坐標；

（H）M是第一象限內拋物線上的一點，過點M作MNLx軸于點N,交BC于點D.

①當線段MD的長取最大值時，求點M的坐標；

②連接CM,當線段CM=C￡＞時，求點〃坐標.

2021-2022學年天津市西青區(qū)九年級（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分，在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1.（3分）下列事件中，是隨機事件的為（）

A.一個三角形的外角和是360°

B.投擲一枚正六面體骰子，朝上一面的點數為5

C.在只裝了紅色卡片的袋子里，摸出一張白色卡片

D.明天太陽從西方升起

【分析】根據隨機事件，必然事件，不可能事件，三角形的外角性質判斷即可.

【解答】解：A、一個三角形的外角和是360。，是必然事件，故A不符合題意；

3、投擲一枚正六面體骰子，朝上一面的點數為5,是隨機事件，故2符合題意；

C、在只裝了紅色卡片的袋子里，摸出一張白色卡片，是不可能事件，故C不符合題意;

￡*、明天太陽從西方升起，是必然事件，故。不符合題意；

故選:B.

【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解

題的關鍵.

2.（3分）一個不透明的袋子中裝有9個小球，其中6個紅球、3個綠球，這些小球除顏色

外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個小球.則摸出的小球是紅球的概率是（）

A.2B.Ac.AD.A

3239

【分析】利用概率公式可求解.

【解答】解：：從袋子中隨機摸出一個小球有9種等可能的結果，其中摸出的小球是紅

球有6種，

.?.摸出的小球是紅球的概率是2=2,

93

故選：A.

【點評】本題主要考查概率公式，解題的關鍵是掌握隨機事件A的概率尸（A）=事件A

可能出現的結果數+所有可能出現的結果數.

3.（3分）下列圖案中，可以看作中心對稱圖形的是（）

【分析】根據中心對稱圖形的概念和各圖特點即可解答.

【解答】解：A、?.?此圖形旋轉180。后不能與原圖形重合，.?.此圖形不是中心對稱圖形，

故此選項錯誤；

3、?.?此圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，.?.此圖形不是中心對稱圖形，故此選項錯

誤；

C、?.?此圖形旋轉180。后能與原圖形重合，此圖形是中心對稱圖形，故此選項正確；

?此圖形旋轉180°后不能與原圖形重合，，此圖形不是中心對稱圖形，故此選項錯

誤;.

故選：C.

【點評】此題考查了中心對稱圖形的概念.中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180

度后兩部分重合.

4.（3分）下列各數是方程7+3x-10=0的根的是（）

A.2和5B.-5和3C.5和3D.-5和2

【分析】利用因式分解法求出方程的解，即可作出判斷.

【解答】解:方程W+3x-10=0,

分解因式得：（x-2）（尤+5）=0,

所以尤-2=0或x+5=0,

解得：尤=2或x=-5.

故選：D.

【點評】此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題

的關鍵.

5.（3分）如圖，為等邊△ABC外接圓，點。是交上一點，連接ADCD.若

=25°,則/AC。的度數為（

A

C.95°D.100°

【分析】先根據等邊三角形的性質得到/BAC=/ACB=60°,則可計算出/2A￡>=35°,

再根據圓周角定理得到/BCZ）=/BAO=35°,然后計算/ACB+/BC。即可.

【解答】解：?.,△ABC為等邊三角形，

ZBAC=ZACB=60°,

ZBAD=ABAC-ZCAD^60°-25°=35°,

：.ZBCD=ZBAD=35°,

：.ZACD=ZACB+ZBCD^6Q°+35°=95°.

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形

的外接圓.也考查了等邊三角形的性質和圓周角定理.

6.（3分）如圖，。4是。。的半徑，弦3CL0A,垂足為D.連接AC.若3c=4&，AC

=3,則OO的半徑長為（）

【分析】連接AC,OC,由垂徑定理可求解CD的長，ZADC=ZODC=90°,利用勾

股定理可求解AD的長，再根據勾股定理可求解OC的長即可求解.

【解答】解：連接AC,OC,

B

,：CD±OA,垂足為。，BC=4V2-

AZADC=ZODC^90a,CD=ABC=272-

2

VAC=3,

?*-^=VAC2-CD2=7978=r

"：OA=OC,

：.OD^OC-AD=OC-1,

在RtAOCZ）中，0色=（：隊00,

即od=（2V2）2+（oc-1）2,

解得0c=9,

2

即OO的半徑長為2,

2

故選：c.

【點評】本題主要考查垂徑定理，勾股定理，靈利用勾股定理求解線段長是解題的關鍵.

7.（3分）如圖，已知點A,B,C是。。上三點，半徑OC=2,ZABC=30°,切線AP交

OC延長線于點P,則AP長為（）

A.2B.273C.4D.473

【分析】連接OA,根據圓周角定理求出/AOP,根據切線的性質得到OALAP,根據正

切的定義計算，得到答案.

【解答】解：連接04,

由圓周角定理得：ZAOP=2ZABC=60°,

：A尸為。。的切線,

：.OALAP,

在Rt/XAOP中，tan/AOP=空,

0A

：.AP=OA'tanZAOP=2-/3<

故選：B.

【點評】本題考查的是切線的性質、圓周角定理、特殊角的三角函數值，掌握圓的切線

垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵.

8.（3分）據某市交通部門統(tǒng)計，2018年底全市汽車擁有量為150萬輛，而到2020年底，

全市的汽車擁有量已達216萬輛，求2018年底至2020年底該市汽車擁有量的年平均增

長率，若設2018年底至2020年底該市汽車擁有量的年平均增長率為無，則可列方程為

（）

A.150（1+2%）=216B.150X2（1+x）=216

C.150（1+x）2=216D.150+150X2x=216

【分析】設年平均增長率x,根據等量關系“2020年底汽車擁有量=2018年底汽車擁有

量X（1+年平均增長率）2”列出一元二次方程求得.

【解答】解：設該市汽車擁有量的年平均增長率為X.

根據題意,得150（1+x）2=216,

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的實際應用--增長率問題，若設變化前的量為a,變

化后的量為b,增長率為x,則經過兩次變化后的數量關系為a（1土尤）2=b（當增長時

中間的“土”號選“+”，當降低時中間的“土”號選“-

9.（3分）如圖，O。內切于△ABC,若/AOC=110。，則的度數為（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【分析】根據O。內切于△ABC,可得AO,CO分別平分/BAC,ZBCA,然后利用三

角形內角和定理即可解決問題.

【解答】解：內切于△ABC,

：.AO,CO分別平分NBAC,ZBCA,ZAOC=110°,

：.ZBAC+ZBCA=2CZOAC+ZOCA）=2（180°-ZAOC）=140°,

/.ZB=180°-（ZBAC+ZBCA）=40°.

故選：A.

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心，三角形內角和定理，掌握三角形內切圓與

內心是解題關鍵.

10.（3分）如圖，RtZkABC的斜邊AB=13C7〃，一條直角邊AC=5a〃，以BC邊所在直線為

軸將這個三角形旋轉一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的全面積為（）

AC

A.65-n,cm2B.90ircm2C.156Ttcm2D.300ncm2

【分析】根據圓錐的全面積=側面積+底面積計算.

【解答】解：圓錐的表面積=ir><5><13+TIX52=90TT（cm2）.

故選：B.

［點評】本題考查了圓錐的全面積公式的運用；掌握圓錐的全面積:S全=S底+S硼=++田/

是解題的關鍵.

11.（3分）某種商品每件的進價為30元，在某時間段內若以每件x元出售，可賣出（100

-x）件.若想獲得最大利潤，則定價x應為（)

A.35元B.45元C.55元D.65元

【分析】本題是營銷問題，基本等量關系：利潤=每件利潤X銷售量，每件利潤=每件

售價-每件進價.再根據所列二次函數求最大值.

【解答】解：設最大利潤為w元，

貝ijw=（X-30）（100-X）=-（X-65）2+1225,

:-KO,0<x<100,

...當x=65時，二次函數有最大值1225,

，定價是65元時，利潤最大.

故選：D.

【點評】本題考查了把實際問題轉化為二次函數，再利用二次函數的性質進行實際應

用.此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題.

12.（3分）已知拋物線（a,b,c為常數，a<0）經過點（-1,0）,其對稱軸

為直線x=2,有下列結論：①c<0；?4a+b=0；③4a+c>26；④若y>0,則-l<x<5；

⑤關于x的方程o^+fcv+c+l=0有兩個不等的實數根；⑥若M（3,yi）與N（4,竺）是

此拋物線上兩點，則yi>”.其中，正確結論的個數是（）

A.6B.5C.4D.3

【分析】根據對稱軸為直線x=2可判斷②正確；將（-1,0）代入y=o?+法+c中可判

斷①；根據a<0,拋物線圖象經過點（-1,0）,可知x=-2,y<0可判斷③；根據圖

象可直接判斷④和⑤；根據增減性可判斷⑥.

【解答】解：根據題意對稱軸為直線x=2,

2a

:?b=-4。,

即4〃+Z?=0,

故②正確；

..?拋物線》=〃/+版+。（a,b,。為常數，〃<0）經過點（-1,0）,

CL~Z?+c—0,

??c'='b~〃=-4Q-〃=-5a,

Ac>0,

故①錯誤；

當x=-2時，_y<0,

4a-2b+c<0,

:.4a+c<2b,

故③錯誤；

由對稱得：拋物線與x軸交點為（-1,0）,（5,0）,

；.y>0,則

故④正確；

當y=-1時，關于x的方程a^bx+c=-1有兩個不等的實數根，

???關于次的方程〃/+bx+c+l=0有兩個不等的實數根；

故⑤正確；

Vtz<0,4-2>3-2,

故⑥正確.

綜上，正確的結論是②④⑤⑥.

故選：C.

【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，增減性，對稱軸，拋物線與X軸的交點，

應數形結合、充分掌握二次函數各系數a、b.c的意義以及對圖象的影響和對一元二次

方程根個數的關系.

二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分.

13.（3分）某瓷磚廠在相同條件下抽取部分瓷磚做耐磨試驗，結果如下表所示:

抽取瓷磚100300400600100020003000

數n

合格品數9628238257094919062850

m

合格品頻0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950

率如

n

則這個廠生產的瓷磚是合格品的概率估計值是0.95.（精確到0.01）

【分析】根據表格中實驗的頻率，然后根據頻率即可估計概率.

【解答】解：由合格品的頻率都在0.95上下波動，

所以這個廠生產的瓷磚是合格品的概率估計值是0.95,

故答案為：0.95.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率的思想，解題的關鍵是求出每一次事件的頻率，

然后即可估計概率解決問題.

14.（3分）若處，尤2是方程2?+4x-3=0的兩個根，則的值為-3.

—2-

【分析】利用根與系數關系求出兩根之積即可.

【解答】解：..”1,X2是方程2?+4x-3=0的兩個根，

2

故答案為：-3.

2

【點評】此題考查了根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解本題

的關鍵.

15.（3分）若二次函數y=2?-x+k的圖象與x軸有兩個公共點，則k的取值范圍是

<1.

一8一

【分析】根據二次函數y=2/-x+上的圖象與x軸有兩個公共點，得廬-4女>0,列不等

式，解出即可.

【解答】解：???二次函數y=2/-x+左的圖象與x軸有兩個公共點，

（-1）2-4X2Q0,

解得k<l,

8

故答案為：左〈」.

8

【點評】本題考查了拋物線與無軸的交點、二次函數的性質，熟練掌握拋物線與X軸的

交點、二次函數的性質的綜合應用，根得判別式的應用是解題關鍵.

16.（3分）如圖，六邊形ABCDEF是半徑為6的圓內接正六邊形，則方的長為2n

A/--------丁

【分析】連接OC、OB,求出圓心角/AOB的度數，再利用弧長公式解答即可;

【解答】解：?.N3CDEP為正六邊形，

ZCOB=360°XJL=60°,

.?.△OBC是等邊三角形,

：.OB=OC=BC=2,

弧BC的長為6°n入6=2TT.

180

故答案為：2n.

【點評】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關鍵是能夠求得扇形的圓心角，難度

不大.

17.（3分）如圖，已知△A2C內接于OO,BC是。。的直徑，ODLAC于點。.半徑

±BC,連接BD,EA,且點尸.若BC=10,則。。=_&_.

E

【分析】根據圓周角定理得到/BAC=90°,再利用圓周角定理得到會=倉，所以/BAE

=ZCA￡=45°,接著證明AB=AD,利用垂徑定理得到AD=CD所以AC=2AB,利

用勾股定理得到AB2+4AB2=102,解得AB=2炳,

從而得到OD的長度.

【解答】解：是O。的直徑，

/.ZBAC=90°,

VOEXBC,

???EB=EC>

/.ZBAE=ZCAE=45°,

'：EA±BD,

：.ZABD=ZADB,

：.AB=AD,

'：OD±AC,

：.AD=CD,

：.AC=2AB,O￡>為△ABC的中位線，

在RtAABC中,"：AB2+AC2=BC2,

：.AB2+4AB2=102,

：.AB=2^/5,

：.OD=1AB=后.

2

故答案為：Vs-

【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形

的外接圓.也考查了垂徑定理.

18.（3分）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，△ABC的頂點A,C均在格點上，

ZCAB=26°,經過A,B,C三點的圓的半徑為遙.

（I）線段AC的長等于石_；

（II）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出一個點M使其滿足NBMC=38°,

并簡要說明點M的位置是如何找到的設圓心為O,連接OC,OB,取格點J,延長

CJ交02的延長線于點點M即為所求（不要求證明）.

(11)設圓心為。，連接OC,OB,取格點J,延長CJ交。8的延長線于點點M即

為所求.

【解答】解：(I)如圖，AC=+3=V10>

故答案為：Vio；

故答案為：設圓心為。，連接OC,OB,取格點J,延長CJ交02的延長線于點點

M即為所求.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問

題，屬于中考常考題型.

三、解答題：本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

19.(8分)解下列方程.

(I)x(3x+2)=6(3x+2)；

(II)3X2-2x-4=0.

【分析】(I)先移項，使方程的右邊化為零，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解,

得到兩個關于x的一元一次方程，進一步求解即可；

(II)利用公式法解方程即可.

【解答】解：(I)x(3x+2)=6(3尤+2),

x(3x+2)-6(3x+2)=0,

(3x+2)(x-6)=0,

3x+2=0或無-6=0,

所以XI=-2,X2=6；

3

（II）3X2-2x-4=0,

A=（-2）2-4X3X（-4）=4+48=52,

.v_2±V52-2±2713_1±V13

2X363

.X]=1W13X2=1-713

33

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右邊化為0,再把左

邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這

就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉

化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）.也考查了公式法解一元二次方程.

20.（8分）在平面直角坐標系中，二次函數＞=-Z^+bx+c的圖象經過點A（-2,4）和點

B（1,-2）.

（I）求這個二次函數的解析式及其圖象的頂點坐標；

（II）平移該二次函數的圖象，使其頂點恰好落在原點的位置上，請直接說出平移的方

向和距離.

【分析】（I）把點A、8的坐標代入函數解析式計算求出6、c的值，即可求得解析式，

把解析式化成頂點式即可求得頂點坐標；

（II）根據頂點坐標即可得出平移的方向和距離.

【解答】解：（I）由題意得，『X4-2b+c=4,

1-2Xl+b+c=-2

解得：產-4,

Ic=4

所以，此二次函數的解析式為＞=-2?-4x+4；

"?"y=-2/-4x+4=-2（x+1）2+6,

頂點為（-1,6）；

（ID???頂點為（-1,6）,

拋物線向右平移1個單位，向下平移6個單位，使其頂點恰好落在原點的位置上.

【點評】本題考查了了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數的圖

象與幾何變換，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵.

21.（10分）如圖，有一個可以自由轉動的轉盤被平均分成3個扇形，分別標有-1,-2,

3三個數字.小王和小李各轉動一次轉盤為一次游戲，當每次轉盤停止后，指針所指扇形

內的數為各自所得的數，一次游戲結束得到一組數（指針指在分界線時取指針右側扇形

的數）.

（I）小王轉動一次轉盤指針指向正數所在扇形的概率是1；

一3一

（II）請你用樹狀圖或列表的方法求一次游戲結束后兩數之和是正數的概率.

【分析】（1）轉盤被平均分為3份，共有3種可能出現的結果，其中是正數的只有1種,

可求出答案；

（2）用列表法表示所有可能出現的結果情況，進而求出相應的概率.

【解答】解：（1）轉盤被平均分為3份，共有3種可能出現的結果，其中是正數的只有1

種，

所以小王轉動一次轉盤指針指向正數所在扇形的概率是工，

3

故答案為：1；

3

（2）用列表法表示所有可能出現的結果情況如下：

-1-23

-1-2?32

-23-41

3216

共有9種可能出現的結果，其中兩次之和為正數的有5種，

所以兩數之和是正數的概率為

9

【點評】本題考查列表法或樹狀圖法求簡單隨機事件發(fā)生的概率，列舉出所有可能出現

的結果是正確解答的關鍵.

22.（10分）已知AB是。。的直徑，8。為。。的切線，切點為8.過。O上的點C作C。

//AB,交BD點D.連接AC,BC.

（I）如圖①，若DC為。。的切線，切點為C.求NBCD和ND2C的大?。?/p>

（II）如圖②，當CO與。。交于點E時，連接BE.若/EBO=30°,求/BCD和/

O3C的大小.

【分析】(I)根據A3是。。的直徑，05為。。的切線，切點為B,可得根

據0c為。。的切線，切點為C,可得0。=。8,所以得三角形3QC是等腰直角三角形，

進而求出N5CD和ND5C的大??；

(II)根據A8是。。的直徑，為。。的切線，切點為B,可得根據/防。

=30°,可得NA班;=60°,根據圓內接四邊形對角互補可得NACE=120°,根據AB

是。。的直徑，可得N8CA=90°,進而求得N8CD和ND8C的大小.

【解答】解：(I)TAB是。。的直徑，為。。的切線，切點、為B,

：.DB±AB,

：.ZDBA=90°,

???DC為。。的切線，切點為C,

:?DC=DB,

■:CD〃AB,

???NO+NO5A=180°,

???N0=9O°,

AZBCD=ZDBC=45°；

(II);AB是。。的直徑，08為。。的切線，切點為B,

：.DB±AB,

：.ZDBA=90°,

9：CD//AB,

：.ZD+ZDBA=1SQ°,

???NO=90°,

ZDEB=ZEBA,

VZ￡BD=30°,

:.NDEB=60°,

/.ZEBA=60°,

AZACE=120°,

是OO的直徑，

AZBCA=90°,

：.ZBCD=3Q°,

AZDBC=60°.

【點評】本題考查了切線的性質、圓周角定理，解決本題的關鍵是掌握切線的判定與性

質.

23.（10分）如圖，若要建一個矩形場地，場地的一面靠墻，墻長10機，另三邊用籬笆圍成,

籬笆總長20m,設垂直于墻的一邊為矩形場地的面積為S層.

（I）S與x的函數關系式為5=-2d+20x,其中尤的取值范圍是5?10；

（II）若矩形場地的面積為42m2,求矩形場地的長與寬；

（III）當矩形場地的面積最大時，求矩形場地的長與寬，并求出矩形場地面積的最大值.

【分析】（1）由A￡）=x,可得出AB=20-2x,由墻長10米，可得出關于x的一元一次

不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再利用矩形的面積公式即可得出s關于x的函

數關系式；

（2）根據矩形場地的面積，可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論；

（3）把二次函數的解析式配方成頂點式，求出長與寬.

【解答】解：（1）'：AD=BC=x,

.\AB=20-2x.

又?.?墻長10米，

.f20-2x<10

-l2x<20）

.KCIO.

AS=.r(20-2x)=-2x2+20x(5Wx<10).

故答案為：-27+20x,5Wx<10；

（2）當矩形場地的面積為42序時，-2/+20X=42,

解得：xi=3（不合題意，舍去），X2=7,

20-2x=6.

答：矩形的長為7米，寬為6米；

（3）"：S=-2X2+20X=-2（x-5）2+50,

.,.當x=5時，S最大是50,

此時20-2x=10,

答：當矩形場地的面積最大時，矩形場地的長是10%寬是5"?,矩形場地面積的最大值

是50/w".

【點評】本題考查了一元二次方程的應用、函數關系式以及函數自變量的取值范圍，解

題的關鍵是：（1）利用矩形的面積公式，找出S關于X的函數關系式；（2）找準等量關

系，正確列出一元二次方程.

24.（10分）在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,4B=AC.點。，E分別為AB,AC

中點，尸是線段DE上一動點（不與點D,E重合），將線段AF繞點A逆時針方向旋轉

90°得到線段AG,連接GC,FB.

（I）如圖①，證明：△AEB絲ZXAGC.

（II）如圖②，連接GF,GE,GF交AE于點、H.

①證明：在點廠的運動過程中，總有NFEG=90°.

②若AB=AC=8,當D尸的長度為多少時，△AHG為等腰三角形？請直接寫出。下的長

度.

【分析】（I）由：ZBAC=ZFAG=90°推出NR4B=NCAG,進一步命題得證;

(II)①證明△DAFg/XEAG,進一步可得結果；

②用為AH=GH,止匕時進而求得結果；當AG=GH時，推出DF=AZ),從而

求得結果；當AH=AG時，點F的點E重合，不合題意.

【解答】(I)證明：,：ZBAC=ZFAG=90°,

：.ZBAC-ZFAE=ZFAG-ZFAE,

即NBAF=/CAG,

在△AB?和AAGC中，

fAB=AC

<ZBAF=ZCAG-

AF=AG

:.AAFB名/\AGC(SAS)；

(II)①證明：：點。是AB的中點，點E是AC的中點，

???AO=3AB，AE=/A(?

"：AB=AC,

：.AD=AE,

：ND4E=90°,

ADAE是等腰直角三角形，

同理(I)得，

△D4金△EAG,

AZAEG=ZADE=45°,

：.ZGEF=ZAEG+ZA￡D=45°+45°=90°；

②解:由題意得：AD=AE—4,

???OE=&AD=4&，

如圖1,

圖1

當A8=GH時，ZHAG=ZAGF=45

AF=AG,/E4G=90°,

：.ZFAE=ZGAE=45°,

VA￡)=AE,

???DF=EF=工DE=2&,

VZAGF=ZD=45°,ZGAF=ZDAEf

：.ADAF^AGAH,

?